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lunes, 24 de septiembre de 2012
Problema del Día. Geometría (24 de Septiembre)
Dado un triangulo acutangulo ABC, se toman puntos D,E,F sobre los lados a,b,c respectivamente. Demostrar que los circuncirculos de AEF, CDE, BDF tienen un punto en comun.
Primero me fijo me fijo que el triangulo $DEF$ comparte el lado $ED$ con el triangulo $DEC$, el lado $FE$ con el triangulo $AEF$ y el lado $FD$ con triangulo $BFD$ entonces nos damos cuenta que el circuncirculo de $EDC$ toca al circunscrito de $EDF$ analogamente con los traingulos $AFC$ y $FBD$ y ya que es un mismo circunscrito entonces tocan un mismo punto.
Se necesita más para afirmar que como cada triangulo comparte un lado, entonces los circuncirculos comparten un punto.
Dices: "... nos damos cuenta que el circuncirculo EDC de toca al circunscrito de EDF..." Y pues si. Esto es cierto se tocan precisamente en E y D. Al decir analogamente, pues si cada par de circunferencias comparten los puntos E,D; D,F; F,E respectivamente... y luego?
Primero traze los circuncirculos de los triangulos $BFD$ y $FAE$ Y veo que se intersectan en dos puntos , uno es el punto$F$ y al otro punto lo llame $G$.Luego me fijo que $BFGD$ es ciclico, entonces $\angle FBD=180-\angle FGD$ y tambien $FAEG$ es ciclico entonces $\angle FAE=180-\angle FGE$.Entonces $\angle FBD+\angle FAE=360-\angle FGD-\angle FGE$ y fijandome en el primer termino veo que $\angle FBD+\angle FAE=\angle ABC+\angle BAC=180-\angle ACB$.Y fijandome en el segundo termino me fijo que $360-\angle FGD-\angle FGE=\angle DGE$. Entonces $180-\angle ABC=\angle DGE$ entonces $180-\angle ABC+\angle ABC=\angle DGE+\angle ABC=180$. Entonces el cuadrilatero DGEC es ciclico entonces G esta en el circuncirculo del triangulo DEC. Q.E.D.
Nombramos los ángulos del triangulo $ABC$, $BAC=\alpha$ $CBA=\beta$ $ACB=\theta$ y $\alpha +\beta +\theta$. Trazamos los circuncirculos del los triángulos $CED$ y $AEF$ que se intersectan en $E$ y en un punto $K$ tenemos dos cuadriláteros cíclicos $EKDC$ y $EKFA$. En el caso de $EKDC$ tenemos que $\angle ECD=\theta$ por lo tanto su opuesto $\angle EKD=180-\theta=\alpha +\beta$; con $EKFA$ hacemos lo mismo $\angle EAF=\alpha$ y su opuesto $\angle EKF=180-\alpha=\theta +\beta$; entonces $\angle FKD=\180-\alpha-2\beta-\theta=\alpha +\theta$ Ahora tomamos a los triangulos $AEF$ y $FBD$ trazamos sus circuncirculos y se intersectan en $F$ y en un punto $M$ y se forman dos ciclicos $EMFA$ y $DMFB$; en el caso de $EMFA$ $\angle EAF=\alpha$ y su opuesto $\angle EMF=180-\alpha=\theta +\beta$ y co el ciclico $DMFB$ $angle FBD=\beta$ y su opuesto es $\angle FMD=\180-\beta=\alpha +\theta$; entonces llegamos a que $\angle FME=\180-\alpha-\beta-2\theta=\alpha +\beta$ Aquí concluimos con que: $\angle FKD=\angle FMD=\alpha +\theta$ $\angle EKD=\angle EMD=\alpha +\beta$ $\angle EKF=\angle EMF=\beta +\theta$ En ambos casos se utilizo el triangulo $AEF$ Con lo anterior vemos que $K=M$ $\therefore$ los circulcirculos de $AEF$ $EDC$ y $FBD$ concurren en un punto.
Como comentario aparte, al escribir en Latex, no tienes que poner \ antes de un numero, porque lo unico que pasara es que se comera el primer caracter; Sale 80, en lugar de 180.
