Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre)

miércoles, 26 de septiembre de 2012

Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre)

Los triangulos OAB, OBC, OCD son isosceles con los angulos

$\angle OAB=\angle OBC=\angle OCD =90\degree$ .
Encontrar el area del triangulo

$\triangle OAB$ si

$(OCD)=12$

26 comentarios:

Luis Carlos García26 de septiembre de 2012, 11:48 p.m.
$\text{Como los angulos rectos estan en }A,B,C \text{ respetivamente,}$
$\text{podemos ver que }OA=AB,OB=BC,OC=CD$

$\text{Luego, por Pitagoras en }\triangle{OBC}$
$OB^2+BC^2=2OB^2=OC^2$
$\text{Y por Pitagoras en }\triangle{OAB}$
$OA^2+AB^2=2OA^2=OB^2$
$\text{Sustituimos y nos queda}$
$4OA^2=OB^2\Rightarrow 2OA=OC\Rightarrow OA=\frac{1}{2}OC$
$\Rightarrow |OAB|=\frac{1}{4}|OCD|=\frac{1}{4}(12)=3$
$\therefore\boxed{|OAB|=3}$
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antonio lopez26 de septiembre de 2012, 11:51 p.m.
Me fijo que si area de $OCD=12$ .entonces $\frac{OC*CD}{2}=\frac{OC^2}{2}=12$ de donde $OC=\sqrt{24}$ .Luego por pitagoras $OB^2+BC^2=2OB^2=OC^2=24$ de donde $OB=\sqrt{12}$
Luegoo por pitagoras $OA^2+AB^2=OB^2=12$ de donde $(OA,AB)=(\sqrt{6},\sqrt{6})$ . Entonces $(\triangle OAB)=\frac{OA*AB}{2}=3$
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Luis Carlos García26 de septiembre de 2012, 11:57 p.m.
$\text{Sea }E\in OC{ el pie de altura de }\triangle{OCB}$
$\text{Podemos ver que }OE=EC=\frac{1}{2}OC$
$\text{Tambien podemos ver que }OABE{ es cuadrado}$
$\Rightarrow OA=AB=BE=OE$
$\text{En especifico }AB=OE$
$\Rightarrow AB=\frac{1}{2}OC$
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Unknown27 de septiembre de 2012, 12:38 a.m.
En $\triangle{OAB}, \angle{OAB}=90^{o}, 2$ ángulos deben ser iguales ya que el triángulo es isósceles.
Es fácil ver que los lados iguales serán:
$OA=AB, OB=BC, OC=CD$ .
$\triangle{ABO}, \triangle{BCO}, \triangle{CDO}$
son triángulos rectángulos, entonces:
$(OCD)=\frac{OC*CD}{2}=12, OC=CD\Rightarrow\frac{OC^{2}}{2}=12\Rightarrow OC^{2}=24$ .
Por Pitágoras:
$OB^{2}+BC^{2}=OC^{2}=24, OB=BC\Rightarrow 2OB^{2}=24\Rightarrow OB^{2}=12$
Por Pitágoras:
$OA^{2}+AB^{2}=OB^{2}=12, OA=AB\Rightarrow 2OA^{2}=12\Rightarrow OA^{2}=6\Rightarrow OA=\sqrt{6}=AB$
$\triangle{OAB}=\frac{AB*OA}{2}, OA=AB=\sqrt{6}\therefore\triangle{OAB}=\frac{\sqrt{6}^{2}}{2}=\frac{6}{2}=3$
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Luis Chacón27 de septiembre de 2012, 5:50 p.m.
Como $OCD$ es isósceles y $\angle OCD=90$ , $OC=CD=c$ ; de la misma forma $BC=BO=b$ y $AB=AO=a$ . $12=|OCD|=\frac{(OC)(CD)}{2}=\frac{c^2}{2}$ $\Rightarrow c=\sqrt{24}$ .
$CBO$ es rectángulo, entonces por Pitágoras $2b^2=c^2=24 \Rightarrow b=\sqrt{12}$ , también por Pitágoras $2a^2=b^2=12 \Rightarrow a=\sqrt{6}$ .
$|OAB|=\frac{a^2}{2}=\frac{(sqrt{6})^2}{2}=3$
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Unknown27 de septiembre de 2012, 11:16 p.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001131.jpg
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Ricardo G.27 de septiembre de 2012, 11:20 p.m.
Al ser isosceles, tenemos que: $OA=AB$ $OB=BC$ $OC=CD$

Como $|OCD| = 12$ Tenemos que $CO^{2}/2 = 12$

En donde: $OC = \sqrt{24}\$ Por pitágoras tenemos que$ 2OB^{2} = OC^{2} $En donde:$ OB = \sqrt{12}\ $Por pitágoras,$ OA^{2}+AB^{2}=OB^{2} $Por la primera afirmación planteada,$ OA^{2}=AB^{2}=\sqrt{6}\ $Finalmente,$ |OAB| = (\sqrt{6^{2}}\) / 2 = 3 $ Q.E.D.
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Unknown28 de septiembre de 2012, 10:06 p.m.
Se sabe que:
$\triangle OAB$ $AO=AB=a$
$\triangle OBC$ $BO=BC=b$
$\triangle OCD$ $CO=OD=c$

Por Pitágoras tenemos que en $\triangle ODC$ , $12=\frac{c^2}{2}\rightarrow 24=c^2 \rightarrow c=\sqrt{24}$ .
$c$ es la hipotenusa de $OBC$ $\therefore$ $2(b^2)={\sqrt{24}}^2\rightarrow b^2=12\rightarrow b=\sqrt{12}$ .
$b$ es la hipotenusa de $OAB$ $therefore$ $2(a^2)={\sqrt{12}}^2\rightarrow a^2=6\rightarrow a=\sqrt{6}$ .

