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miércoles, 10 de octubre de 2012
Problema del día, álgebra (10 de Octubre).
Sean $a$, $b$, $c$ reales diferentes de cero tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demuestre que: \[a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}\].
Ya realize la solucion del problema solo que tengo un inconveniente con la escritura en latex del problema lo que hare sera escanear mi solucion y subirla a la red, o que alguien me ayude a escribirla, Saludos desde Honduras, Victor Amaya
INTENTO: Si hay que demostrar lo anterior entonces se debe cumplir que $(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=\frac {6}{5}$ Entonces $ab+ac+bc=-\frac{3}{5}$ Luego me fijo que $a^5+b^5+c^5=(a+b+c)^5-(ab^4+a^4b+a^4c+ac^4+b^4c+bc^4)$. y $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-(ab^2+a^2b+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)$ Entonces como $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$: $ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3)=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$. Entonces me fijo que hay aparecen los ab,ac,bc.Pero aun no se como factorizarlo para que quede (ab+ac+bc) en una sola expresion.
Intento... Si $a,b,c>0$, $a+b+c>0$ entonces no pueden ser todos positivos porque sus suma debe ser 0, de la misma forma no pueden ser todos negativos. Debe haber exactamente dos con el mismo signo, S.P.D.G.: a,b tienen el mismo signo. $a+b+c=0\Rightarrow c=-(a+b)$ $a^3+b^3+(-(a+b))^3=a^5+b^5+(-(a+b))^5\Rightarrow a^3+b^3-(a+b)^3=a^5+b^5-(a+b)^5$ Podemos asumir que a,b son positivos porque si son negativos queda (tomando a,b como su valor absoluto): $-a^3-b^3+(a+b)^3=-a^5-b^5+(a+b)^5$ que es equivalente a lo de antes. P.D.: $a^2+b^2+(a+b)^2=\frac{6}{5}$ $\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2+2ab=\frac{6}{5}$ $\Leftrightarrow a^2+b^2+ab=\frac{3}{5}$ Aquí no supe como seguir para algo general... Hice el caso a=b: P.D.: $a^2+a^2+a^2=\frac{3}{5}$ $a^3+a^3-(2a)^3=a^5+a^5-(2a)^5$ $\Rightarrow 2a^3-8a^3=2a^5-32a^5$ $\Rightarrow -6a^3=-30a^5$ $\Rightarrow 1=5a^2$ $\Rightarrow \frac{1}{5}=a^2$ $\Rightarrow \frac{3}{5}=3a^2$ que es lo que buscábamos para este caso.
Entonces queremos demostrar que $-2(ab+ac+bc)=\frac{6}{5}$
Usamos la formula con $n=3$ $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+ac+bc)(a+b+c)+(abc)(a^0+b^0+c^0)$ $a^3+b^3+c^3=0-0+(abc)(3)$ $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5=3abc$
Usamos la formula con $n=5$ $a^5+b^5+c^5=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+ac+bc)(a^3+b^3+c^3)+(abc)(a^2+b^2+c^2)$ $a^5+b^5+c^5=-(ab+ac+bc)(a^3+b^3+c^3)+(abc)(a^2+b^2+c^2)$
Sustituimos los valores que ya tenemos que son $a^3+b^3+c^3=3abc$ y $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
Sabemos que $a+b+c=0$ . $\Rightarrow a=(-b-c) , b=(-a-c) , c=(-a-b)$ $\bullet a^2+b^2+c^2$$a^2+b^2+c^2=(b^2+2bc+c^2)+(a^2+2ac+c^2)+(a^2+2ab+b^2)$$a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)$ $\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)=0$ $\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)=-2(ab+ac+bc)$ $\Rightarrow (ab+ac+bc)$ debe ser $- \frac{3}{5}$ $\bullet a^3+b^3+c^3$ $a^3+b^3+c^3=-3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))-2(a^3+b^3+c^3)$ $\Rightarrow 0=-3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))-3(a^3+b^3+c^3)$ $\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))$ $\bullet a^5+b^5+c^5$ $a^5+b^5+c^5=-2(a^5+b^5+c^5)-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$ $\Rightarrow 0=-3(a^5+b^5+c^5)-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$ $\Rightarrow 3(a^5+b^5+c^5)=-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$ $\Rightarrow (a^5+b^5+c^5)=- \frac{5}{3}(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))- \frac{10}{3}(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$ $\bullet a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ $ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)=\frac{5}{3}(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))+ \frac{10}{3}(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$ Con esto he intentado hacer algo con $ab, ac, bc$ , que es lo que necesito, pero no he encontrada nada, además de despejar a un poco y llegar a algo que ya sabía... $2(a+b+c)=\frac{10}{3}(a^3+b^3+c^3)+ \frac{10}{3}(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$ $0=\frac{10}{3}(a^3+b^3+c^3)+ \frac{10}{3}(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$ $0=(a^3+b^3+c^3)+(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$ $(a^3+b^3+c^3)=-((ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))$ Que es lo que ya tenía, pero seguiré intentando...