Los circuncírculos de $AEF$ y $CDE$ se intersectan en $E$ y $P$. Como $B,D,C$ están en la misma línea, $\angle BDP=180-\angle PDC$; como $DCEP$ es cíclico, $\angle PEC=180-\angle PDC=\angle BDP$; como $C,E,A$ están en la misma línea, $\angle PEC=180-\angle PEA$; como $PEAF$ es cíclico, $\angle AFP=180-\angle PEA=\angle PEC=\angle BDP$; como $A,F,B$ están en la misma línea, $\angle BFP=\180-\angle AFP=180-\angle BDP$. $\angle BFP+\angle BDP=(180-\angle BDP)+\angle BDP=180$, entonces $BFPD$ es cíclico y el circuncírculo de $BDF$ también pasa por $P$. Por lo tanto los circuncírculos de $AEF$, $CDE$ y $BDF$ tienen un punto en común.
primero nombre $P$ al punto dondese intersectan los circuncirculos de $\triangle ECD$ y $\triangle FBD$ entonces como $PFBD$ es ciclico y $\angle PDB=\alpha$ entonces $\angle PFB=180-\alpha$ luego $\angle PDC=180-\alpha$ ya que son suplementarios, y como $EPDC$ es ciclico entonces $\angle CEP=\alpha$ y por suplementarios $\angle AEP=180-\alpha$ luego po suplementarios $\angle AFP=180-\alpha$ entonces como $\angle AEP+\angle AFP=180-\alpha+\alpha=180$ entonces $AFPE$ es ciclico pero como tres de sus puntos estan sobre una misma circunferencia entonces $P$ tambien esta ene le circucirculo de $\triangle AEF$ y por lo tanto los tres circuncirculos tienen un punto en comun.
Primero trace los circuncirculos de $AFE$ y de $BFD$. Me fije en que se intersectaban en 2 puntos. Uno de ellos es $F$ y al otro lo llamare $G$. Luego me fije en lo siguiente: $\angle AFG + \angle AEG=180^o$ porque $AEFG$ es ciclico $\angle AFG + \angle BFG=180^o$ porque son angulos adyacentes $\angle BFG + \angle BDG=180^o$ porque $BFGD$ es ciclico $\angle BDG=\angle AFG=\alpha$ $\angle AEG=\angle BFG=180^o-\alpha$.
Si queremos demostrar que las tres circunferencias comparten un punto. Veamos que tu ya sabes que las primeras dos tienen F y G en comun, entonces queremos demostrar que la 3ra cirfunferencia pasa por alguno de esos dos puntos. (Y es razonable pensar que tendra que ser G).
En otras palabras, loo que quieres demostrar ahora, es que G esta en el circuncirculo de DEC, u otra forma de verlo: Demostrar que GECD es ciclico.
¿Cual es un criterio para demostrar ciclico? Ahora con los angulos que haz encontrado, notemos que puedes facilmente saber cuando vale GEC y GDC (en funcion de alpha)
Y porque esos dos angulos? Pues porque precisamente son angulos de la circunferencia/cuadrilatero ciclico en cuestion.
Decimos que: $\angle EAF = \alpha$ $\angle FBD = \beta$ $\angle DCE = \theta$ Trazamos los circuncirculos de $\triangle BDF$ y $\triangle CDE$ , los cuales intersectan en $D$ y $I_1$ . $FBDI_1$ es ciclico: $\angle FBD = \beta \Rightarrow \angle FI_1D = 180^o - \beta = \alpha + \theta$ $DCEI_1$ es ciclico: $\angle DCE = \theta \Rightarrow \angle DI_1E = 180^o - \theta = \alpha + \beta$ $\Righrarrow \angle FI_1E = 360^o - (2\alpha + \beta + \theta ) = \beta + \theta$ Trazamos los circuncirculos de $\triangle CDE$ y $\triangle AEF$ , los cuales intersectan en $E$ y $I_2$ . Analogamente: $\angle DI_2E = \alpha + \beta$ $\angle EI_2F = \beta + \theta$ $\angle FI_2D = \alpha + \theta$ Trazamos los circuncirculos de $\triangle AEF$ y $\triangle BDF$ , los cuales intersectan en $F$ y $I_3$ . Analogamente: $\angle FI_3E = \beta + \theta$ $\angle FI_3D = \alpha+ \theta$ $\angle DI_3E = \alpha + \beta$ Llamamos $\text{alberto}$ a la interseccion de $3$ chevianas en un triangulo. Tenemos el $\text{alberto}$ del $\triangle FED$ en los $3$ "casos", y en todos los casos se cumple esto: $\angle E \text{alberto} F = \beta + \theta$ $\angle F \text{alberto} D = \alpha + \theta$ $\angle D \text{alberto} E = \alpha + \beta$ Y sabemos que el $\text{alberto}$ son los puntos $I_1 , I_2 , I_3 \Rightarrow I_1 = I_2 = I_3$ $\therefore$ Los circuncirculos de $\triangle AEF$ , $\triangle CDE$ y $\triangle BDF$ tienen un punto en comun.
