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domingo, 14 de octubre de 2012
Problema del día. Algebra (14 de Octubre)
El número: √1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+120112+120122
es un número que se puede escribir como pq con p y q enteros. Encuentra p y q.
La suma tiene 2011 términos, el n-ésimo término es √1+1n2+1(n+1)2 =√1+(n+1)2+n2n2(n+1)2 =√1+n2+2n+1+n2n2(n+1)2 =√1+2n2+2n+1n2(n+1)2 =√1+2n(n+1)+1n2(n+1)2 =√1+2n(n+1)n2(n+1)2+1n2(n+1)2 =√1+2n(n+1)+1n2(n+1)2 =√(1+1n(n+1))2 =1+1n(n+1) El término 1 es (1+1(1)(2)=32, la suma hasta el término 2 es 32+(1+1(2)(3)=32+1+16=166=83; la suma hasta el 3er término es 83+1+1(3)(4)=4512=154 Aquí vemos que la suma aumentó en el denominador 5,7 y en el numerador 1, entonces podemos conjeturar que la suma hasta el n-ésimo término es 3+5+7+...+(2n+1))n+1=2n+(1+3+...+(2n−1))n+1=2n+n2n+1 Lo vemos por inducción:Para n=1, sería 2(1)+121+1=32 que es cierto. Supongamos que es cierto para k, queremos que sea cierto para k+1, entonces queremos que 2k+k2k+1+(1+1(k+1)(k+2))=2(k+1)+(k+1)2(k+1)+1 ⇔1+1(k+1)(k+2)=2k+2+k2+2k+1k+2−2k+k2k+1 ⇔(k+1)(k+2)+1(k+1)(k+2)=(k2+4k+3)(k+1)−(2k+k2)(k+2)(k+1)(k+2) ⇔k2+3k+2+1(k+1)(k+2)=k3+4k2+3k+k2+4k+1−2k2−k3−4k−2k2(k+1)(k+2) ⇔k2+3k+3(k+1)(k+2)=k2+3k+1(k+1)(k+2) que es cierto, entonces se cumple la fórmula. Como se cumple la fórmula y la suma tiene 2011 términos, la suma es 2(2011)+(2011)22011+1=4022+40441212012=40481432012 Entonces p=(4048143)x,q=(2012)x.
primero voy a demostrar que cada termino de la sucesion es un numero entero, por lo que sin la raiz, cada termino debera ser un cuadrado perfecto. 1+1n2+1(n+1)2=1+n2+(n+1)2(n(n+1))2 =1+2n2+2n+1(n(n+1))2=1+2n2+2n(n(n+1))2+1(n(n+1))2 =1+2n(n+1)(n(n+1))2+1(n(n+1))2=1+2n(n+1)+1(n(n+1))2 =(1+1n(n+1))2. Entonces cada termino de la sucesion va a ser 1+1n(n+1).Pero aun no puedo hallar una formula para la suma de todos esos enteros
Intento → Solución Vemos casos chicos para la suma: 11(2)+12(3)+...+12011(2012) y tendremos una fórmula que demostraré por inducción: Fórmula.- 11(2)+12(3)+...+1n(n+1)=nn+1 Caso base.- 11(2)+12(3)=23 lo cual es cierto. Para que se cumpla la fórmula se debe cumplir que: nn+1+1(n+1)(n+2)=n+1n+2 ⇒n(n+2)+1(n+1)(n+2)=n2+2n+1(n+1)(n+2)=n+1n+2 ⇒(n+1)2(n+1)(n+2)=n+1n+2 ⇒n+1n+2=n+1n+2 Lo cual es cierto, por lo que la fórmula cumple para todo entero n, sustituimos para n=2011: 2011+11(2)+12(3)+⋯+12011(2012)=2011+20112012=2011(2013)2012=pq∴ p=2011(2013),q=2012
Primero me fije en que todos los terminos de la serie se iban a poder sacar de su raiz y nos quedaba una fraccion. Eso es porque cada termino sin tener la raiz se podia escribir de la forma: 1+1n2+1(n+1)2 1+(n+1)2+n2n2(n+1)2 1+2n2+2n+1n2(n+1)2 1+2n2+2nn2(n+1)2+1n2(n+1)2 1+2n(n+1)n2(n+1)2+1n2(n+1)2 1+2n(n+1)+1n2(n+1)2 (1+1n(n+1))2
