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domingo, 28 de octubre de 2012
Problema del día. Álgebra (28 de octubre)
Para cada entero positivo $n$ denotamos por $a(n)$ al producto de los dígitos de $n$.
a) Demostrar que $a(n)\leq n$.
b) Determinar todas las soluciones de la ecuación $n^2-17n+56=a(n)$.
Sean $a_1,a_2,...,a_k$ los digitos de $n$.Entonces: $n=a_k(10^{k-1})+a_{k-1}(10^{k-2})+...+a_1(10^0)$ entonces me fijo que $a_i\leq a_i(10^{i-1})$.Entonces: $a(n)=a_1*a_2*...*a_k\leq a_k(10^{k-1})+a_{k-1}(10^{k-2})+...+a_1(10^0)=n$
¿Por qué $a_1*a_2*...*a_k\leq a_k(10^{k-1})+a_{k-1}(10^{k-2})+...+a_1(10^0)$? Sí es cierto que $a_i\leq a_i(10^{i-1}$, pero para hacer la desigualdad con eso ¿no tendrías que hacer lo mismo de ambos lados? Por ejemplo, $3\leq 4$, pero $3*3\leq 4+4$ no es cierto.
Sugerencias: Para el inciso a, hagan induccion, aqui el truco es saber sobre que hacer induccion. Para el inciso b, utilizen el resultado del inciso a, obtendran un espacio muy limitado de posibles soluciones.
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ResponderBorrarSean $a_1,a_2,...,a_k$ los digitos de $n$.Entonces:
ResponderBorrar$n=a_k(10^{k-1})+a_{k-1}(10^{k-2})+...+a_1(10^0)$
entonces me fijo que $a_i\leq a_i(10^{i-1})$.Entonces:
$a(n)=a_1*a_2*...*a_k\leq a_k(10^{k-1})+a_{k-1}(10^{k-2})+...+a_1(10^0)=n$
¿Por qué $a_1*a_2*...*a_k\leq a_k(10^{k-1})+a_{k-1}(10^{k-2})+...+a_1(10^0)$? Sí es cierto que $a_i\leq a_i(10^{i-1}$, pero para hacer la desigualdad con eso ¿no tendrías que hacer lo mismo de ambos lados? Por ejemplo, $3\leq 4$, pero $3*3\leq 4+4$ no es cierto.
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ResponderBorrarPara el inciso a, hagan induccion, aqui el truco es saber sobre que hacer induccion.
Para el inciso b, utilizen el resultado del inciso a, obtendran un espacio muy limitado de posibles soluciones.