Sean $G, D$ los puntos de intersección de los circuncírculos de: $\triangle{ECD}, \triangle{FBD}\Rightarrow DBFG$ es un cuadrilátero cíclico. Sea: $\angle{BDG}=\alpha\Rightarrow\angle{BFG}=\angle{GDC}=180^{o}-\alpha$. $EGDC$ tambien es un cuadrilátero cíclico, entonces: $\angle{CEG}=\alpha\Rightarrow\angle{GEA}=\angle{GFA}=180^{o}-\alpha\Rightarrow\angle{GEA}+\angle{AFG}=180^{o}$ De aquí que $EGFA$ cumple la propiedad de que sus angulos opuestos sumen $180^{o}$ por lo que es cíclico. Ya teníamos a $E, F, A$ en esa circunferencia, por lo tanto el cuarto ($G$) también lo estará, entonces los 3 circuncírculos tienen un punto en común. Q.E.D.
Llamamos a los circuncirculos de $\triangle AFE$ $\triangle BFD$ $\triangle DEC$ $C_1, C_2, C_3$ respectivamente, así como a sus centros $O_1, O_2, O_3$
Sabemos que cada pareja de circulos, tendrá dos puntos de intersección, las intersecciones de: $C_1 y C_2 F y G$ $C_1 y C_3 E y H$ $C_2 y C_3 F y I$ Sabemos que la recta que pasa por $FG$ es el eje radical de $C_1 y C_2$ Analogamene, tenemos que los otros pares de circunferencias tienen ejes radicales, por definición, el centro radical de dos circunferencias no concentricas que son secantes entre si, es el punto de intersección de los ejes radicales de estas. Si estos ejes radicales se intersectarán dentro de alguno de los circulos, o fuera de uno de ellos, lo que pasaría, es que no se mantiene la propiedad de potencia de punto, por lo anterior, estas lineas, deben de intersectarse en un punto sobre las circunferencias, por lo anterior, queda demostrado que el circuncirculo de estos tres triangulos se intersectaràn en un mismo punto. Q.E.D.
Esto no necesariamente es cierto. (Al menos asi con lo que explicaste) Si te fijas tu argumento NUNCA usa el hecho que se tienen los puntos D,E,F sobre los lados del triangulo ABC, Si con ese argumento fuera suficiente, entonces CUALESQUIERA 3 circunferencias que se corten entre si tendrian un punto en comun.
Primero me fijo me fijo que el triangulo $DEF$ comparte el lado $ED$ con el triangulo $DEC$, el lado $FE$ con el triangulo $AEF$ y el lado $FD$ con triangulo $BFD$ entonces nos damos cuenta que el circuncirculo de $EDC$ toca al circunscrito de $EDF$ analogamente con los traingulos $AFC$ y $FBD$
ResponderBorrary ya que es un mismo circunscrito entonces tocan un mismo punto.
No necesariamente es cierto tu argumento.
BorrarSe necesita más para afirmar que como cada triangulo comparte un lado, entonces los circuncirculos comparten un punto.
Dices:
"... nos damos cuenta que el circuncirculo EDC de toca al circunscrito de EDF..."
Y pues si. Esto es cierto se tocan precisamente en E y D.
Al decir analogamente, pues si cada par de circunferencias comparten los puntos E,D; D,F; F,E respectivamente... y luego?
Primero traze los circuncirculos de los triangulos $BFD$ y $FAE$
ResponderBorrarY veo que se intersectan en dos puntos , uno es el punto$F$ y al otro punto lo llame $G$.Luego me fijo que $BFGD$ es ciclico, entonces $\angle FBD=180-\angle FGD$ y tambien $FAEG$ es ciclico entonces $\angle FAE=180-\angle FGE$.Entonces $\angle FBD+\angle FAE=360-\angle FGD-\angle FGE$ y fijandome en el primer termino veo que $\angle FBD+\angle FAE=\angle ABC+\angle BAC=180-\angle ACB$.Y fijandome en el segundo termino me fijo que $360-\angle FGD-\angle FGE=\angle DGE$. Entonces $180-\angle ABC=\angle DGE$ entonces $180-\angle ABC+\angle ABC=\angle DGE+\angle ABC=180$. Entonces el cuadrilatero DGEC es ciclico entonces G esta en el circuncirculo del triangulo DEC. Q.E.D.
tienes un error de dedo. Te sugiero que lo cheques.