Si le sacamos raiz cuadrada a lo que nos quedo al final tendremos: (1+1n(n+1)) y esto representa a cualquier termino de la suma. n representa al numero del termino
Ahora que ya sabia esto, comence a hacer las sumas de los primeros terminos. La suma hasta el primer termino me salio que era 32 Luego, le sume el 2do termino y me salio que era 83 Al sumar el 3er termino me salio que era 154 Despues de esto note que se le iba aumentando al numerador un numero impar en orden ascendente y que el denominador iba aumentando de 1 en 1. Suponemos que esto seguira sucediendo. Entonces la suma hasta el termino k seria 3+5+7+9+...+2k−1k Esto nos deja que la respuesta seria k2−1k Queremos que esto sea cierto para k+1 entonces a k2−1k le sumamos 1+1k(k+1) k2−1k+1k(k+1)+1=(k+1)2−1k+1 (k2−1)(k2+k)+kk2(k+1)+1=(k+1)2−1k+1 k4+k3−k2k2(k+1)+1=(k+1)2−1k+1 k2(k2+k−1k2(k+1)+1=(k+1)2−1k+1 k2+k−1k+1+1=(k+1)2−1k+1 k2+k−1+k+1k+1=(k2+2k+1−1k+1 k2+2kk+1=(k2+2kk+1 Entonces cumple para toda k. k es el numero del termino hasta el cual queremos sumar mas 1. Entonces como son 2011 terminos, k=2012 Entonces la suma es 20122−12012 Por lo tanto p=20122−1 y q=2012
Vemos que el n-ésimo término es: √1+1n2+1(n+1)2 Hacemos un poco de álgebra para llegar a un término más sencillo: √1+1n2+1(n+1)2 √1+n2+2n+1+n2(n(n+1))2 √1+2n2+2n(n(n+1))2+1(n(n+1))2 √1+2n(n+1)(n(n+1))2+1(n(n+1))2 √1+2n(n+1)+1(n(n+1))2 √(1+1n(n+1))2 1+1n(n+1) Aplicamos la fórmula para las sumas hasta los primeros términos: Término 1 : 1+11(2)=1+12=32 Término 2 : 32+1+12(3)=32+1+16=32+76=83 Término 3 : 83+1+13(4)=83+1+112=83+1312=154 Término 4 : 154+1+14(5)=154+1+120=154+2120=245 Nos fijamos que el numerador va aumentando 1 y el denominador va aumentando en 5,7,9 ; es decir en impares consecutivos. Si eso pasa siempre, la suma hasta el k-ésimo término sería: 3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)k+1=k2+(2k+1)−1k+1=k2+2kk+1=k(k+2)k+1 Y demostraré ésto con inducción: Para k+1 sería: (k+1)((k+1)+2)(k+1)+1=(k+1)(k+3)k+2 Vemos que cumple para k : ∙k=1→k(k+2)k+1=1(1+2)1+1=1(3)2=32\checkmark Para k+1 debe ser asi: k(k+2)k+1+(1+1(k+1)(k+2))=(k+1)(k+3)k+2 ⇔k(k+2)k+1+1+(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)=(k+1)(k+3)k+2 ⇔k(k+2)2+1+(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)=(k+1)(k+3)k+2 ⇔k(k+2)2+1+(k+1)(k+2)=(k+1)2(k+3) ⇔k(k2+4k+4)+1+(k2+3k+2)=(k2+2k+1)(k+3) ⇔(k3+4k2+4k)+1+(k2+3k+2)=(k3+2k2+k+3k2+6k+3) ⇔k3+5k2+7k+3=k3+5k2+7k+3\checkmark Entonces podemos aplicar la fórmula para 2011 : k(k+2)k+1=2011×20132012=40481432012 ∴p=4048143,q=2012
