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domingo, 14 de octubre de 2012
Problema del día. Algebra (14 de Octubre)
El número:
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}}$
es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros. Encuentra $p$ y $q$.
La suma tiene 2011 términos, el n-ésimo término es $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$ $=\sqrt{1+\frac{(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}}$ $=\sqrt{1+\frac{n^2+2n+1+n^2}{n^2(n+1)^2}}$ $=\sqrt{1+\frac{2n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}}$ $=\sqrt{1+\frac{2n(n+1)+1}{n^2(n+1)^2}}$ $=\sqrt{1+\frac{2n(n+1)}{n^2(n+1)^2}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}}$ $=\sqrt{1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}}$ $=\sqrt{(1+\frac{1}{n(n+1)})^2}$ $=1+\frac{1}{n(n+1)}$ El término 1 es $(1+\frac{1}{(1)(2)}=\frac{3}{2}$, la suma hasta el término 2 es $\frac{3}{2}+(1+\frac{1}{(2)(3)}=\frac{3}{2}+1+\frac{1}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$; la suma hasta el 3er término es $\frac{8}{3}+1+\frac{1}{(3)(4)}=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}$ Aquí vemos que la suma aumentó en el denominador 5,7 y en el numerador 1, entonces podemos conjeturar que la suma hasta el n-ésimo término es $\frac{3+5+7+...+(2n+1))}{n+1}=\frac{2n+(1+3+...+(2n-1))}{n+1}=\frac{2n+n^2}{n+1}$ Lo vemos por inducción:Para n=1, sería $\frac{2(1)+1^2}{1+1}=\frac{3}{2}$ que es cierto. Supongamos que es cierto para k, queremos que sea cierto para k+1, entonces queremos que $\frac{2k+k^2}{k+1}+(1+\frac{1}{(k+1)(k+2)})=\frac{2(k+1)+(k+1)^2}{(k+1)+1}$ $\Leftrightarrow 1+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{2k+2+k^2+2k+1}{k+2}-\frac{2k+k^2}{k+1}$ $\Leftrightarrow \frac{(k+1)(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k^2+4k+3)(k+1)-(2k+k^2)(k+2)}{(k+1)(k+2)}$ $\Leftrightarrow \frac{k^2+3k+2+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^3+4k^2+3k+k^2+4k+1-2k^2-k^3-4k-2k^2}{(k+1)(k+2)}$ $\Leftrightarrow \frac{k^2+3k+3}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+3k+1}{(k+1)(k+2)}$ que es cierto, entonces se cumple la fórmula. Como se cumple la fórmula y la suma tiene 2011 términos, la suma es $\frac{2(2011)+(2011)^2}{2011+1}=\frac{4022+4044121}{2012}=\frac{4048143}{2012}$ Entonces $p=(4048143)x, q=(2012)x$.
primero voy a demostrar que cada termino de la sucesion es un numero entero, por lo que sin la raiz, cada termino debera ser un cuadrado perfecto. $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=1+\frac{n^2+(n+1)^2}{(n(n+1))^2}$ $=1+\frac{2n^2+2n+1}{(n(n+1))^2}=1+\frac{2n^2+2n}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}$ $=1+\frac{2n(n+1)}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}=1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{(n(n+1))^2}$ $=(1+\frac{1}{n(n+1)})^2$. Entonces cada termino de la sucesion va a ser $1+\frac{1}{n(n+1)}$.Pero aun no puedo hallar una formula para la suma de todos esos enteros
Intento $\rightarrow$ Solución Vemos casos chicos para la suma: $\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{2011(2012)}$ y tendremos una fórmula que demostraré por inducción: Fórmula.- $\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$ Caso base.- $\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}=\frac{2}{3}$ lo cual es cierto. Para que se cumpla la fórmula se debe cumplir que: $\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$ $\Rightarrow \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$ $\Rightarrow \frac{(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$ $\Rightarrow \frac{n+1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}$ Lo cual es cierto, por lo que la fórmula cumple para todo entero n, sustituimos para n=2011: $2011+\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+\cdots+\frac{1}{2011(2012)}=2011+\frac{2011}{2012}=\frac{2011(2013)}{2012}=\frac{p}{q}\therefore$ $\boxed{p=2011(2013), q=2012}$
