Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día, álgebra (3 de Octubre).

miércoles, 3 de octubre de 2012

Problema del día, álgebra (3 de Octubre).

$a$ ,

$b$ y

$c$ son las longitudes de los lados de un triángulo de área

$(ABC)$ , demostrar que

$4\sqrt 3(ABC)\leq a^2+b^2+c^2$ .

23 comentarios:

Diego Astiazarán4 de octubre de 2012, 3:36 p.m.
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Diego Astiazarán4 de octubre de 2012, 3:39 p.m.
$\text{Usando la formula de Heron, tenemos:}$
$(ABC)=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}$
$(ABC)=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{b+c-a}{2})(\frac{a+c-b}{2})(\frac{a+b-c}{2})}$
$(ABC)=\sqrt{\frac{-(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{16}}$
$\text{Tenemos:} \: 4\sqrt{3}(ABC)\leq a^2+b^2+c^2$
$\text{Elevamos ambos terminos al cuadrado:}$
$(16)(3)(\frac{-(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{16})\leq (a^2+b^2+c^2)^2$
$\Rightarrow (3)(-(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2))\leq (a^2+b^2+c^2)^2$
$\Rightarrow 6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-3(a^4+b^4+c^4)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$
$\text{Sabemos que} \: (a^2+b^2+c^2)^2=(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)^2-6(a^4+b^4+c^4) \leq (a^2+b^2+c^2)^2$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)^2\leq 6(a^4+b^4+c^4)$
$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\leq 3(a^4+b^4+c^4)$
$\Rightarrow (a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\leq 3(a^4+b^4+c^4)$
$\Rightarrow 2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\leq 2(a^4+b^4+c^4)$
$\Rightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\leq a^4+b^4+c^4$
$\text{S.P.D.G.} \: a^2\geq b^2\geq c^2$
$\text{Reacomodamos la ultima desigualdad:}$
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq a^2a^2+b^2b^2+c^2c^2$
$\text{Vemos que} \: b^2 , c^2 , a^2 \: \text{es una permutacion de} \: a^2 , b^2 , c^2$ .
$\therefore a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\leq a^4+b^4+c^4 \: \blacksquare$
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Unknown4 de octubre de 2012, 9:25 p.m.
Sabemos por Heron $\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a+b-a}{2}\cdot \frac{a-b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2}}=\left (ABC \right )$ entonces hacemos toda la operacion y nos queda $\sqrt{\frac{-\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )+2\left ( a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2} \right )}{16}}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4\sqrt{3}}$ entonces multiplicamos al cuadrado para eliminar la raiz lo cual es igual a $\frac{\left -( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )+2\left ( qa^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2} \right )}{16}$ $\leq$ $\frac{a^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}+b^{4}+c^{4}}{48}$ el $48$ es por que $(4\sqrt{3})^{2}=48$ entonces multiplicamos las dos desigualdades por $48\cdot 16$ entonces nos que $-48\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4} \right )+96\left (a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2} \right )\leq 16a^{4}+16b^{4}+16c^{4}+32a^{2}b^{2}+32b^{2}c^{2}+32a^{2}c^{2}$ entonces desarrollo la desigualdad y nos queda que $64a^{2}b^{2}+64b^{2}c^{2}+64a^{2}c^{2}\leq 64a^{4}+64b^{4}+64c^{4}$ entonces dividmos todo entre 64 y despues sacamos raiz cuadrada ahora nos queda que $ab+bc+ac\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ y se sabe que si a,b,c son numeros reales se cumple esta desigualdad por lo tanto terminamos
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antonio lopez9 de octubre de 2012, 4:54 p.m.
Veo que si elevo ambos terminos al cuadrado me queda que:
$16*3*(ABC)^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2$
Luego por heron se cumple que:
$(ABC)^2=(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})(\frac{a+c-b}{2})(\frac{b+c-a}{2})$
Entonces: $3((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$ .Entonces al expandir todo me queda que:
$3(2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)-(a^4+b^4+c^4))\leq a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$
Luego si resto $2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$ y sumo $3(a^4+b^4+c^4)$ a ambos lados me quedaria que:
$4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)\leq 4(a^4+b^4+c^4)$
entonces $a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\leq a^4+b^4+c^4$ . Luego me fijo que por reacomodo eso se cumple ya que podemos suponer S.P.D.G que $a^2\leq b^2\leq c^2$ . Entonces si lo anterior se cumple se cumple todo lo demas.Q.E.D
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Luis Chacón9 de octubre de 2012, 10:16 p.m.
$4\sqrt{3}|ABC|=4\sqrt{3}\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$
$=\sqrt{16(3)(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})}$
$=\sqrt{3((b+c+a)(b+c-a))((a-b+c)(a-(b+c))}$
$=\sqrt{3((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}$
$=\sqrt{3(b^2+2bc+c^2-a^2)(a^2-b^2+2bc-c^2)}$
$=\sqrt{3(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-(b^2+c^2-a^2))}$
$=\sqrt{3(4b^2c^2-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2)}$
$=\sqrt{3(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4)}$
$=\sqrt{6a^2b^2+6a^2c^2+6b^2c^2-3a^4-3b^4-3c^4}$