Nos fijamos en que cada termino de la sucesion lleva la siguiente secuencia: √1+1k2+1(k+1)2 Lo sumamos y obtenemos: \sqrt{\frac{(k^{2}+k+1)^2}{(k^{2}+k)^2} Sacamos raiz (k2+k+1)(k2+k)=1+1k2+k Sustituimos(la ultima posicion k=2011 1er termino=1+112+1=32 Termino 2011=1+120112+2011=40461334046132 Me fijo en 1+120112+2011 que se puede factorizar como: 1+1(2011)(2012) En la la sumatoria final vamos a tener 2011(1) y la suma de consecutivos 1(1)(2)+1(2)(3)+1(3)(4)...+1(2011)(2012) Va a ser:2011+1(1)(2)+1(2)(3)+1(3)(4)...+1(2011)(2012) La suma de fraciones es igual a (1−12)+(12−13)+(13−14)+...+(12011−12012)=20112012 \rigtharrow2011+20112012=(2011)(2013)2012 ∴p=(2011)(2013)q=2012
tienes que cualquier termino es raiz de 1+1n2+1(n+1)2 y tienes que eso es raiz de \facc(n2+n+1)2(n2+n)2 y sacamos raiz y tienes que eso es \facc(n2+n+1)2(n2+n)2 y tienes que eso es igual a 1+1n2+n y eso es igual a 1+1(n)(n+1) y siempre va a ser la multiplicacion de las dos fracciones yeso va a ser igual a 2011+ todas las fracciones porque son 2011 unos y la suma de toda las fracciones es igual a (1−1/2)(1/2−1/3)...(1/2011−1/2012)=20112012 entonces tienes que es 2011+20112012=2011+(2011)(2012)2012 por lo tanto p=2011+(2011)(2012) y q=2012
La suma tiene 2011 términos, el n-ésimo término es
ResponderBorrar√1+1n2+1(n+1)2
=√1+(n+1)2+n2n2(n+1)2
=√1+n2+2n+1+n2n2(n+1)2
=√1+2n2+2n+1n2(n+1)2
=√1+2n(n+1)+1n2(n+1)2
=√1+2n(n+1)n2(n+1)2+1n2(n+1)2
=√1+2n(n+1)+1n2(n+1)2
=√(1+1n(n+1))2
=1+1n(n+1)
El término 1 es (1+1(1)(2)=32, la suma hasta el término 2 es 32+(1+1(2)(3)=32+1+16=166=83; la suma hasta el 3er término es 83+1+1(3)(4)=4512=154
Aquí vemos que la suma aumentó en el denominador 5,7 y en el numerador 1, entonces podemos conjeturar que la suma hasta el n-ésimo término es 3+5+7+...+(2n+1))n+1=2n+(1+3+...+(2n−1))n+1=2n+n2n+1
Lo vemos por inducción:Para n=1, sería 2(1)+121+1=32 que es cierto.
Supongamos que es cierto para k, queremos que sea cierto para k+1, entonces queremos que
2k+k2k+1+(1+1(k+1)(k+2))=2(k+1)+(k+1)2(k+1)+1
⇔1+1(k+1)(k+2)=2k+2+k2+2k+1k+2−2k+k2k+1
⇔(k+1)(k+2)+1(k+1)(k+2)=(k2+4k+3)(k+1)−(2k+k2)(k+2)(k+1)(k+2)
⇔k2+3k+2+1(k+1)(k+2)=k3+4k2+3k+k2+4k+1−2k2−k3−4k−2k2(k+1)(k+2)
⇔k2+3k+3(k+1)(k+2)=k2+3k+1(k+1)(k+2) que es cierto, entonces se cumple la fórmula.
Como se cumple la fórmula y la suma tiene 2011 términos, la suma es 2(2011)+(2011)22011+1=4022+40441212012=40481432012
Entonces p=(4048143)x,q=(2012)x.
Correcto.
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ResponderBorrarprimero voy a demostrar que cada termino de la sucesion es un numero entero, por lo que sin la raiz, cada termino debera ser un cuadrado perfecto.
ResponderBorrar1+1n2+1(n+1)2=1+n2+(n+1)2(n(n+1))2
=1+2n2+2n+1(n(n+1))2=1+2n2+2n(n(n+1))2+1(n(n+1))2
=1+2n(n+1)(n(n+1))2+1(n(n+1))2=1+2n(n+1)+1(n(n+1))2
=(1+1n(n+1))2.
