Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día, álgebra (10 de Octubre).

miércoles, 10 de octubre de 2012

Problema del día, álgebra (10 de Octubre).

Sean

$a$ ,

$b$ ,

$c$ reales diferentes de cero tales que

$a+b+c=0$ y

$a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ . Demuestre que:

$a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$ .

25 comentarios:

Victor11 de octubre de 2012, 9:17 a.m.
Ya realize la solucion del problema solo que tengo un inconveniente con la escritura en latex del problema lo que hare sera escanear mi solucion y subirla a la red, o que alguien me ayude a escribirla, Saludos desde Honduras, Victor Amaya
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Victor11 de octubre de 2012, 11:50 a.m.
Bueno esta es mi solicion, http://i49.tinypic.com/125hp2s.png
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Manuel Dosal11 de octubre de 2012, 8:49 p.m.
Gracias por compartir tu solución Victor, y también por compartir la recurrencia de $a^n+b^n+c^$ la cual nos servirá de mucho.
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antonio lopez15 de octubre de 2012, 7:48 p.m.
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antonio lopez15 de octubre de 2012, 7:49 p.m.
INTENTO:
Si hay que demostrar lo anterior entonces se debe cumplir que
$(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=\frac {6}{5}$
Entonces $ab+ac+bc=-\frac{3}{5}$
Luego me fijo que $a^5+b^5+c^5=(a+b+c)^5-(ab^4+a^4b+a^4c+ac^4+b^4c+bc^4)$ .
y $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-(ab^2+a^2b+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)$
Entonces como $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ :
$ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3)=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$ .
Entonces me fijo que hay aparecen los ab,ac,bc.Pero aun no se como factorizarlo para que quede (ab+ac+bc) en una sola expresion.
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Luis Chacón15 de octubre de 2012, 8:36 p.m.
Intento...
Si $a,b,c>0$ , $a+b+c>0$ entonces no pueden ser todos positivos porque sus suma debe ser 0, de la misma forma no pueden ser todos negativos.
Debe haber exactamente dos con el mismo signo, S.P.D.G.: a,b tienen el mismo signo.
$a+b+c=0\Rightarrow c=-(a+b)$
$a^3+b^3+(-(a+b))^3=a^5+b^5+(-(a+b))^5\Rightarrow a^3+b^3-(a+b)^3=a^5+b^5-(a+b)^5$
Podemos asumir que a,b son positivos porque si son negativos queda (tomando a,b como su valor absoluto):
$-a^3-b^3+(a+b)^3=-a^5-b^5+(a+b)^5$ que es equivalente a lo de antes.
P.D.: $a^2+b^2+(a+b)^2=\frac{6}{5}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2+2ab=\frac{6}{5}$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+ab=\frac{3}{5}$
Aquí no supe como seguir para algo general... Hice el caso a=b:
P.D.: $a^2+a^2+a^2=\frac{3}{5}$
$a^3+a^3-(2a)^3=a^5+a^5-(2a)^5$
$\Rightarrow 2a^3-8a^3=2a^5-32a^5$
$\Rightarrow -6a^3=-30a^5$
$\Rightarrow 1=5a^2$
$\Rightarrow \frac{1}{5}=a^2$
$\Rightarrow \frac{3}{5}=3a^2$ que es lo que buscábamos para este caso.
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Pepe Flores15 de octubre de 2012, 9:57 p.m.
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Pepe Flores15 de octubre de 2012, 9:59 p.m.
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Pepe Flores15 de octubre de 2012, 10:00 p.m.
Tenemos que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ . Queremos demostrar que $a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}$

Sabemos que $a^n+b^n+c^n=(a+b+c)(a^n^-1+b^n^-1+c^n^-1)-(ab+ac+bc)(a^n^-2+b^n^-2+c^n^-2)+(abc)(a^n^-3+b^n^-3+c^n^-3)$

Entonces $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)(a+b+c)-(ab+ac+bc)(a^0+b^0+c^0)+(abc)(a^-^1+b^-^1+c^-^1)$

Se cancelan unas cosas porque se multiplican por 0 porque $a+b+c=0$

$a^2+b^2+c^2=0-(ab+ac+bc)(3)+(ab+ac+bc)$
$a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$

Entonces queremos demostrar que $-2(ab+ac+bc)=\frac{6}{5}$

Usamos la formula con $n=3$
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+ac+bc)(a+b+c)+(abc)(a^0+b^0+c^0)$
$a^3+b^3+c^3=0-0+(abc)(3)$
$a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5=3abc$

Usamos la formula con $n=5$
$a^5+b^5+c^5=(a+b+c)(a^4+b^4+c^4)-(ab+ac+bc)(a^3+b^3+c^3)+(abc)(a^2+b^2+c^2)$
$a^5+b^5+c^5=-(ab+ac+bc)(a^3+b^3+c^3)+(abc)(a^2+b^2+c^2)$

Sustituimos los valores que ya tenemos que son $a^3+b^3+c^3=3abc$ y $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$

$a^5+b^5+c^5=(-3)(ab+ac+bc)(abc)-(2)(abc)(ab+ac+bc)$
$a^5+b^5+c^5=(-5)(ab+ac+bc)(abc)$

Como ya sabemos que $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$ entonces nos queda:
$3abc=(-5)(ab+ac+bc)(abc)$

Dividimos ambos lados entre $abc$ y nos queda:
$3=(-5)(ab+ac+bc)$

Dividimos ambos lados entre $-5$ y nos queda:
$\frac{3}{-5}=ab+ac+bc$

Luego multiplicamos ambos lados por $-2$ y nos queda:
$\frac{6}{5}=(-2)(ab+ac+bc)$

