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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
domingo, 7 de octubre de 2012
Problema del día. Teoría de Números (7 de Octubre)
Determina el máximo común divisor de los números: 33−3,55−5,77−7,⋯,20112011−2011
(Nota: Son los impares)
Veo primero que el menor numero de la secuencia es 33−3=24 entonces a lo mas el mcd de todos los términos es 24. Demostrare que precisamente es el 24.Primero me fijo que 24=8∗3. Entonces vere la congruencia modulo 8 y modulo 3. Primero para modulo 3 hay 3 casos: Si (2n+1)≡0(mod3) entonces (2n+1)2n+1−(2n+1)≡0(mod3). Si (2n+1)≡1(mod3) entonces (2n+1)2n+1−(2n+1)≡1−1≡0(mod3). Si (2n+1)≡2(mod3) entonces (2n+1)2n+1−(2n+1)≡(−1)2n+1+1≡−1+1≡0(mod3). Luego vere modulo 8 y me fijo que (2n+1)2n+1−(2n+1)=(2n+1)((2n+1)2n−1)=(2n+1)(((2n+1)n+1)((2n+1)n−1)).Luego fijandome en ((2n+1)n+1)((2n+1)n−1) me fijo que ambos terminos son pares entonces las distintas posibles congruencias modulo 8 son (2,4),(4,6),(6,0),(0,2) y viceversa. Entonces como ambas congruencias siempre se multiplican en todos los casos daria al final congruencia 0 modulo 8, entonces todos los terminos de la sucesion son multiplos de 3 y de 8, entonces el mcd de todos los terminos es 24
33−3=27−3=24=3(23) Entonces el máximo común divisor no puede tener ningún factor fuera de 3,23. (2n+1)2n+1−(2n+1)=(2n+1)((2n+1)2n−1)=(2n+1)((2n+1)n+1)((2n+1)n−1) (2n+1)n es impar, entonces (2n+1)n+1,(2n+1)n−1 son pares, y como la diferencia es 2, alguno es múltiplo de 4 (porque al ser pares tienen congruencia 2,0 mod 4 y no pueden ser ambos 2) entonces es múltiplo de 2(4)=8 Si x≡1,−1(mod3), entonces x2k≡1(mod3), entonces si 2n+1 no es múltiplo de 3, (2n+1)2n−1 lo será y si 2n+1 es o no múltiplo de 3, (2n+1)((2n+1)2n−1) lo será. (2n+1)2n+1−(2n+1) es múltiplo de 8 y de 3, entonces es múltiplo de 3(23). Por lo tanto el máximo común divisor de todos es 24 (independientemente de si son impares o primos, porque son de la forma 2n+1).
Por ser diferencia de impares nos damos cuenta que a todos los numeros los divide el 2, despues vemos los tres posibles casos de cada numero congruente a 0,1,2 mod 3 entonces en el caso donde x≡0mod3 oviamente xx−x≡0mod3, cuando x≡1mod3 entonces nos damos cuenta que 1 y 3 son primos relativos por lo tanto podemos multiplicar entonces x2≡xmod3 esto se puede si x es primo relativo con el tres y sabemos que es sierto entonces xx−x≡1x−1≡0mod3 cumple ahora para x≡2mod3 sabemos que son primos relativos y podemos multiplicar entonces x2x−1≡2mod3 entonces x2x−1−x≡2−2≡0mod3 por lo tanto tambien funciona el 3
Primero vemos que sin importar si la secuencia es de impares o primos, todos los números se pueden expresar como 2n+1 porque si fueran primos, el 2 no está. Expandimos el término (2n+1)2n+1−(2n+1) : (2n+1)((2n+1)2n−1)=(2n+1)((2n+1)n+1)((2n+1)n−1) Sabemos que el mcd que buscamos sera menor o igual al menor término de la secuencia, es decir 33−3=27−3=24=3(23) Sabemos que (2n+1) es impar, entonces (2n+1)n es impar. Y entonces (2n+1)n+1 y (2n+1)n−1) son pares. Sabemos que al multiplicar dos pares consecutivos, el resultado será múltiplo de 8, es decir 23 . Por lo tanto ((2n+1)n+1)((2n+1)n−1))=8x Entonces (2n+1)2n+1−(2n+1) es múltiplo de 23 . Digamos que (2n+1)=k . Vemos las diferencias congruencias módulo 3 : ∙k≡0(mod3) ⇒kk≡0(mod3) ⇒kk−k≡0(mod3) ∙k≡1(mod3) ⇒kk≡1(mod3) ⇒kk−k≡0(mod3) ∙k≡2(mod3) ⇒kk≡2(mod3) ⇒kk−k≡0(mod3) Por lo tanto (2n+1)2n+1−(2n+1) es múltiplo de 3 . ∴ El mcd de todos los términos de la secuencia es 24.
