Dos circunferencias se cortan en A y B. Una linea pasa por A intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B hacia las tangentes que pasan por C y D, respectivamente. Sea M la interseccion de PQ con CD.
Demostrar que MB es perpendicular a CD.
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ResponderBorrarSea $N$ la interseccion del circulo de diametro $A$B con la linea $CD$.Mostrare que $PQ$ pasa por $N$.Es decir que el punto $N$ es igual al punto $M$.LO que implicaria que $\angle AMB=\angle ANB=90$.Entonces solo hay que demostrar que $M$ y $N$ son el mismo punto.
ResponderBorrarSea $E$ la interseccion de las tangentes en $C$ y $D$.Veo que $\angle ABC=\angle ECA$ ya que abren el mismo arco $CA$.Luego $\angle ABD=\angle EDA$ porq abren el arco $AD$.entonces
$\angle CBD=\angle ABC +\angle ABD=\angle ECA +\angle EDA=180-\angle CED$ eso ultimo es por la suma de angulos en $\triangle ECD$.Luego por esto ultimo el cuadrilatero $CBDE$ es ciclico entonces
$\angle BDE=\angle PCB$ entonces $\triangle PCB\sim \triangle QDB$.
Luego $PCNB$ es ciclico ya que $\angle CNB=\angle CPB=90$ analogamente el cuadrilatero $BNQD$ tambien es ciclico entonces $\angle CNP=\angle CBP=\angle QBD=\angle QND$.Eso implica que $\angle CNP=\angle QND$ y por lo tanto que estos dos angulos sean opuestos por el vertice y por lo tanto implica que $P,M,Q$ son colineales, entonces como $M$ es la interseccion de $PQ$ con $CD$ y $N$ esta en CD entonces $N=M$ como queriamos demostrar.
Se ve bien
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