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miércoles, 26 de septiembre de 2012
Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre)
Los triangulos OAB, OBC, OCD son isosceles con los angulos ∠OAB=∠OBC=∠OCD=90\degree.
Encontrar el area del triangulo △OAB si (OCD)=12
Como los angulos rectos estan en A,B,C respetivamente, podemos ver que OA=AB,OB=BC,OC=CD
Luego, por Pitagoras en △OBC OB2+BC2=2OB2=OC2 Y por Pitagoras en △OAB OA2+AB2=2OA2=OB2 Sustituimos y nos queda 4OA2=OB2⇒2OA=OC⇒OA=12OC ⇒|OAB|=14|OCD|=14(12)=3 ∴|OAB|=3
Me fijo que si area de OCD=12.entonces OC∗CD2=OC22=12 de donde OC=√24.Luego por pitagoras OB2+BC2=2OB2=OC2=24 de donde OB=√12 Luegoo por pitagoras OA2+AB2=OB2=12 de donde (OA,AB)=(√6,√6). Entonces (△OAB)=OA∗AB2=3
En △OAB,∠OAB=90o,2 ángulos deben ser iguales ya que el triángulo es isósceles. Es fácil ver que los lados iguales serán: OA=AB,OB=BC,OC=CD. △ABO,△BCO,△CDO son triángulos rectángulos, entonces: (OCD)=OC∗CD2=12,OC=CD⇒OC22=12⇒OC2=24. Por Pitágoras: OB2+BC2=OC2=24,OB=BC⇒2OB2=24⇒OB2=12 Por Pitágoras: OA2+AB2=OB2=12,OA=AB⇒2OA2=12⇒OA2=6⇒OA=√6=AB △OAB=AB∗OA2,OA=AB=√6∴△OAB=√622=62=3
Como OCD es isósceles y ∠OCD=90, OC=CD=c; de la misma forma BC=BO=b y AB=AO=a. 12=|OCD|=(OC)(CD)2=c22⇒c=√24. CBO es rectángulo, entonces por Pitágoras 2b2=c2=24⇒b=√12, también por Pitágoras 2a2=b2=12⇒a=√6. |OAB|=a22=(sqrt6)22=3
En donde: OC = \sqrt{24}\$ Por pitágoras tenemos que 2OB^{2} = OC^{2} En donde: OB = \sqrt{12}\ Por pitágoras, OA^{2}+AB^{2}=OB^{2} Por la primera afirmación planteada, OA^{2}=AB^{2}=\sqrt{6}\ Finalmente, |OAB| = (\sqrt{6^{2}}\) / 2 = 3 $ Q.E.D.
Se sabe que: \triangle OABAO=AB=a \triangle OBCBO=BC=b \triangle OCDCO=OD=c
Por Pitágoras tenemos que en \triangle ODC, 12=\frac{c^2}{2}\rightarrow 24=c^2 \rightarrow c=\sqrt{24}. c es la hipotenusa de OBC\therefore2(b^2)={\sqrt{24}}^2\rightarrow b^2=12\rightarrow b=\sqrt{12}. b es la hipotenusa de OABtherefore2(a^2)={\sqrt{12}}^2\rightarrow a^2=6\rightarrow a=\sqrt{6}.
En cada uno de los tres triángulos los catetos son los lados iguales, porque si no fuera asi, habrian dos ángulos de 90^o , lo cual no se puede. OA=AB OB=BC OC=CD \bullet Area del \triangle OCD : 12 = \frac{OC \times CD}{2} \Rightarrow 24 = OC \times CD = OC^2 \bullet Pitágoras en el \triangle OBC : OB^2+BC^2=CO^2 \Rightarrow 2OB^2=24 \Rightarrow OB^2=12 \bullet Pitágoras en el \triangle OAB : OA^2+AB^2=BO^2 \Rightarrow 2OA^2=12 \Rightarrow OA^2=6 \bullet Area del \triangle OAB : (\triangle OAB) = \frac{OA \times AB}{2} = \frac{OA^2}{2} = \frac{6}{2} = \boxed{3}
tienes que \frac{(oc)(cd)}{2}=\frac{oc^2}{2}=12 entonces oc^2=\sqrt{24} y por pitagoras (ob^2)(bc^2)=2(ob^2)=oc^2=24 y por eso ob=\sqrt{12} y tambien por pitagoras (oa^2)(ab^2)=ob^2=12 y por eso tienes que oa=ab=\sqrt{6} y por eso tienes que abo=\frac{(ao)(ab)}{2}=\frac{6}{2}=3
Primero me doy cuenta que OC=CDOB=BC Y OA=AB Sabemos que el triangulo OCD va a ser igual a 12 y por la formula del area del triangulo se que OC\cdot OD/2= 12 por lo tanto OC\cdot OD= 24 y ya que OC=OD tenemos que OC^{2}=24 por pitagoras sabemos que OC^{2}=OB^{2}+BC^{2}\rightarrow 24=OB^{2}+BC^{2}\rightarrow 24=2OB^{2}\rightarrow 12=OB^{2} por pitagoras OA^{2}+AB^{2}=12\rightarrow 2OA^{2}=12\rightarrow OA^{2}=6 \rightarrow OA=\sqrt{6} ya que sabemos que OA=AB y que el triangulo es rectangulo entonces OA es altura \therefore raiz 6 al cuadrado entre dos es igual al area del triangulo y es igual a 3
Veo que los angulos rectos estan en A, B, y C. Entonces OA=AB, OB=BC, y OC=CD. Tambien se que (OCD)=12, entonces \frac{OC^2}{2}=12 OC^2=24 OC=\sqrt{24} Porque OCD es un triangulo isosceles rectangulo.