tenemos que el menor es 33−3=24 entonces el minimo comun multiplo es 24 a lo mas entonces tienes que todos los numeros impares son asi 2n+1 y tienes que seria 2n+1(((2n+1)2n)−1 y lo expandes y te queda que es (2n+1)(((2n+1)n)+1)(((2n+1)n)−1) y tienes que 2n−1 es impar por lo tanto ((2n+1)n) es impar por lo tanto si le sumas o le restas uno te queda que son pares y por casillas uno es multiplo de 4 y el otro de 2 por lo tanto es multiplo de 8 y tienes que si n es 2n+1≡1,2(mod3) entonces si es uno entonces ((2n+1)n)−1) es multiplo de 3 y si es dos entonces igual pasari que ((2n+1)n)−1) es multiplo de 3 entonces es multiplo de (8)3=24 por lo tanto el minimo comun multiplo de todos es 24
Correcto. Pero faflta explicar mejor el caso del modulo 3: -Falta el caso en el que 2n+1≡0(mod3) -Falta explicar mejor el caso 2n+1≡2(mod3) (¿por qué es múltiplo de 3?)
primero me fijo que a o mas el mcd es 24 por lo de 33−3=24 entonces me fijo en las congruencias de los exponentes a modulo 8 caso 1: congruencias a 1 modulo 8 entonces a cualquier exponente la congruencia va a ser siempre congruente a 1 modulo 8 entoncessi le restamos el numero n es como si a la congruencia le restasemos 1 y nos quesaria que seria congruente a 0 modulo 8. caso2: n≡3(mod8) entonces el patron de la congruencia modulo 8 del exponente de n seria asi: 3,1,3,1,3.... y nos fijamos que va a ser congruente a 3 solo cuando el exponente sea impar entonces cuando el exponente sea impara y le restamos n va a pasar lo mismo que con el caso anterior , va a ser como si a la congruencia le restasemos 3 y nos quedaria congruente a 0 mod 8. en genral para cualquier numero impar n va a ser asi : n≡k(mod8) con k un entero impar ya que si es para entonces n seria par y savemos q no se puede. y luego el patron de congruencias seria k,1,k,1,k,1,k... y la congruencia a k solo se dARIA CUANDO EL EXPONENT SEA IMPAR entonces despues le restariamos n que seria como restarle k a la congruencia y nos quedaria que si seria multiplo de 8. ahora cuando n≡0(mod3) entonces en cualquier exponente va a ser multiplo de 3 y si le restamos n va a seguir siendo multiplo de 3 ya que tambien n es multiplo de 3 ahora cuando n≡1(mod3) entonces el patron de congruencias seria siempre 1 entonces si le restamos n es como si le restasemos 1 a la congruencia y nos quedaria qe seria congruente a 0 mod 3 ahora cuando n≡2(mod3) vemos que el patron de congruencias seria 2,1,2,1,2.... y el 2 solo apareceria cuando el exponente es impar entonces si le respamos n es como si le restasemos 2 a la congruencia y nos quedaria que si seria multiplo de 3. entonces como ya checamos todos los caso y nos dio que en todos los caso siempre va a ser multiplo de 3 y de 8 entonces siempre va aser multiplo de 24 entonces el MCD es 24
Intento.- Vi los casos chicos: mcd(3(32−1),5(54−1))=3(32−1=24 mcd(24,7(76−1))=24 Por lo que he intentado demostrar que: mcd(3(32−1),5(54−1),⋯2011(20112010−1))=24 Podemos afirmar que será al menos 2 pues tenemos impares elevados a distintas potencias y a cada uno le restamos uno, por lo que todos los términos son pares.
