Dos circunferencias se cortan en A y B. Una linea pasa por A intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B hacia las tangentes que pasan por C y D, respectivamente. Sea M la interseccion de PQ con CD.
Demostrar que MB es perpendicular a CD.
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ResponderBorrarSea N la interseccion del circulo de diametro AB con la linea CD.Mostrare que PQ pasa por N.Es decir que el punto N es igual al punto M.LO que implicaria que ∠AMB=∠ANB=90.Entonces solo hay que demostrar que M y N son el mismo punto.
ResponderBorrarSea E la interseccion de las tangentes en C y D.Veo que ∠ABC=∠ECA ya que abren el mismo arco CA.Luego ∠ABD=∠EDA porq abren el arco AD.entonces
∠CBD=∠ABC+∠ABD=∠ECA+∠EDA=180−∠CED eso ultimo es por la suma de angulos en △ECD.Luego por esto ultimo el cuadrilatero CBDE es ciclico entonces
∠BDE=∠PCB entonces △PCB∼△QDB.
Luego PCNB es ciclico ya que ∠CNB=∠CPB=90 analogamente el cuadrilatero BNQD tambien es ciclico entonces ∠CNP=∠CBP=∠QBD=∠QND.Eso implica que ∠CNP=∠QND y por lo tanto que estos dos angulos sean opuestos por el vertice y por lo tanto implica que P,M,Q son colineales, entonces como M es la interseccion de PQ con CD y N esta en CD entonces N=M como queriamos demostrar.
Se ve bien
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