Como OC es la hipotenusa del triangulo OBC, OC^2=OB^2+CB^2 Entonces 24=2OB^2 12=OB^2 OB=\sqrt{12}
Como OB es la hipotenusa de OAB, OB^2=OA^2+AB^2 Entonces 12=2OA^2 6=OA^2 OA=\sqrt{6}
Queriamos saber cual es el area de OAB asi que elevamos OA al cuadrado y lo dividimos entre 2 para sacar el area ya que es un triangulo isosceles rectangulo. \frac{OA^2}{2}=(OAB) \frac{6}{2}=(OAB) (OAB)=3
primero me fijo que \angle CBD=\angle OBC y \angle COB=\angle CDB entonces por ALA\triangle OBC=\triangle DBC entonces (OBC)=6 luego me fijo que pasa lo mismo con los triangulos \triangle OAB=\triangle CAB ya que tienen dos angulos iguales que son \angle CAB=\angle OAB y \angle ABC=\angle AOB y comparten un lado entonces (OBA)=3
Como los angulos rectos estan en A,B,C respetivamente,
ResponderBorrarpodemos ver que OA=AB,OB=BC,OC=CD
Luego, por Pitagoras en △OBC
OB2+BC2=2OB2=OC2
Y por Pitagoras en △OAB
OA2+AB2=2OA2=OB2
Sustituimos y nos queda
4OA2=OB2⇒2OA=OC⇒OA=12OC
⇒|OAB|=14|OCD|=14(12)=3
∴|OAB|=3
:)
BorrarEsten pendientes, pondre otro problema para el dia de hoy (aparte de este)
Me fijo que si area de OCD=12.entonces OC∗CD2=OC22=12 de donde OC=√24.Luego por pitagoras OB2+BC2=2OB2=OC2=24 de donde OB=√12
ResponderBorrarLuegoo por pitagoras OA2+AB2=OB2=12 de donde (OA,AB)=(√6,√6). Entonces (△OAB)=OA∗AB2=3
:)
BorrarEsten pendientes, pondre otro problema para el dia de hoy (aparte de este)
Sea E∈OCelpiedealturade△OCB
ResponderBorrarPodemos ver que OE=EC=12OC
Tambien podemos ver que OABEescuadrado
⇒OA=AB=BE=OE
En especifico AB=OE
⇒AB=12OC
Vas bien. Ya nomas te falta concluir.
BorrarCosa que ya habias hecho antes, jajaja
BorrarBuena observacion de una manera alterna
:)
En △OAB,∠OAB=90o,2 ángulos deben ser iguales ya que el triángulo es isósceles.
ResponderBorrarEs fácil ver que los lados iguales serán:
OA=AB,OB=BC,OC=CD.
△ABO,△BCO,△CDO
son triángulos rectángulos, entonces:
(OCD)=OC∗CD2=12,OC=CD⇒OC22=12⇒OC2=24.
Por Pitágoras:
OB2+BC2=OC2=24,OB=BC⇒2OB2=24⇒OB2=12
Por Pitágoras:
OA2+AB2=OB2=12,OA=AB⇒2OA2=12⇒OA2=6⇒OA=√6=AB
△OAB=AB∗OA2,OA=AB=√6∴△OAB=√622=62=3
Como OCD es isósceles y ∠OCD=90, OC=CD=c; de la misma forma BC=BO=b y AB=AO=a. 12=|OCD|=(OC)(CD)2=c22 ⇒c=√24.
ResponderBorrarCBO es rectángulo, entonces por Pitágoras 2b2=c2=24⇒b=√12, también por Pitágoras 2a2=b2=12⇒a=√6.
|OAB|=a22=(sqrt6)22=3
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM001131.jpg
ResponderBorrarBien
BorrarAl ser isosceles, tenemos que: OA=AB OB=BC OC=CD
ResponderBorrarComo |OCD|=12 Tenemos que CO2/2=12
En donde: OC = \sqrt{24}\$ Por pitágoras tenemos que 2OB^{2} = OC^{2} En donde: OB = \sqrt{12}\ Por pitágoras, OA^{2}+AB^{2}=OB^{2} Por la primera afirmación planteada, OA^{2}=AB^{2}=\sqrt{6}\ Finalmente, |OAB| = (\sqrt{6^{2}}\) / 2 = 3 $ Q.E.D.
