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domingo, 28 de octubre de 2012
Problema del día. Álgebra (28 de octubre)
Para cada entero positivo n denotamos por a(n) al producto de los dígitos de n.
a) Demostrar que a(n)≤n.
b) Determinar todas las soluciones de la ecuación n2−17n+56=a(n).
Sean a1,a2,...,ak los digitos de n.Entonces: n=ak(10k−1)+ak−1(10k−2)+...+a1(100) entonces me fijo que ai≤ai(10i−1).Entonces: a(n)=a1∗a2∗...∗ak≤ak(10k−1)+ak−1(10k−2)+...+a1(100)=n
¿Por qué a1∗a2∗...∗ak≤ak(10k−1)+ak−1(10k−2)+...+a1(100)? Sí es cierto que ai≤ai(10i−1, pero para hacer la desigualdad con eso ¿no tendrías que hacer lo mismo de ambos lados? Por ejemplo, 3≤4, pero 3∗3≤4+4 no es cierto.
Sugerencias: Para el inciso a, hagan induccion, aqui el truco es saber sobre que hacer induccion. Para el inciso b, utilizen el resultado del inciso a, obtendran un espacio muy limitado de posibles soluciones.
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ResponderBorrarSean a1,a2,...,ak los digitos de n.Entonces:
ResponderBorrarn=ak(10k−1)+ak−1(10k−2)+...+a1(100)
entonces me fijo que ai≤ai(10i−1).Entonces:
a(n)=a1∗a2∗...∗ak≤ak(10k−1)+ak−1(10k−2)+...+a1(100)=n
¿Por qué a1∗a2∗...∗ak≤ak(10k−1)+ak−1(10k−2)+...+a1(100)? Sí es cierto que ai≤ai(10i−1, pero para hacer la desigualdad con eso ¿no tendrías que hacer lo mismo de ambos lados? Por ejemplo, 3≤4, pero 3∗3≤4+4 no es cierto.
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ResponderBorrarPara el inciso a, hagan induccion, aqui el truco es saber sobre que hacer induccion.
Para el inciso b, utilizen el resultado del inciso a, obtendran un espacio muy limitado de posibles soluciones.