Primero me fije en que todos los terminos de la serie se iban a poder sacar de su raiz y nos quedaba una fraccion. Eso es porque cada termino sin tener la raiz se podia escribir de la forma: $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}$ $1+\frac{(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}$ $1+\frac{2n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}$ $1+\frac{2n^2+2n}{n^2(n+1)^2}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}$ $1+\frac{2n(n+1)}{n^2(n+1)^2}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}$ $1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}$ $(1+\frac{1}{n(n+1)})^2$
Si le sacamos raiz cuadrada a lo que nos quedo al final tendremos: $(1+\frac{1}{n(n+1)})$ y esto representa a cualquier termino de la suma. $n$ representa al numero del termino
Ahora que ya sabia esto, comence a hacer las sumas de los primeros terminos. La suma hasta el primer termino me salio que era $\frac{3}{2}$ Luego, le sume el 2do termino y me salio que era $\frac{8}{3}$ Al sumar el 3er termino me salio que era $\frac{15}{4}$ Despues de esto note que se le iba aumentando al numerador un numero impar en orden ascendente y que el denominador iba aumentando de 1 en 1. Suponemos que esto seguira sucediendo. Entonces la suma hasta el termino $k$ seria $\frac{3+5+7+9+...+2k-1}{k}$ Esto nos deja que la respuesta seria $\frac{k^2-1}{k}$ Queremos que esto sea cierto para $k+1$ entonces a $\frac{k^2-1}{k}$ le sumamos $1+\frac{1}{k(k+1)}$ $\frac{k^2-1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$ $\frac{(k^2-1)(k^2+k)+k}{k^2(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$ $\frac{k^4+k^3-k^2}{k^2(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$ $\frac{k^2(k^2+k-1}{k^2(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$ $\frac{k^2+k-1}{k+1}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$ $\frac{k^2+k-1+k+1}{k+1}=\frac{(k^2+2k+1-1}{k+1}$ $\frac{k^2+2k}{k+1}=\frac{(k^2+2k}{k+1}$ Entonces cumple para toda $k$. $k$ es el numero del termino hasta el cual queremos sumar mas 1. Entonces como son $2011$ terminos, $k=2012$ Entonces la suma es $\frac{2012^2-1}{2012}$ Por lo tanto $p=2012^2-1$ y $q=2012$
Vemos que el n-ésimo término es: $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$ Hacemos un poco de álgebra para llegar a un término más sencillo: $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$ $\sqrt{1+\frac{n^2+2n+1+n^2}{(n(n+1))^2}}$ $\sqrt{1+\frac{2n^2+2n}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}}$ $\sqrt{1+\frac{2n(n+1)}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}}$ $\sqrt{1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{(n(n+1))^2}}$ $\sqrt{(1+\frac{1}{n(n+1)})^2}$ $1+\frac{1}{n(n+1)}$ Aplicamos la fórmula para las sumas hasta los primeros términos: Término $1$ : $1+\frac{1}{1(2)}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ Término $2$ : $\frac{3}{2}+1+\frac{1}{2(3)}=\frac{3}{2}+1+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}+\frac{7}{6}=\frac{8}{3}$ Término $3$ : $\frac{8}{3}+1+\frac{1}{3(4)}=\frac{8}{3}+1+\frac{1}{12}=\frac{8}{3}+\frac{13}{12}=\frac{15}{4}$ Término $4$ : $\frac{15}{4}+1+\frac{1}{4(5)}=\frac{15}{4}+1+\frac{1}{20}=\frac{15}{4}+\frac{21}{20}=\frac{24}{5}$ Nos fijamos que el numerador va aumentando $1$ y el denominador va aumentando en $5,7,9$ ; es decir en impares consecutivos. Si eso pasa siempre, la suma hasta el k-ésimo término sería: $\frac{3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)}{k+1}=\frac{k^2+(2k+1)-1}{k+1}=\frac{k^2+2k}{k+1}=\frac{k(k+2)}{k+1}$ Y demostraré ésto con inducción: Para $k+1$ sería: $\frac{(k+1)((k+1)+2)}{(k+1)+1}=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$ Vemos que cumple para $k$ : $\bullet k=1 \rightarrow \frac{k(k+2)}{k+1}=\frac{1(1+2)}{1+1}=\frac{1(3)}{2}=\frac{3}{2} \text{\checkmark}$ Para $k+1$ debe ser asi: $\frac{k(k+2)}{k+1}+(1+\frac{1}{(k+1)(k+2)})=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$ $\Leftrightarrow \frac{k(k+2)}{k+1}+\frac{1+(k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$ $\Leftrightarrow \frac{k(k+2)^2+1+(k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$ $\Leftrightarrow k(k+2)^2+1+(k+1)(k+2)=(k+1)^2(k+3)$ $\Leftrightarrow k(k^2+4k+4)+1+(k^2+3k+2)=(k^2+2k+1)(k+3)$ $\Leftrightarrow (k^3+4k^2+4k)+1+(k^2+3k+2)=(k^3+2k^2+k+3k^2+6k+3)$ $\Leftrightarrow k^3+5k^2+7k+3=k^3+5k^2+7k+3 \text{\checkmark}$ Entonces podemos aplicar la fórmula para $2011$ : $\frac{k(k+2)}{k+1}=\frac{2011 \times 2013}{2012}=\frac{4048143}{2012}$ $\therefore p=4048143 , q=2012$
Nos fijamos en que cada termino de la sucesion lleva la siguiente secuencia: $\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^2}}$ Lo sumamos y obtenemos: $\sqrt{\frac{(k^{2}+k+1)^2}{(k^{2}+k)^2}$ Sacamos raiz $\frac{(k^{2}+k+1)}{(k^{2}+k)}=1+\frac{1}{k^{2}+k}$ Sustituimos(la ultima posicion $k=2011$ $1er$ termino$=1+\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{3}{2}$ Termino $2011=1+\frac{1}{2011^{2}+2011}=\frac{4046133}{4046132}$ Me fijo en $1+\frac{1}{2011^{2}+2011}$ que se puede factorizar como: $1+\frac{1}{(2011)(2012)}$ En la la sumatoria final vamos a tener $2011(1)$ y la suma de consecutivos $\frac{1}{(1)(2)}+\frac{1}{(2)(3)}+\frac{1}{(3)(4)}...+\frac{1}{(2011)(2012)}$ Va a ser:$2011+\frac{1}{(1)(2)}+\frac{1}{(2)(3)}+\frac{1}{(3)(4)}...+\frac{1}{(2011)(2012)}$ La suma de fraciones es igual a $(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012})=\frac{2011}{2012}$ $\rigtharrow$ $2011+\frac{2011}{2012}=\frac{(2011)(2013)}{2012}$ $\therefore p=(2011)(2013) q=2012$
tienes que cualquier termino es raiz de $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}$ y tienes que eso es raiz de $\facc{(n^2+n+1)^2}{(n^2+n)^2}$ y sacamos raiz y tienes que eso es $\facc{(n^2+n+1)^2}{(n^2+n)^2}$ y tienes que eso es igual a $1+\frac{1}{n^2+n}$ y eso es igual a $1+\frac{1}{(n)(n+1)}$ y siempre va a ser la multiplicacion de las dos fracciones yeso va a ser igual a $2011+$ todas las fracciones porque son 2011 unos y la suma de toda las fracciones es igual a $(1-1/2)(1/2-1/3)...(1/2011-1/2012)=\frac{2011}{2012}$ entonces tienes que es $2011+\frac{2011}{2012}=\frac{2011+(2011)(2012)}{2012}$ por lo tanto $p=2011+(2011)(2012)$ y $q=2012$
La suma tiene 2011 términos, el n-ésimo término es
ResponderBorrar$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$
$=\sqrt{1+\frac{(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}}$
$=\sqrt{1+\frac{n^2+2n+1+n^2}{n^2(n+1)^2}}$
$=\sqrt{1+\frac{2n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}}$
$=\sqrt{1+\frac{2n(n+1)+1}{n^2(n+1)^2}}$
$=\sqrt{1+\frac{2n(n+1)}{n^2(n+1)^2}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}}$
$=\sqrt{1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}}$
$=\sqrt{(1+\frac{1}{n(n+1)})^2}$
$=1+\frac{1}{n(n+1)}$
El término 1 es $(1+\frac{1}{(1)(2)}=\frac{3}{2}$, la suma hasta el término 2 es $\frac{3}{2}+(1+\frac{1}{(2)(3)}=\frac{3}{2}+1+\frac{1}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$; la suma hasta el 3er término es $\frac{8}{3}+1+\frac{1}{(3)(4)}=\frac{45}{12}=\frac{15}{4}$
Aquí vemos que la suma aumentó en el denominador 5,7 y en el numerador 1, entonces podemos conjeturar que la suma hasta el n-ésimo término es $\frac{3+5+7+...+(2n+1))}{n+1}=\frac{2n+(1+3+...+(2n-1))}{n+1}=\frac{2n+n^2}{n+1}$
Lo vemos por inducción:Para n=1, sería $\frac{2(1)+1^2}{1+1}=\frac{3}{2}$ que es cierto.