Solución completa.- Sabemos que el mcd es a lo más 24 y debe dividir a 24 pues 33−3=24=3∗8 entonces probamos ambos módulos: P.D. (2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod3) Caso k≡0(mod3)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)≡12k+1−1≡0(mod3) Caso k≡1(mod3)⇒2k+1≡0(mod3)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod3) Caso k≡2(mod3)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)=2k+1((2k+1)2k−1)≡2((22k)−1)=22k+1−2(mod3) Vemos que toda potencia de 2 elevada a un número impar es congruente a 2 modulo 3, por lo tanto en este caso: (2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod3) Con todos los casos tenemos que 3 divide a todos los números. Ahora vemos módulo 8: P.D. (2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod8) k≡0(mod8)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)≡12k+1−1=0(mod8) k\equiv{1}\pmod{8}\Rightarrow (2k+1)^{2k+1}-(2k+1)\equiv{3^{2k+1}-3=3(3^{2k}-1) vemos que toda potencia de 3 par es congruente a 1 módulo 8, entonces 3(32k−1)≡3(0)=0(mod8) k\equiv{2}\pmod{8}\Rightarrow (2k+1)^{2k+1}-(2k+1)\equiv{5^{2k+1}-5=5(5^{2k}-1) vemos que toda potencia de 5 par es congruente a 1 módulo 8, entonces 5(52k−1)≡5(0)=0(mod8) k\equiv{3}\pmod{8}\Rightarrow (2k+1)^{2k+1}-(2k+1)\equiv{7^{2k+1}-7=7(7^{2k}-1) vemos que toda potencia de 7 par es congruente a 1 módulo 8, entonces 7(72k−1)≡7(0)=0(mod8) k≡4,5,6,7(mod8) son análogos al los casos k≡0,1,2,3(mod8) respectivamente, tenemos que para todos lo casos cumple al igual que con módulo 3, entonces mcd=24
Primero busque cual era el valor del numero mas chico. Teniendo eso, sabre que es lo maximo que puede llegar a ser el m.c.d. El numero mas chico era 33−3 y esto es igual a 24. 24=3∗8. Luego me di cuenta de que todos esos numeros se podian expresar de la forma (2n+1)((2n+1)^2^n-1)
Luego, busque la congruencia de (2n+1)((2n+1)^2^n-1) en (mod3)
SI 2n+1≡0(mod3) Entonces 3|(2n+1) Entonces 3|(2n+1)((2n+1)^2^n-1)
Si2n+1≡1,2(mod3) Entonces (2n+1)^2^n\equiv 1 (mod 3) (2n+1)^2^n-1\equiv 0 (mod 3) Entonces 3|(2n+1)((2n+1)^2^n-1)
Luego me fijo en ello en (mod8)
2n+1≡1,3,5,7(mod8) Entonces (2n+1)^2^n\ equiv 1 (mod 8) Entonces (2n+1)^2^n-1\equiv 0 (mod 8) Entonces 8|(2n+1)((2n+1)^2^n-1)
en la sucesion son todos los impares o todos los primos?
ResponderBorrarImpares.
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BorrarVeo primero que el menor numero de la secuencia es 33−3=24 entonces a lo mas el mcd de todos los términos es 24. Demostrare que precisamente es el 24.Primero me fijo que 24=8∗3. Entonces vere la congruencia modulo 8 y modulo 3.
BorrarPrimero para modulo 3 hay 3 casos:
Si (2n+1)≡0(mod3) entonces (2n+1)2n+1−(2n+1)≡0(mod3).
Si (2n+1)≡1(mod3) entonces (2n+1)2n+1−(2n+1)≡1−1≡0(mod3).
Si (2n+1)≡2(mod3) entonces (2n+1)2n+1−(2n+1)≡(−1)2n+1+1≡−1+1≡0(mod3).