Ya realize la solucion del problema solo que tengo un inconveniente con la escritura en latex del problema lo que hare sera escanear mi solucion y subirla a la red, o que alguien me ayude a escribirla, Saludos desde Honduras, Victor Amaya
ResponderBorrarBueno esta es mi solicion, http://i49.tinypic.com/125hp2s.png
ResponderBorrarGracias por compartir tu solución Victor, y también por compartir la recurrencia de $a^n+b^n+c^$ la cual nos servirá de mucho.
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ResponderBorrarINTENTO:
ResponderBorrarSi hay que demostrar lo anterior entonces se debe cumplir que
$(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=\frac {6}{5}$
Entonces $ab+ac+bc=-\frac{3}{5}$
Luego me fijo que $a^5+b^5+c^5=(a+b+c)^5-(ab^4+a^4b+a^4c+ac^4+b^4c+bc^4)$.
y $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-(ab^2+a^2b+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)$
Entonces como $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$:
$ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3)=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$.
Entonces me fijo que hay aparecen los ab,ac,bc.Pero aun no se como factorizarlo para que quede (ab+ac+bc) en una sola expresion.
Vas por buen camino...
BorrarIntento...
ResponderBorrarSi $a,b,c>0$, $a+b+c>0$ entonces no pueden ser todos positivos porque sus suma debe ser 0, de la misma forma no pueden ser todos negativos.
Debe haber exactamente dos con el mismo signo, S.P.D.G.: a,b tienen el mismo signo.
$a+b+c=0\Rightarrow c=-(a+b)$
$a^3+b^3+(-(a+b))^3=a^5+b^5+(-(a+b))^5\Rightarrow a^3+b^3-(a+b)^3=a^5+b^5-(a+b)^5$
Podemos asumir que a,b son positivos porque si son negativos queda (tomando a,b como su valor absoluto):
$-a^3-b^3+(a+b)^3=-a^5-b^5+(a+b)^5$ que es equivalente a lo de antes.
P.D.: $a^2+b^2+(a+b)^2=\frac{6}{5}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2+2ab=\frac{6}{5}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+ab=\frac{3}{5}$
Aquí no supe como seguir para algo general... Hice el caso a=b:
P.D.: $a^2+a^2+a^2=\frac{3}{5}$
$a^3+a^3-(2a)^3=a^5+a^5-(2a)^5$
$\Rightarrow 2a^3-8a^3=2a^5-32a^5$
$\Rightarrow -6a^3=-30a^5$
$\Rightarrow 1=5a^2$
$\Rightarrow \frac{1}{5}=a^2$
$\Rightarrow \frac{3}{5}=3a^2$ que es lo que buscábamos para este caso.
Vas por buen camino, ahora trata de hacerlo en general
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ResponderBorrarTenemos que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Queremos demostrar que $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$
ResponderBorrarSabemos que $a^n+b^n+c^n=(a+b+c)(a^n^-1+b^n^-1+c^n^-1)-(ab+ac+bc)(a^n^-2+b^n^-2+c^n^-2)+(abc)(a^n^-3+b^n^-3+c^n^-3)$
Entonces $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a+b+c)-(ab+ac+bc)(a^0+b^0+c^0)+(abc)(a^-^1+b^-^1+c^-^1)$
Se cancelan unas cosas porque se multiplican por 0 porque $a+b+c=0$
$a^2+b^2+c^2=0-(ab+ac+bc)(3)+(ab+ac+bc)$
$a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
Entonces queremos demostrar que $-2(ab+ac+bc)=\frac{6}{5}$
Usamos la formula con $n=3$
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+ac+bc)(a+b+c)+(abc)(a^0+b^0+c^0)$
$a^3+b^3+c^3=0-0+(abc)(3)$
$a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5=3abc$
Usamos la formula con $n=5$
$a^5+b^5+c^5=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+ac+bc)(a^3+b^3+c^3)+(abc)(a^2+b^2+c^2)$
$a^5+b^5+c^5=-(ab+ac+bc)(a^3+b^3+c^3)+(abc)(a^2+b^2+c^2)$
Sustituimos los valores que ya tenemos que son $a^3+b^3+c^3=3abc$ y $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
$a^5+b^5+c^5=(-3)(ab+ac+bc)(abc)-(2)(abc)(ab+ac+bc)$
$a^5+b^5+c^5=(-5)(ab+ac+bc)(abc)$
Como ya sabemos que $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ entonces nos queda:
$3abc=(-5)(ab+ac+bc)(abc)$
Dividimos ambos lados entre $abc$ y nos queda:
$3=(-5)(ab+ac+bc)$
Dividimos ambos lados entre $-5$ y nos queda:
$\frac{3}{-5}=ab+ac+bc$
Luego multiplicamos ambos lados por $-2$ y nos queda:
$\frac{6}{5}=(-2)(ab+ac+bc)$
Pero nosotros ya sabiamos que $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
Entonces $\frac{6}{5}=a^2+b^2+c^2$ Q.E.D.