Supongamos que es cierto para k, queremos que sea cierto para k+1, entonces queremos que
$\frac{2k+k^2}{k+1}+(1+\frac{1}{(k+1)(k+2)})=\frac{2(k+1)+(k+1)^2}{(k+1)+1}$
$\Leftrightarrow 1+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{2k+2+k^2+2k+1}{k+2}-\frac{2k+k^2}{k+1}$
$\Leftrightarrow \frac{(k+1)(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k^2+4k+3)(k+1)-(2k+k^2)(k+2)}{(k+1)(k+2)}$
$\Leftrightarrow \frac{k^2+3k+2+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^3+4k^2+3k+k^2+4k+1-2k^2-k^3-4k-2k^2}{(k+1)(k+2)}$
$\Leftrightarrow \frac{k^2+3k+3}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^2+3k+1}{(k+1)(k+2)}$ que es cierto, entonces se cumple la fórmula.
Como se cumple la fórmula y la suma tiene 2011 términos, la suma es $\frac{2(2011)+(2011)^2}{2011+1}=\frac{4022+4044121}{2012}=\frac{4048143}{2012}$
Entonces $p=(4048143)x, q=(2012)x$.
Correcto.
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ResponderBorrarprimero voy a demostrar que cada termino de la sucesion es un numero entero, por lo que sin la raiz, cada termino debera ser un cuadrado perfecto.
ResponderBorrar$1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=1+\frac{n^2+(n+1)^2}{(n(n+1))^2}$
$=1+\frac{2n^2+2n+1}{(n(n+1))^2}=1+\frac{2n^2+2n}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}$
$=1+\frac{2n(n+1)}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}=1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{(n(n+1))^2}$
$=(1+\frac{1}{n(n+1)})^2$.
Entonces cada termino de la sucesion va a ser $1+\frac{1}{n(n+1)}$.Pero aun no puedo hallar una formula para la suma de todos esos enteros
Esa parte es correcta.
BorrarFalta la suma.
Intento.-
ResponderBorrarPrimero nos fijamos en que cada sumando es entero, pues:
$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=\sqrt{1+\frac{(n+1)^{2}+n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}+n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}}$
Tenemos que:
$(n(n+1)+1)^{2}=n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)^{2}+n^{2}$
$(n(n+1))^{2}=n^{2}(n+1)^{2}$
$\Rightarrow \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=\sqrt{\frac{(n(n+1)+1)^{2}}{(n(n+1))^{2}}}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
$\Rightarrow \sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2011^{2}}+\frac{1}{2012^{2}}}$
$=2011+\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+\cdots+\frac{1}{2011(2012)}$
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BorrarIntento $\rightarrow$ Solución
BorrarVemos casos chicos para la suma: $\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{2011(2012)}$ y tendremos una fórmula que demostraré por inducción:
Fórmula.- $\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$
Caso base.- $\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}=\frac{2}{3}$ lo cual es cierto.
Para que se cumpla la fórmula se debe cumplir que:
$\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$
$\Rightarrow \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$
$\Rightarrow \frac{(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$
$\Rightarrow \frac{n+1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}$
Lo cual es cierto, por lo que la fórmula cumple para todo entero n, sustituimos para n=2011:
$2011+\frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+\cdots+\frac{1}{2011(2012)}=2011+\frac{2011}{2012}=\frac{2011(2013)}{2012}=\frac{p}{q}\therefore$
$\boxed{p=2011(2013), q=2012}$
Correcto.