Pero nosotros ya sabiamos que $a^2+b^2+c^2=-2(ab+ac+bc)$
Entonces $\frac{6}{5}=a^2+b^2+c^2$ Q.E.D.
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Unknown15 de octubre de 2012, 11:19 p.m.
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Unknown15 de octubre de 2012, 11:23 p.m.
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Unknown15 de octubre de 2012, 11:25 p.m.
Intento
Queremos demostrar que $a^{2}+b^{2}c^{2}=\frac{6}{5}$
$\Rigtharrow$ $a^{2}+b^{2}c^{2}=(a+b+c)^2 -2ab-2ac-2bc=(0)^2 -2(ab+ac+bc)=\frac{6}{5}$ y $ab+ac+bc=\frac{-3}{5}$

Factorizamos $a^3+b^3+c^3=$
$($ a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)-a^{2}b-a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c-c^{2}b=0-a^{2}b-a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c-c^{2}b $Factorizamos$ a^5+b^5+c^5=( $a^{4}+b^{4}+c^{4})(a+b+c)-a^{4}b-a^{4}c-ab^{4}-ac^{4}-b^{4}c-c^{4}b=$
$0-a^{4}b-a^{4}c-ab^{4}-ac^{4}-b^{4}c-c^{4}b$
Entonces
$-a^{4}b-a^{4}c-ab^{4}-ac^{4}-b^{4}c-c^{4}b=a^{2}b-a^{2}c-ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c-c^{2}b$
$-a^2(b+c)-b^2(a+c)-c^2(a+b)$ = $-a^4(b+c)-b^4(a+c)-c^4(a+b)$

Hasta aquí llevo
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Unknown16 de octubre de 2012, 12:16 a.m.
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Unknown16 de octubre de 2012, 12:19 a.m.
Tenemos primeramente que:
$a^{n}+b^{n}+c^{n}=\sigma_{1}(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})-\sigma_{2}(a^{n-2}+b^{n-2}+c^{n-2})+\sigma_{3}(a^{n-3}+b^{n-3}+c^{n-3})$
Lo cual aplicaremos para $n=(2, 3, 5)$ sabiendo ya que: $\sigma_{1}=a+b+c+=0$
$\bullet a^{2}+b^{2}+c^{2}=\sigma_{1}(\sigma_{1})-\sigma_{2}(a^0+b^{0}+c^{0})+\sigma_{3}(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1})$
$=\sigma_{3}(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1})-3\sigma_{2}=\sigma_{2}-3\sigma_{2}=\sigma_{2}-3\sigma_{2}=-2\sigma_{2}$
$\bullet a^{3}+b^{3}+c^{3}=\sigma_{1}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\sigma_{2}(\sigma_{1})+3\sigma_{3}$
$=3\sigma_{3}$
$\bullet a^{5}+b^{5}+c^{5}=\sigma_{1}(a^{4}+b^{4}+c^{4})-\sigma_{2}(3\sigma_{3})+\sigma_{3}(-2\sigma_{2})$
$=-5\sigma_{2}\sigma_{3}$
Sabemos que: $a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{5}+b^{5}+c^{5}$
$\Rightarrow 3\sigma_{3}=-5\sigma_{2}\sigma_{3}$
$\Rightarrow 3=-5\sigma_{2}$
$\Rightarrow - \frac{3}{5}=\sigma_{2}$
$\Rightarrow -2\sigma_{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{6}{5}\blacksquare$
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Diego Astiazarán16 de octubre de 2012, 12:22 a.m.
Sabemos que $a+b+c=0$ .
$\Rightarrow a=(-b-c) , b=(-a-c) , c=(-a-b)$
$\bullet a^2+b^2+c^2$ $a^2+b^2+c^2=(b^2+2bc+c^2)+(a^2+2ac+c^2)+(a^2+2ab+b^2)$ $a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)=0$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)=-2(ab+ac+bc)$
$\Rightarrow (ab+ac+bc)$ debe ser $- \frac{3}{5}$
$\bullet a^3+b^3+c^3$
$a^3+b^3+c^3=-3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))-2(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow 0=-3(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))-3(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3=-(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))$
$\bullet a^5+b^5+c^5$
$a^5+b^5+c^5=-2(a^5+b^5+c^5)-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\Rightarrow 0=-3(a^5+b^5+c^5)-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\Rightarrow 3(a^5+b^5+c^5)=-5(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))-10(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\Rightarrow (a^5+b^5+c^5)=- \frac{5}{3}(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))- \frac{10}{3}(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
$\bullet a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$
$ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)=\frac{5}{3}(ab(a^3+b^3)+ac(a^3+c^3)+bc(b^3+c^3))+ \frac{10}{3}(ab(a^2b+b^2a)+ac(a^2c+c^2a)+bc(b^2c+c^2b))$
Con esto he intentado hacer algo con $ab, ac, bc$ , que es lo que necesito, pero no he encontrada nada, además de despejar a un poco y llegar a algo que ya sabía...
$2(a+b+c)=\frac{10}{3}(a^3+b^3+c^3)+ \frac{10}{3}(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$
$0=\frac{10}{3}(a^3+b^3+c^3)+ \frac{10}{3}(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$
$0=(a^3+b^3+c^3)+(ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)$
$(a^3+b^3+c^3)=-((ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c))$
Que es lo que ya tenía, pero seguiré intentando...
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Unknown16 de octubre de 2012, 12:38 a.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001501.jpg
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martin contreras carrera16 de octubre de 2012, 7:15 p.m.
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