BorrarPero esta bien
:)
si cierto, en lo ultimo todos los angulos $ABC$ son angulos $ACB$
Borrar$a = AB , b = BC , c = CA \text{?}$
ResponderBorrar$\text{O no importa?}$
Si importa: Es el lado opuesto al vertice. (a de A; b de B; c de C)
BorrarEntonces.
a=BC, b=AC, c=AB
Nombramos los ángulos del triangulo $ABC$, $BAC=\alpha$ $CBA=\beta$ $ACB=\theta$ y $\alpha +\beta +\theta$. Trazamos los circuncirculos del los triángulos $CED$ y $AEF$ que se intersectan en $E$ y en un punto $K$ tenemos dos cuadriláteros cíclicos $EKDC$ y $EKFA$. En el caso de $EKDC$ tenemos que $\angle ECD=\theta$ por lo tanto su opuesto $\angle EKD=180-\theta=\alpha +\beta$; con $EKFA$ hacemos lo mismo $\angle EAF=\alpha$ y su opuesto $\angle EKF=180-\alpha=\theta +\beta$; entonces $\angle FKD=\180-\alpha-2\beta-\theta=\alpha +\theta$
ResponderBorrarAhora tomamos a los triangulos $AEF$ y $FBD$ trazamos sus circuncirculos y se intersectan en $F$ y en un punto $M$ y se forman dos ciclicos $EMFA$ y $DMFB$; en el caso de $EMFA$ $\angle EAF=\alpha$ y su opuesto $\angle EMF=180-\alpha=\theta +\beta$ y co el ciclico $DMFB$ $angle FBD=\beta$ y su opuesto es $\angle FMD=\180-\beta=\alpha +\theta$; entonces llegamos a que $\angle FME=\180-\alpha-\beta-2\theta=\alpha +\beta$
Aquí concluimos con que:
$\angle FKD=\angle FMD=\alpha +\theta$
$\angle EKD=\angle EMD=\alpha +\beta$
$\angle EKF=\angle EMF=\beta +\theta$
En ambos casos se utilizo el triangulo $AEF$
Con lo anterior vemos que $K=M$ $\therefore$ los circulcirculos de $AEF$ $EDC$ y $FBD$ concurren en un punto.
:)
BorrarComo comentario aparte, al escribir en Latex, no tienes que poner \ antes de un numero, porque lo unico que pasara es que se comera el primer caracter; Sale 80, en lugar de 180.
Errores de dedo
ResponderBorrar$\angle FKD= 180-\alpha...$
$\angle FMD= 180-\beta...$
$\angle FME= 180-\alpha...$
$\angle BAC=\alpha$, $\angle CBA=\beta$ y $\angle ACB=\theta$
$\alpha+\beta+\theta= 180$
Los circuncírculos de $AEF$ y $CDE$ se intersectan en $E$ y $P$.
ResponderBorrarComo $B,D,C$ están en la misma línea, $\angle BDP=180-\angle PDC$; como $DCEP$ es cíclico, $\angle PEC=180-\angle PDC=\angle BDP$; como $C,E,A$ están en la misma línea, $\angle PEC=180-\angle PEA$; como $PEAF$ es cíclico, $\angle AFP=180-\angle PEA=\angle PEC=\angle BDP$; como $A,F,B$ están en la misma línea, $\angle BFP=\180-\angle AFP=180-\angle BDP$.
$\angle BFP+\angle BDP=(180-\angle BDP)+\angle BDP=180$, entonces $BFPD$ es cíclico y el circuncírculo de $BDF$ también pasa por $P$.
Por lo tanto los circuncírculos de $AEF$, $CDE$ y $BDF$ tienen un punto en común.