BorrarPrimero me fije en que todos los terminos de la serie se iban a poder sacar de su raiz y nos quedaba una fraccion. Eso es porque cada termino sin tener la raiz se podia escribir de la forma:
ResponderBorrar$1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}$
$1+\frac{(n+1)^2+n^2}{n^2(n+1)^2}$
$1+\frac{2n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}$
$1+\frac{2n^2+2n}{n^2(n+1)^2}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}$
$1+\frac{2n(n+1)}{n^2(n+1)^2}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}$
$1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{n^2(n+1)^2}$
$(1+\frac{1}{n(n+1)})^2$
Si le sacamos raiz cuadrada a lo que nos quedo al final tendremos:
$(1+\frac{1}{n(n+1)})$ y esto representa a cualquier termino de la suma.
$n$ representa al numero del termino
Ahora que ya sabia esto, comence a hacer las sumas de los primeros terminos.
BorrarLa suma hasta el primer termino me salio que era $\frac{3}{2}$
Luego, le sume el 2do termino y me salio que era $\frac{8}{3}$
Al sumar el 3er termino me salio que era $\frac{15}{4}$
Despues de esto note que se le iba aumentando al numerador un numero impar en orden ascendente y que el denominador iba aumentando de 1 en 1.
Suponemos que esto seguira sucediendo. Entonces la suma hasta el termino $k$ seria $\frac{3+5+7+9+...+2k-1}{k}$
Esto nos deja que la respuesta seria $\frac{k^2-1}{k}$
Queremos que esto sea cierto para $k+1$ entonces a $\frac{k^2-1}{k}$ le sumamos $1+\frac{1}{k(k+1)}$
$\frac{k^2-1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$
$\frac{(k^2-1)(k^2+k)+k}{k^2(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$
$\frac{k^4+k^3-k^2}{k^2(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$
$\frac{k^2(k^2+k-1}{k^2(k+1)}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$
$\frac{k^2+k-1}{k+1}+1=\frac{(k+1)^2-1}{k+1}$
$\frac{k^2+k-1+k+1}{k+1}=\frac{(k^2+2k+1-1}{k+1}$
$\frac{k^2+2k}{k+1}=\frac{(k^2+2k}{k+1}$
Entonces cumple para toda $k$.
$k$ es el numero del termino hasta el cual queremos sumar mas 1. Entonces como son $2011$ terminos, $k=2012$
Entonces la suma es $\frac{2012^2-1}{2012}$
Por lo tanto $p=2012^2-1$ y $q=2012$
Correcto.
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001531.jpg
ResponderBorrarINTENTO
Esa parte es correcta.
BorrarFalta la suma.
Vemos que el n-ésimo término es:
ResponderBorrar$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$
Hacemos un poco de álgebra para llegar a un término más sencillo:
$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$
$\sqrt{1+\frac{n^2+2n+1+n^2}{(n(n+1))^2}}$
$\sqrt{1+\frac{2n^2+2n}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}}$
$\sqrt{1+\frac{2n(n+1)}{(n(n+1))^2}+\frac{1}{(n(n+1))^2}}$
$\sqrt{1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{(n(n+1))^2}}$
$\sqrt{(1+\frac{1}{n(n+1)})^2}$
$1+\frac{1}{n(n+1)}$
Aplicamos la fórmula para las sumas hasta los primeros términos:
Término $1$ : $1+\frac{1}{1(2)}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
Término $2$ : $\frac{3}{2}+1+\frac{1}{2(3)}=\frac{3}{2}+1+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}+\frac{7}{6}=\frac{8}{3}$
Término $3$ : $\frac{8}{3}+1+\frac{1}{3(4)}=\frac{8}{3}+1+\frac{1}{12}=\frac{8}{3}+\frac{13}{12}=\frac{15}{4}$
Término $4$ : $\frac{15}{4}+1+\frac{1}{4(5)}=\frac{15}{4}+1+\frac{1}{20}=\frac{15}{4}+\frac{21}{20}=\frac{24}{5}$
Nos fijamos que el numerador va aumentando $1$ y el denominador va aumentando en $5,7,9$ ; es decir en impares consecutivos.