Luego vere modulo 8 y me fijo que (2n+1)2n+1−(2n+1)=(2n+1)((2n+1)2n−1)=(2n+1)(((2n+1)n+1)((2n+1)n−1)).Luego fijandome en ((2n+1)n+1)((2n+1)n−1) me fijo que ambos terminos son pares entonces las distintas posibles congruencias modulo 8 son (2,4),(4,6),(6,0),(0,2) y viceversa. Entonces como ambas congruencias siempre se multiplican en todos los casos daria al final congruencia 0 modulo 8, entonces todos los terminos de la sucesion son multiplos de 3 y de 8, entonces el mcd de todos los terminos es 24
Correcto.
Borrar33−3=27−3=24=3(23)
ResponderBorrarEntonces el máximo común divisor no puede tener ningún factor fuera de 3,23.
(2n+1)2n+1−(2n+1)=(2n+1)((2n+1)2n−1)=(2n+1)((2n+1)n+1)((2n+1)n−1)
(2n+1)n es impar, entonces (2n+1)n+1,(2n+1)n−1 son pares, y como la diferencia es 2, alguno es múltiplo de 4 (porque al ser pares tienen congruencia 2,0 mod 4 y no pueden ser ambos 2) entonces es múltiplo de 2(4)=8
Si x≡1,−1(mod3), entonces x2k≡1(mod3), entonces si 2n+1 no es múltiplo de 3, (2n+1)2n−1 lo será y si 2n+1 es o no múltiplo de 3, (2n+1)((2n+1)2n−1) lo será.
(2n+1)2n+1−(2n+1) es múltiplo de 8 y de 3, entonces es múltiplo de 3(23).
Por lo tanto el máximo común divisor de todos es 24 (independientemente de si son impares o primos, porque son de la forma 2n+1).
Correcto.
BorrarPor ser diferencia de impares nos damos cuenta que a todos los numeros los divide el 2, despues vemos los tres posibles casos de cada numero congruente a 0,1,2 mod 3 entonces en el caso donde x≡0mod3 oviamente xx−x≡0mod3, cuando x≡1mod3 entonces nos damos cuenta que 1 y 3 son primos relativos por lo tanto podemos multiplicar entonces
ResponderBorrarx2≡xmod3 esto se puede si x es primo relativo con el tres y sabemos que es sierto entonces xx−x≡1x−1≡0mod3 cumple ahora para x≡2mod3 sabemos que son primos relativos y podemos multiplicar entonces x2x−1≡2mod3 entonces
x2x−1−x≡2−2≡0mod3 por lo tanto tambien funciona el 3
Esa parte es correcta, pero, ¿cuántas veces los divide el 2? ¿cuántas veces los divide el 3? ¿son los únicos?
BorrarPrimero vemos que sin importar si la secuencia es de impares o primos, todos los números se pueden expresar como 2n+1 porque si fueran primos, el 2 no está.
ResponderBorrarExpandimos el término (2n+1)2n+1−(2n+1) :
(2n+1)((2n+1)2n−1)=(2n+1)((2n+1)n+1)((2n+1)n−1)
Sabemos que el mcd que buscamos sera menor o igual al menor término de la secuencia, es decir 33−3=27−3=24=3(23)
Sabemos que (2n+1) es impar, entonces (2n+1)n es impar. Y entonces (2n+1)n+1 y (2n+1)n−1) son pares.
Sabemos que al multiplicar dos pares consecutivos, el resultado será múltiplo de 8, es decir 23 .
Por lo tanto ((2n+1)n+1)((2n+1)n−1))=8x
Entonces (2n+1)2n+1−(2n+1) es múltiplo de 23 .
Digamos que (2n+1)=k .
Vemos las diferencias congruencias módulo 3 :
∙k≡0(mod3)
⇒kk≡0(mod3)
⇒kk−k≡0(mod3)
∙k≡1(mod3)
⇒kk≡1(mod3)
⇒kk−k≡0(mod3)
∙k≡2(mod3)
⇒kk≡2(mod3)
⇒kk−k≡0(mod3)
Por lo tanto (2n+1)2n+1−(2n+1) es múltiplo de 3 .
∴ El mcd de todos los términos de la secuencia es 24.
Correcto.