Lo que me aparece en rojo es la formula para obtener $S_n$ para 3 variables.
BorrarMuy bien :)
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ResponderBorrarIntento
ResponderBorrarQueremos demostrar que $a^{2}+b^{2}c^{2}=\frac{6}{5}$
$\Rigtharrow$ $a^{2}+b^{2}c^{2}=(a+b+c)^2 -2ab-2ac-2bc=(0)^2 -2(ab+ac+bc)=\frac{6}{5}$ y $ab+ac+bc=\frac{-3}{5}$
Factorizamos $a^3+b^3+c^3=$
$($a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)-a^{2}b-a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c-c^{2}b=$
$0-a^{2}b-a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c-c^{2}b$
Factorizamos $a^5+b^5+c^5=$
$($a^{4}+b^{4}+c^{4})(a+b+c)-a^{4}b-a^{4}c-ab^{4}-ac^{4}-b^{4}c-c^{4}b=$
$0-a^{4}b-a^{4}c-ab^{4}-ac^{4}-b^{4}c-c^{4}b$
Entonces
$-a^{4}b-a^{4}c-ab^{4}-ac^{4}-b^{4}c-c^{4}b=a^{2}b-a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c-c^{2}b$
$-a^2(b+c)-b^2(a+c)-c^2(a+b)$=$-a^4(b+c)-b^4(a+c)-c^4(a+b)$
Hasta aquí llevo
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BorrarVas por buen camino, trata de factorizar lo que tienes
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ResponderBorrarTenemos primeramente que:
ResponderBorrar$a^{n}+b^{n}+c^{n}=\sigma_{1}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})-\sigma_{2}(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})+\sigma_{3}(a^{n-3}+b^{n-3}+c^{n-3})$
Lo cual aplicaremos para $n=(2, 3, 5)$ sabiendo ya que: $\sigma_{1}=a+b+c+=0$
$\bullet a^{2}+b^{2}+c^{2}=\sigma_{1}(\sigma_{1})-\sigma_{2}(a^0+b^{0}+c^{0})+\sigma_{3}(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1})$
$=\sigma_{3}(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1})-3\sigma_{2}=\sigma_{2}-3\sigma_{2}=\sigma_{2}-3\sigma_{2}=-2\sigma_{2}$
$\bullet a^{3}+b^{3}+c^{3}=\sigma_{1}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\sigma_{2}(\sigma_{1})+3\sigma_{3}$
$=3\sigma_{3}$
$\bullet a^{5}+b^{5}+c^{5}=\sigma_{1}(a^{4}+b^{4}+c^{4})-\sigma_{2}(3\sigma_{3})+\sigma_{3}(-2\sigma_{2})$
$=-5\sigma_{2}\sigma_{3}$
Sabemos que: $a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{5}+b^{5}+c^{5}$
$\Rightarrow 3\sigma_{3}=-5\sigma_{2}\sigma_{3}$
$\Rightarrow 3=-5\sigma_{2}$
$\Rightarrow - \frac{3}{5}=\sigma_{2}$
$\Rightarrow -2\sigma_{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{6}{5}\blacksquare$
Muy bien :)
BorrarSabemos que $a+b+c=0$ .
ResponderBorrar$\Rightarrow a=(-b-c) , b=(-a-c) , c=(-a-b)$
$\bullet a^2+b^2+c^2$$a^2+b^2+c^2=(b^2+2bc+c^2)+(a^2+2ac+c^2)+(a^2+2ab+b^2)$$a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)=0$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)=-2(ab+ac+bc)$
$\Rightarrow (ab+ac+bc)$ debe ser $- \frac{3}{5}$
$\bullet a^3+b^3+c^3$
$a^3+b^3+c^3=-3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))-2(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow 0=-3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))-3(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))$
$\bullet a^5+b^5+c^5$
$a^5+b^5+c^5=-2(a^5+b^5+c^5)-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\Rightarrow 0=-3(a^5+b^5+c^5)-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\Rightarrow 3(a^5+b^5+c^5)=-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\Rightarrow (a^5+b^5+c^5)=- \frac{5}{3}(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))- \frac{10}{3}(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\bullet a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$
$ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)=\frac{5}{3}(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))+ \frac{10}{3}(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
Con esto he intentado hacer algo con $ab, ac, bc$ , que es lo que necesito, pero no he encontrada nada, además de despejar a un poco y llegar a algo que ya sabía...
$2(a+b+c)=\frac{10}{3}(a^3+b^3+c^3)+ \frac{10}{3}(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$
$0=\frac{10}{3}(a^3+b^3+c^3)+ \frac{10}{3}(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$
$0=(a^3+b^3+c^3)+(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$
$(a^3+b^3+c^3)=-((ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))$
Que es lo que ya tenía, pero seguiré intentando...
Vas por buen camino...
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