Bien
BorrarSe sabe que:
ResponderBorrar\triangle OAB AO=AB=a
\triangle OBC BO=BC=b
\triangle OCD CO=OD=c
Por Pitágoras tenemos que en \triangle ODC, 12=\frac{c^2}{2}\rightarrow 24=c^2 \rightarrow c=\sqrt{24}.
c es la hipotenusa de OBC \therefore 2(b^2)={\sqrt{24}}^2\rightarrow b^2=12\rightarrow b=\sqrt{12}.
b es la hipotenusa de OAB therefore 2(a^2)={\sqrt{12}}^2\rightarrow a^2=6\rightarrow a=\sqrt{6}.
(AOB)=\frac{\sqrt{6}*\sqrt{6}}{2} \rightarrow (AOB)=\frac{6}{2}=3
Bien
BorrarEn cada uno de los tres triángulos los catetos son los lados iguales, porque si no fuera asi, habrian dos ángulos de 90^o , lo cual no se puede.
ResponderBorrarOA=AB
OB=BC
OC=CD
\bullet Area del \triangle OCD :
12 = \frac{OC \times CD}{2} \Rightarrow 24 = OC \times CD = OC^2
\bullet Pitágoras en el \triangle OBC :
OB^2+BC^2=CO^2 \Rightarrow 2OB^2=24 \Rightarrow OB^2=12
\bullet Pitágoras en el \triangle OAB :
OA^2+AB^2=BO^2 \Rightarrow 2OA^2=12 \Rightarrow OA^2=6
\bullet Area del \triangle OAB :
(\triangle OAB) = \frac{OA \times AB}{2} = \frac{OA^2}{2} = \frac{6}{2} = \boxed{3}
Bien
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4680290929491&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
ResponderBorrarBien
Borrartienes que \frac{(oc)(cd)}{2}=\frac{oc^2}{2}=12 entonces oc^2=\sqrt{24} y por pitagoras (ob^2)(bc^2)=2(ob^2)=oc^2=24 y por eso ob=\sqrt{12} y tambien por pitagoras (oa^2)(ab^2)=ob^2=12 y por eso tienes que oa=ab=\sqrt{6} y por eso tienes que abo=\frac{(ao)(ab)}{2}=\frac{6}{2}=3
ResponderBorrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466147190852&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
ResponderBorrarPrimero me doy cuenta que OC=CD OB=BC Y OA=AB Sabemos que el triangulo OCD va a ser igual a 12 y por la formula del area del triangulo se que OC\cdot OD/2= 12 por lo tanto OC\cdot OD= 24 y ya que OC=OD tenemos que OC^{2}=24 por pitagoras sabemos que OC^{2}=OB^{2}+BC^{2}\rightarrow 24=OB^{2}+BC^{2}\rightarrow 24=2OB^{2}\rightarrow 12=OB^{2} por pitagoras OA^{2}+AB^{2}=12\rightarrow 2OA^{2}=12\rightarrow OA^{2}=6 \rightarrow OA=\sqrt{6} ya que sabemos que OA=AB y que el triangulo es rectangulo entonces OA es altura \therefore raiz 6 al cuadrado entre dos es igual al area del triangulo y es igual a 3
ResponderBorrarVeo que los angulos rectos estan en A, B, y C. Entonces OA=AB, OB=BC, y OC=CD.
ResponderBorrarTambien se que (OCD)=12, entonces \frac{OC^2}{2}=12
OC^2=24
OC=\sqrt{24}
Porque OCD es un triangulo isosceles rectangulo.
Como OC es la hipotenusa del triangulo OBC, OC^2=OB^2+CB^2
Entonces 24=2OB^2
12=OB^2
OB=\sqrt{12}
Como OB es la hipotenusa de OAB, OB^2=OA^2+AB^2
Entonces 12=2OA^2
6=OA^2
OA=\sqrt{6}
Queriamos saber cual es el area de OAB asi que elevamos OA al cuadrado y lo dividimos entre 2 para sacar el area ya que es un triangulo isosceles rectangulo.
\frac{OA^2}{2}=(OAB)
\frac{6}{2}=(OAB)
(OAB)=3
Bien
Borrarprimero me fijo que \angle CBD=\angle OBC y \angle COB=\angle CDB entonces por ALA \triangle OBC=\triangle DBC entonces
ResponderBorrar(OBC)=6 luego me fijo que pasa lo mismo con los triangulos \triangle OAB=\triangle CAB ya que tienen dos angulos iguales que son \angle CAB=\angle OAB y \angle ABC=\angle AOB y comparten un lado entonces (OBA)=3
Bien
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