BorrarEn la sucesión, son todos los impares.
ResponderBorrartenemos que el menor es 33−3=24 entonces el minimo comun multiplo es 24 a lo mas entonces tienes que todos los numeros impares son asi 2n+1 y tienes que seria 2n+1(((2n+1)2n)−1 y lo expandes y te queda que es (2n+1)(((2n+1)n)+1)(((2n+1)n)−1) y tienes que 2n−1 es impar por lo tanto ((2n+1)n) es impar por lo tanto si le sumas o le restas uno te queda que son pares y por casillas uno es multiplo de 4 y el otro de 2 por lo tanto es multiplo de 8 y tienes que si n es 2n+1≡1,2(mod3) entonces si es uno entonces ((2n+1)n)−1) es multiplo de 3 y si es dos entonces igual pasari que ((2n+1)n)−1) es multiplo de 3 entonces es multiplo de (8)3=24 por lo tanto el minimo comun multiplo de todos es 24
ResponderBorrarCorrecto.
BorrarPero faflta explicar mejor el caso del modulo 3:
-Falta el caso en el que 2n+1≡0(mod3)
-Falta explicar mejor el caso 2n+1≡2(mod3) (¿por qué es múltiplo de 3?)
Sea m el numero que buscamos.
ResponderBorrarVemos que 33−3=24
Luego m≤24
Luego vemos que todo termino de la forma (2k+1)2k+1−2k+1)
se puede descomponer de la forma (2k+1)((2k+1)2k−1)
Nos fijamos en (2k+1)((2k+1)2k−1)mod3
Si 2k+1≡0mod3
⇒3|2k+1
Si 2k+1≡1,2mod3
⇒(2k+1)2k≡1mod3
⇒(2k+1)2k−1≡0mod3
⇒3|(2k+1)2k−1
⇒∀k3|(2k+1)((2k+1)2k−1)
Ahora vemos (2k+1)((2k+1)2k−1)mod8
\(2k+1)≡1,3,5,7mod8
⇒(2k+1)2k≡1mod8
⇒(2k+1)2k−1≡0mod8
⇒∀k8|(2k+1)((2k+1)2k−1)
Luego, como (8,3)=1⇒24|(2k+1)((2k+1)2k−1)
⇒m/ge24 pero m≤24⇒m=24
∴El maximo comun divisor es 24.
Correcto.
Borrarprimero me fijo que a o mas el mcd es 24 por lo de 33−3=24 entonces me fijo en las congruencias de los exponentes a modulo 8
ResponderBorrarcaso 1: congruencias a 1 modulo 8
entonces a cualquier exponente la congruencia va a ser siempre congruente a 1 modulo 8 entoncessi le restamos el numero n es como si a la congruencia le restasemos 1 y nos quesaria que seria congruente a 0 modulo 8.
caso2: n≡3(mod8)
entonces el patron de la congruencia modulo 8 del exponente de n
seria asi: 3,1,3,1,3.... y nos fijamos que va a ser congruente a 3 solo cuando el exponente sea impar entonces cuando el exponente sea impara y le restamos n va a pasar lo mismo que con el caso anterior , va a ser como si a la congruencia le restasemos 3 y nos quedaria congruente a 0 mod 8.
en genral para cualquier numero impar n va a ser asi :
n≡k(mod8) con k un entero impar ya que si es para entonces n seria par y savemos q no se puede. y luego el patron de congruencias seria k,1,k,1,k,1,k... y la congruencia a k solo se dARIA CUANDO EL EXPONENT SEA IMPAR entonces despues le restariamos n que seria como restarle k a la congruencia y nos quedaria que si seria multiplo de 8.
ahora cuando n≡0(mod3)
entonces en cualquier exponente va a ser multiplo de 3 y si le restamos n va a seguir siendo multiplo de 3 ya que tambien n es multiplo de 3
ahora cuando n≡1(mod3) entonces el patron de congruencias seria siempre 1 entonces si le restamos n es como si le restasemos 1 a la congruencia y nos quedaria qe seria congruente a 0 mod 3
ahora cuando n≡2(mod3)
vemos que el patron de congruencias seria 2,1,2,1,2.... y el 2 solo apareceria cuando el exponente es impar entonces si le respamos n es como si le restasemos 2 a la congruencia y nos quedaria que si seria multiplo de 3.
entonces como ya checamos todos los caso y nos dio que en todos los caso siempre va a ser multiplo de 3 y de 8 entonces siempre va aser multiplo de 24 entonces el MCD es 24
Correcto.