Si eso pasa siempre, la suma hasta el k-ésimo término sería:
$\frac{3+5+\cdots+(2k-1)+(2k+1)}{k+1}=\frac{k^2+(2k+1)-1}{k+1}=\frac{k^2+2k}{k+1}=\frac{k(k+2)}{k+1}$
Y demostraré ésto con inducción:
Para $k+1$ sería:
$\frac{(k+1)((k+1)+2)}{(k+1)+1}=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$
Vemos que cumple para $k$ :
$\bullet k=1 \rightarrow \frac{k(k+2)}{k+1}=\frac{1(1+2)}{1+1}=\frac{1(3)}{2}=\frac{3}{2} \text{\checkmark}$
Para $k+1$ debe ser asi:
$\frac{k(k+2)}{k+1}+(1+\frac{1}{(k+1)(k+2)})=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$
$\Leftrightarrow \frac{k(k+2)}{k+1}+\frac{1+(k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$
$\Leftrightarrow \frac{k(k+2)^2+1+(k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)(k+3)}{k+2}$
$\Leftrightarrow k(k+2)^2+1+(k+1)(k+2)=(k+1)^2(k+3)$
$\Leftrightarrow k(k^2+4k+4)+1+(k^2+3k+2)=(k^2+2k+1)(k+3)$
$\Leftrightarrow (k^3+4k^2+4k)+1+(k^2+3k+2)=(k^3+2k^2+k+3k^2+6k+3)$
$\Leftrightarrow k^3+5k^2+7k+3=k^3+5k^2+7k+3 \text{\checkmark}$
Entonces podemos aplicar la fórmula para $2011$ :
$\frac{k(k+2)}{k+1}=\frac{2011 \times 2013}{2012}=\frac{4048143}{2012}$
$\therefore p=4048143 , q=2012$
Correcto.
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ResponderBorrarNos fijamos en que cada termino de la sucesion lleva la siguiente secuencia:
ResponderBorrar$\sqrt{1+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^2}}$
Lo sumamos y obtenemos:
$\sqrt{\frac{(k^{2}+k+1)^2}{(k^{2}+k)^2}$
Sacamos raiz
$\frac{(k^{2}+k+1)}{(k^{2}+k)}=1+\frac{1}{k^{2}+k}$
Sustituimos(la ultima posicion $k=2011$
$1er$ termino$=1+\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{3}{2}$
Termino $2011=1+\frac{1}{2011^{2}+2011}=\frac{4046133}{4046132}$
Me fijo en $1+\frac{1}{2011^{2}+2011}$ que se puede factorizar como:
$1+\frac{1}{(2011)(2012)}$
En la la sumatoria final vamos a tener $2011(1)$ y la suma de consecutivos $\frac{1}{(1)(2)}+\frac{1}{(2)(3)}+\frac{1}{(3)(4)}...+\frac{1}{(2011)(2012)}$
Va a ser:$2011+\frac{1}{(1)(2)}+\frac{1}{(2)(3)}+\frac{1}{(3)(4)}...+\frac{1}{(2011)(2012)}$
La suma de fraciones es igual a $(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012})=\frac{2011}{2012}$
$\rigtharrow$ $2011+\frac{2011}{2012}=\frac{(2011)(2013)}{2012}$
$\therefore p=(2011)(2013) q=2012$
Correcto.
Borrartienes que cualquier termino es raiz de $1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}$ y tienes que eso es raiz de $\facc{(n^2+n+1)^2}{(n^2+n)^2}$ y sacamos raiz y tienes que eso es $\facc{(n^2+n+1)^2}{(n^2+n)^2}$ y tienes que eso es igual a $1+\frac{1}{n^2+n}$ y eso es igual a $1+\frac{1}{(n)(n+1)}$ y siempre va a ser la multiplicacion de las dos fracciones yeso va a ser igual a $2011+$ todas las fracciones porque son 2011 unos y la suma de toda las fracciones es igual a $(1-1/2)(1/2-1/3)...(1/2011-1/2012)=\frac{2011}{2012}$ entonces tienes que es $2011+\frac{2011}{2012}=\frac{2011+(2011)(2012)}{2012}$ por lo tanto $p=2011+(2011)(2012)$ y $q=2012$
ResponderBorrarCorrecto.
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