Entonces cada termino de la sucesion va a ser 1+1n(n+1).Pero aun no puedo hallar una formula para la suma de todos esos enteros
Esa parte es correcta.
BorrarFalta la suma.
Intento.-
ResponderBorrarPrimero nos fijamos en que cada sumando es entero, pues:
√1+1n2+1(n+1)2=√1+(n+1)2+n2n2(n+1)2=√n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2
Tenemos que:
(n(n+1)+1)2=n2(n+1)2+(n+1)2+n2
(n(n+1))2=n2(n+1)2
⇒√1+1n2+1(n+1)2=√(n(n+1)+1)2(n(n+1))2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)
⇒√1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+120112+120122
=2011+11(2)+12(3)+⋯+12011(2012)
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BorrarIntento → Solución
BorrarVemos casos chicos para la suma: 11(2)+12(3)+...+12011(2012) y tendremos una fórmula que demostraré por inducción:
Fórmula.- 11(2)+12(3)+...+1n(n+1)=nn+1
Caso base.- 11(2)+12(3)=23 lo cual es cierto.
Para que se cumpla la fórmula se debe cumplir que:
nn+1+1(n+1)(n+2)=n+1n+2
⇒n(n+2)+1(n+1)(n+2)=n2+2n+1(n+1)(n+2)=n+1n+2
⇒(n+1)2(n+1)(n+2)=n+1n+2
⇒n+1n+2=n+1n+2
Lo cual es cierto, por lo que la fórmula cumple para todo entero n, sustituimos para n=2011:
2011+11(2)+12(3)+⋯+12011(2012)=2011+20112012=2011(2013)2012=pq∴
p=2011(2013),q=2012
Correcto.
BorrarPrimero me fije en que todos los terminos de la serie se iban a poder sacar de su raiz y nos quedaba una fraccion. Eso es porque cada termino sin tener la raiz se podia escribir de la forma:
ResponderBorrar1+1n2+1(n+1)2
1+(n+1)2+n2n2(n+1)2
1+2n2+2n+1n2(n+1)2
1+2n2+2nn2(n+1)2+1n2(n+1)2
1+2n(n+1)n2(n+1)2+1n2(n+1)2
1+2n(n+1)+1n2(n+1)2
(1+1n(n+1))2
Si le sacamos raiz cuadrada a lo que nos quedo al final tendremos:
(1+1n(n+1)) y esto representa a cualquier termino de la suma.
n representa al numero del termino
Ahora que ya sabia esto, comence a hacer las sumas de los primeros terminos.
BorrarLa suma hasta el primer termino me salio que era 32
Luego, le sume el 2do termino y me salio que era 83
Al sumar el 3er termino me salio que era 154
Despues de esto note que se le iba aumentando al numerador un numero impar en orden ascendente y que el denominador iba aumentando de 1 en 1.
Suponemos que esto seguira sucediendo. Entonces la suma hasta el termino k seria 3+5+7+9+...+2k−1k
Esto nos deja que la respuesta seria k2−1k
Queremos que esto sea cierto para k+1 entonces a k2−1k le sumamos 1+1k(k+1)
k2−1k+1k(k+1)+1=(k+1)2−1k+1
(k2−1)(k2+k)+kk2(k+1)+1=(k+1)2−1k+1
k4+k3−k2k2(k+1)+1=(k+1)2−1k+1
k2(k2+k−1k2(k+1)+1=(k+1)2−1k+1
k2+k−1k+1+1=(k+1)2−1k+1
k2+k−1+k+1k+1=(k2+2k+1−1k+1
k2+2kk+1=(k2+2kk+1
Entonces cumple para toda k.
k es el numero del termino hasta el cual queremos sumar mas 1. Entonces como son 2011 terminos, k=2012
Entonces la suma es 20122−12012
Por lo tanto p=20122−1 y q=2012
Correcto.
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001531.jpg
ResponderBorrarINTENTO
Esa parte es correcta.
BorrarFalta la suma.
