lunes, 8 de octubre de 2012

Problema del Día. Geometría (8 de Octubre)

Dos circunferencias se cortan en A y B. Una linea pasa por A intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B hacia las tangentes que pasan por C y D, respectivamente. Sea M la interseccion de PQ con CD.
Demostrar que MB es perpendicular a CD.




3 comentarios:

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  2. Sea N la interseccion del circulo de diametro AB con la linea CD.Mostrare que PQ pasa por N.Es decir que el punto N es igual al punto M.LO que implicaria que AMB=ANB=90.Entonces solo hay que demostrar que M y N son el mismo punto.
    Sea E la interseccion de las tangentes en C y D.Veo que ABC=ECA ya que abren el mismo arco CA.Luego ABD=EDA porq abren el arco AD.entonces
    CBD=ABC+ABD=ECA+EDA=180CED eso ultimo es por la suma de angulos en ECD.Luego por esto ultimo el cuadrilatero CBDE es ciclico entonces
    BDE=PCB entonces PCBQDB.
    Luego PCNB es ciclico ya que CNB=CPB=90 analogamente el cuadrilatero BNQD tambien es ciclico entonces CNP=CBP=QBD=QND.Eso implica que CNP=QND y por lo tanto que estos dos angulos sean opuestos por el vertice y por lo tanto implica que P,M,Q son colineales, entonces como M es la interseccion de PQ con CD y N esta en CD entonces N=M como queriamos demostrar.

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