$(AOB)=\frac{\sqrt{6}*\sqrt{6}}{2} \rightarrow$ $(AOB)=\frac{6}{2}=3$
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Diego Astiazarán29 de septiembre de 2012, 8:48 p.m.
En cada uno de los tres triángulos los catetos son los lados iguales, porque si no fuera asi, habrian dos ángulos de $90^o$ , lo cual no se puede.
$OA=AB$
$OB=BC$
$OC=CD$
$\bullet$ Area del $\triangle OCD$ :
$12 = \frac{OC \times CD}{2} \Rightarrow 24 = OC \times CD = OC^2$
$\bullet$ Pitágoras en el $\triangle OBC$ :
$OB^2+BC^2=CO^2 \Rightarrow 2OB^2=24 \Rightarrow OB^2=12$
$\bullet$ Pitágoras en el $\triangle OAB$ :
$OA^2+AB^2=BO^2 \Rightarrow 2OA^2=12 \Rightarrow OA^2=6$
$\bullet$ Area del $\triangle OAB$ :
$(\triangle OAB) = \frac{OA \times AB}{2} = \frac{OA^2}{2} = \frac{6}{2} = \boxed{3}$
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Unknown30 de septiembre de 2012, 4:30 a.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4680290929491&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
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Unknown30 de septiembre de 2012, 5:47 p.m.
tienes que $\frac{(oc)(cd)}{2}=\frac{oc^2}{2}=12$ entonces $oc^2=\sqrt{24}$ y por pitagoras $(ob^2)(bc^2)=2(ob^2)=oc^2=24$ y por eso $ob=\sqrt{12}$ y tambien por pitagoras $(oa^2)(ab^2)=ob^2=12$ y por eso tienes que $oa=ab=\sqrt{6}$ y por eso tienes que $abo=\frac{(ao)(ab)}{2}=\frac{6}{2}=3$
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Unknown30 de septiembre de 2012, 10:28 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466147190852&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
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Unknown1 de octubre de 2012, 8:22 p.m.
Primero me doy cuenta que $OC=CD$ $OB=BC$ Y $OA=AB$ Sabemos que el triangulo $OCD$ va a ser igual a $12$ y por la formula del area del triangulo se que $OC\cdot OD/2= 12$ por lo tanto $OC\cdot OD= 24$ y ya que $OC=OD$ tenemos que $OC^{2}=24$ por pitagoras sabemos que $OC^{2}=OB^{2}+BC^{2}\rightarrow 24=OB^{2}+BC^{2}\rightarrow 24=2OB^{2}\rightarrow 12=OB^{2}$ por pitagoras $OA^{2}+AB^{2}=12\rightarrow 2OA^{2}=12\rightarrow OA^{2}=6 \rightarrow OA=\sqrt{6}$ ya que sabemos que $OA=AB$ y que el triangulo es rectangulo entonces $OA es altura \therefore$ raiz 6 al cuadrado entre dos es igual al area del triangulo y es igual a 3
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Pepe Flores1 de octubre de 2012, 11:30 p.m.
Veo que los angulos rectos estan en $A$ , $B$ , y $C$ . Entonces $OA=AB$ , $OB=BC$ , y $OC=CD$ .
Tambien se que $(OCD)=12$ , entonces $\frac{OC^2}{2}=12$
$OC^2=24$
$OC=\sqrt{24}$
Porque $OCD$ es un triangulo isosceles rectangulo.

Como $OC$ es la hipotenusa del triangulo $OBC$ , $OC^2=OB^2+CB^2$
Entonces $24=2OB^2$
$12=OB^2$
$OB=\sqrt{12}$

Como $OB$ es la hipotenusa de $OAB$ , $OB^2=OA^2+AB^2$
Entonces $12=2OA^2$
$6=OA^2$
$OA=\sqrt{6}$

Queriamos saber cual es el area de $OAB$ asi que elevamos $OA$ al cuadrado y lo dividimos entre 2 para sacar el area ya que es un triangulo isosceles rectangulo.
$\frac{OA^2}{2}=(OAB)$
$\frac{6}{2}=(OAB)$
$(OAB)=3$
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martin contreras carrera2 de octubre de 2012, 5:04 p.m.
primero me fijo que $\angle CBD=\angle OBC$ y $\angle COB=\angle CDB$ entonces por $ALA$ $\triangle OBC=\triangle DBC$ entonces
$(OBC)=6$ luego me fijo que pasa lo mismo con los triangulos $\triangle OAB=\triangle CAB$ ya que tienen dos angulos iguales que son $\angle CAB=\angle OAB$ y $\angle ABC=\angle AOB$ y comparten un lado entonces $(OBA)=3$
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