Vemos que el n-ésimo término es:
ResponderBorrar√1+1n2+1(n+1)2
Hacemos un poco de álgebra para llegar a un término más sencillo:
√1+1n2+1(n+1)2
√1+n2+2n+1+n2(n(n+1))2
√1+2n2+2n(n(n+1))2+1(n(n+1))2
√1+2n(n+1)(n(n+1))2+1(n(n+1))2
√1+2n(n+1)+1(n(n+1))2
√(1+1n(n+1))2
1+1n(n+1)
Aplicamos la fórmula para las sumas hasta los primeros términos:
Término 1 : 1+11(2)=1+12=32
Término 2 : 32+1+12(3)=32+1+16=32+76=83
Término 3 : 83+1+13(4)=83+1+112=83+1312=154
Término 4 : 154+1+14(5)=154+1+120=154+2120=245
Nos fijamos que el numerador va aumentando 1 y el denominador va aumentando en 5,7,9 ; es decir en impares consecutivos.
Si eso pasa siempre, la suma hasta el k-ésimo término sería:
3+5+⋯+(2k−1)+(2k+1)k+1=k2+(2k+1)−1k+1=k2+2kk+1=k(k+2)k+1
Y demostraré ésto con inducción:
Para k+1 sería:
(k+1)((k+1)+2)(k+1)+1=(k+1)(k+3)k+2
Vemos que cumple para k :
∙k=1→k(k+2)k+1=1(1+2)1+1=1(3)2=32\checkmark
Para k+1 debe ser asi:
k(k+2)k+1+(1+1(k+1)(k+2))=(k+1)(k+3)k+2
⇔k(k+2)k+1+1+(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)=(k+1)(k+3)k+2
⇔k(k+2)2+1+(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)=(k+1)(k+3)k+2
⇔k(k+2)2+1+(k+1)(k+2)=(k+1)2(k+3)
⇔k(k2+4k+4)+1+(k2+3k+2)=(k2+2k+1)(k+3)
⇔(k3+4k2+4k)+1+(k2+3k+2)=(k3+2k2+k+3k2+6k+3)
⇔k3+5k2+7k+3=k3+5k2+7k+3\checkmark
Entonces podemos aplicar la fórmula para 2011 :
k(k+2)k+1=2011×20132012=40481432012
∴p=4048143,q=2012
Correcto.
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ResponderBorrarNos fijamos en que cada termino de la sucesion lleva la siguiente secuencia:
ResponderBorrar√1+1k2+1(k+1)2
Lo sumamos y obtenemos:
\sqrt{\frac{(k^{2}+k+1)^2}{(k^{2}+k)^2}
Sacamos raiz
(k2+k+1)(k2+k)=1+1k2+k
Sustituimos(la ultima posicion k=2011
1er termino=1+112+1=32
Termino 2011=1+120112+2011=40461334046132
Me fijo en 1+120112+2011 que se puede factorizar como:
1+1(2011)(2012)
En la la sumatoria final vamos a tener 2011(1) y la suma de consecutivos 1(1)(2)+1(2)(3)+1(3)(4)...+1(2011)(2012)
Va a ser:2011+1(1)(2)+1(2)(3)+1(3)(4)...+1(2011)(2012)
La suma de fraciones es igual a (1−12)+(12−13)+(13−14)+...+(12011−12012)=20112012
\rigtharrow 2011+20112012=(2011)(2013)2012
∴p=(2011)(2013)q=2012
Correcto.
Borrartienes que cualquier termino es raiz de 1+1n2+1(n+1)2 y tienes que eso es raiz de \facc(n2+n+1)2(n2+n)2 y sacamos raiz y tienes que eso es \facc(n2+n+1)2(n2+n)2 y tienes que eso es igual a 1+1n2+n y eso es igual a 1+1(n)(n+1) y siempre va a ser la multiplicacion de las dos fracciones yeso va a ser igual a 2011+ todas las fracciones porque son 2011 unos y la suma de toda las fracciones es igual a (1−1/2)(1/2−1/3)...(1/2011−1/2012)=20112012 entonces tienes que es 2011+20112012=2011+(2011)(2012)2012 por lo tanto p=2011+(2011)(2012) y q=2012
ResponderBorrarCorrecto.
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