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ResponderBorrarIntento.-
ResponderBorrarVi los casos chicos:
mcd(3(32−1),5(54−1))=3(32−1=24
mcd(24,7(76−1))=24
Por lo que he intentado demostrar que:
mcd(3(32−1),5(54−1),⋯2011(20112010−1))=24
Podemos afirmar que será al menos 2 pues tenemos impares elevados a distintas potencias y a cada uno le restamos uno, por lo que todos los términos son pares.
Solución completa.-
BorrarSabemos que el mcd es a lo más 24 y debe dividir a 24 pues 33−3=24=3∗8 entonces probamos ambos módulos:
P.D. (2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod3)
Caso k≡0(mod3)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)≡12k+1−1≡0(mod3)
Caso k≡1(mod3)⇒2k+1≡0(mod3)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod3)
Caso k≡2(mod3)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)=2k+1((2k+1)2k−1)≡2((22k)−1)=22k+1−2(mod3)
Vemos que toda potencia de 2 elevada a un número impar es congruente a 2 modulo 3, por lo tanto en este caso: (2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod3)
Con todos los casos tenemos que 3 divide a todos los números.
Ahora vemos módulo 8:
P.D. (2k+1)2k+1−(2k+1)≡0(mod8)
k≡0(mod8)⇒(2k+1)2k+1−(2k+1)≡12k+1−1=0(mod8)
k\equiv{1}\pmod{8}\Rightarrow (2k+1)^{2k+1}-(2k+1)\equiv{3^{2k+1}-3=3(3^{2k}-1) vemos que toda potencia de 3 par es congruente a 1 módulo 8, entonces 3(32k−1)≡3(0)=0(mod8)
k\equiv{2}\pmod{8}\Rightarrow (2k+1)^{2k+1}-(2k+1)\equiv{5^{2k+1}-5=5(5^{2k}-1) vemos que toda potencia de 5 par es congruente a 1 módulo 8, entonces 5(52k−1)≡5(0)=0(mod8)
k\equiv{3}\pmod{8}\Rightarrow (2k+1)^{2k+1}-(2k+1)\equiv{7^{2k+1}-7=7(7^{2k}-1) vemos que toda potencia de 7 par es congruente a 1 módulo 8, entonces 7(72k−1)≡7(0)=0(mod8)
k≡4,5,6,7(mod8) son análogos al los casos k≡0,1,2,3(mod8) respectivamente, tenemos que para todos lo casos cumple al igual que con módulo 3, entonces mcd=24
Correcto.
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ResponderBorrarPrimero busque cual era el valor del numero mas chico. Teniendo eso, sabre que es lo maximo que puede llegar a ser el m.c.d. El numero mas chico era 33−3 y esto es igual a 24. 24=3∗8. Luego me di cuenta de que todos esos numeros se podian expresar de la forma (2n+1)((2n+1)^2^n-1)
ResponderBorrarLuego, busque la congruencia de (2n+1)((2n+1)^2^n-1) en (mod3)
SI 2n+1≡0(mod3) Entonces 3|(2n+1) Entonces 3|(2n+1)((2n+1)^2^n-1)
Si2n+1≡1,2(mod3) Entonces (2n+1)^2^n\equiv 1 (mod 3)
(2n+1)^2^n-1\equiv 0 (mod 3) Entonces 3|(2n+1)((2n+1)^2^n-1)
Luego me fijo en ello en (mod8)
2n+1≡1,3,5,7(mod8)
Entonces (2n+1)^2^n\ equiv 1 (mod 8)
Entonces (2n+1)^2^n-1\equiv 0 (mod 8)
Entonces 8|(2n+1)((2n+1)^2^n-1)
Por lo tanto el m.c.d. es 24
Correcto.
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ResponderBorrarCorrecto.
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