$(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2$

$4\sqrt{3}|ABC|\leq a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{6a^2b^2+6a^2c^2+6b^2c^2-3a^4-3b^4-3c^4}\leq a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow \sqrt{(6a^2b^2+6a^2c^2+6b^2c^2-3a^4-3b^4-3c^4})^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2$
$\Leftrightarrow 6a^2b^2+6a^2c^2+6b^2c^2-3a^4-3b^4-3c^4\leq a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2$
$\Leftrightarrow 4a^2b^2+4a^2c^2+4b^2c^2\leq 4a^4+4b^4+4c^4$
$\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq a^4+b^4+c^4$

S.P.D.G.: $a^2\leq b^2 \leq c^2$
$b^2,c^2,a^2$ es un reacomodo de $a^2,b^2,c^2$ , entonces $a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ .
Por lo tanto $4\sqrt{3}|ABC|\leq a^2+b^2+c^2$ .
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Unknown9 de octubre de 2012, 11:34 p.m.
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martin contreras carrera10 de octubre de 2012, 7:58 p.m.
primero me fio que por heron $(ABC)^2=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)}{16}$ entonces tenemos que demostrar que :
$16*3(\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)}{16} \le (a^2+b^2+c^2)=a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+b^4+b^2c^2+c^4$
entonces
$*3(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a) \le (a^2+b^2+c^2)=a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+b^4+b^2c^2+c^4$
qeue es lo mismo que :
$3(-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2c^2b^2-b^4-c^4) \le a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+b^4+2b^2c^2+c^4$
y esto es lo mismo que
$3(-a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2c^2b^2-b^4-c^4)+3(a^2+b^2+c^2)- (2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2)\le a^4+2a^2b^2+2a^2c^2+b^4+2b^2c^2+c^43(a^2+b^2+c^2)- (2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2)$ y es lo mismo que demostrar que :
$4(a^2b^2+a^2c^2+c^2b^2) \le 4(a^4+b^4+c^4)$ y es lo mismo qeu:
$a^2b^2+a^2c^2+c^2b^2 \le a^4+b^4+c^4$
y si usamos reacomodo queda demostrado y savemos que podemos usarlo porque no afecta si cambiamos las letras.
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Unknown10 de octubre de 2012, 9:39 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=399185690152231&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y AQUI INTENTE ALGO PARECIDO, NO SUPE TERMINAR EN NINGUNO: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=399189260151874&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
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Unknown10 de octubre de 2012, 11:58 p.m.
Intento.-
Por fórmula de Heron:
$(ABC)=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{b+c-a}{2})(\frac{b+a-c}{2})(\frac{a+c-b}{2})}$
$\Rightarrow (ABC)=\frac{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)}}{\sqrt{16}}$
Expandiendo tenemos:
$(ABC)=\frac{\sqrt{2^a{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}$
y hasta aquí llevo.
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Pepe Flores11 de octubre de 2012, 12:30 a.m.
Si elevamos ambos lados de la desigualdad al cuadrado nos queda:
$3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$
La expandimos y despues nos queda:
$3(2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4))\leq a^4+b^4+c^4+2(a^2+b^2+c^2)$
$6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-3(a^4+b^4+c^4))\leq a^4+b^4+c^4+2(a^2+b^2+c^2)$
Lo despejamos y nos queda:
$6(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-2(a^2+b^2+c^2)\leq 4(a^4+b^4+c^4)$
$4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\leq 4(a^4+b^4+c^4)$
Ahora dividimos entre 4 de ambos lados y nos queda:
$(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)\leq (a^4+b^4+c^4)$
Y al tener esto nos podemos dar cuenta de que es un reacomodo y que $a^2a^2+b^2b^2+c^2c^2$ es el mayor
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Unknown11 de octubre de 2012, 8:50 p.m.
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Unknown11 de octubre de 2012, 9:03 p.m.
Por Heron tenemos
$4\sqrt{3}* \sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{-a+b+c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})}\leq a^2+b^2+c^2$

Desarrollamos la expresión y obtenemos:
$4\sqrt{3}*\sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}}\leq a^2+b^2+c^2$

Elevamos al cuadrado en ambos lados
${4\sqrt{3}*\sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}}}^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2$

Obtenemos
$(3)(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=$
$-3a^{2}-3b^{2}-3c^{2}+6a^{2}b^{2}+6a^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$-3a^{2}-3b^{2}-3c^{2}+6a^{2}b^{2}+6a^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\leq 0$
$-a^{4}-b^{4}-c^{4}+a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\leq 0$
$+a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\leq +a^{4}+b^{4}+c^{4}=$
$+a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\leq +a^{2}a^{2}+c^{2}c^{2}+b^{2}b^{2}$
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