primero nombre $P$ al punto dondese intersectan los circuncirculos de $\triangle ECD$ y $\triangle FBD$ entonces como $PFBD$ es ciclico y $\angle PDB=\alpha$ entonces $\angle PFB=180-\alpha$ luego $\angle PDC=180-\alpha$ ya que son suplementarios, y como $EPDC$ es ciclico entonces $\angle CEP=\alpha$ y por suplementarios $\angle AEP=180-\alpha$ luego po suplementarios
ResponderBorrar$\angle AFP=180-\alpha$ entonces como $\angle AEP+\angle AFP=180-\alpha+\alpha=180$ entonces $AFPE$ es ciclico pero como tres de sus puntos estan sobre una misma circunferencia entonces $P$ tambien esta ene le circucirculo de $\triangle AEF$ y por lo tanto los tres circuncirculos tienen un punto en comun.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=394362930634507&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrarPrimero trace los circuncirculos de $AFE$ y de $BFD$. Me fije en que se intersectaban en 2 puntos. Uno de ellos es $F$ y al otro lo llamare $G$. Luego me fije en lo siguiente:
ResponderBorrar$\angle AFG + \angle AEG=180^o$ porque $AEFG$ es ciclico
$\angle AFG + \angle BFG=180^o$ porque son angulos adyacentes
$\angle BFG + \angle BDG=180^o$ porque $BFGD$ es ciclico
$\angle BDG=\angle AFG=\alpha$
$\angle AEG=\angle BFG=180^o-\alpha$.
$\angle FAE + \angle FGE=180^o$
$\rightarrow$, $\angle BAC + \angle FGE=180^o$
$\angle FBD + \angle FGD=180^o$
$\rightarrow$, $\angle ABC + \angle FGD=180^o$
y hasta ahi es a donde he llegado.
Si queremos demostrar que las tres circunferencias comparten un punto. Veamos que tu ya sabes que las primeras dos tienen F y G en comun, entonces queremos demostrar que la 3ra cirfunferencia pasa por alguno de esos dos puntos. (Y es razonable pensar que tendra que ser G).
BorrarEn otras palabras, loo que quieres demostrar ahora, es que G esta en el circuncirculo de DEC, u otra forma de verlo: Demostrar que GECD es ciclico.
¿Cual es un criterio para demostrar ciclico?
Ahora con los angulos que haz encontrado, notemos que puedes facilmente saber cuando vale GEC y GDC (en funcion de alpha)
Y porque esos dos angulos? Pues porque precisamente son angulos de la circunferencia/cuadrilatero ciclico en cuestion.
Decimos que:
ResponderBorrar$\angle EAF = \alpha$
$\angle FBD = \beta$
$\angle DCE = \theta$
Trazamos los circuncirculos de $\triangle BDF$ y $\triangle CDE$ , los cuales intersectan en $D$ y $I_1$ .
$FBDI_1$ es ciclico: $\angle FBD = \beta \Rightarrow \angle FI_1D = 180^o - \beta = \alpha + \theta$
$DCEI_1$ es ciclico: $\angle DCE = \theta \Rightarrow \angle DI_1E = 180^o - \theta = \alpha + \beta$
$\Righrarrow \angle FI_1E = 360^o - (2\alpha + \beta + \theta ) = \beta + \theta$
Trazamos los circuncirculos de $\triangle CDE$ y $\triangle AEF$ , los cuales intersectan en $E$ y $I_2$ .
Analogamente:
$\angle DI_2E = \alpha + \beta$
$\angle EI_2F = \beta + \theta$
$\angle FI_2D = \alpha + \theta$
Trazamos los circuncirculos de $\triangle AEF$ y $\triangle BDF$ , los cuales intersectan en $F$ y $I_3$ .
Analogamente:
$\angle FI_3E = \beta + \theta$
$\angle FI_3D = \alpha+ \theta$
$\angle DI_3E = \alpha + \beta$
Llamamos $\text{alberto}$ a la interseccion de $3$ chevianas en un triangulo.
Tenemos el $\text{alberto}$ del $\triangle FED$ en los $3$ "casos", y en todos los casos se cumple esto:
$\angle E \text{alberto} F = \beta + \theta$
$\angle F \text{alberto} D = \alpha + \theta$
$\angle D \text{alberto} E = \alpha + \beta$
Y sabemos que el $\text{alberto}$ son los puntos $I_1 , I_2 , I_3 \Rightarrow I_1 = I_2 = I_3$
$\therefore$ Los circuncirculos de $\triangle AEF$ , $\triangle CDE$ y $\triangle BDF$ tienen un punto en comun.
Bien.
BorrarSean $G, D$ los puntos de intersección de los circuncírculos de:
ResponderBorrar$\triangle{ECD}, \triangle{FBD}\Rightarrow DBFG$
es un cuadrilátero cíclico. Sea:
$\angle{BDG}=\alpha\Rightarrow\angle{BFG}=\angle{GDC}=180^{o}-\alpha$.
$EGDC$ tambien es un cuadrilátero cíclico, entonces:
$\angle{CEG}=\alpha\Rightarrow\angle{GEA}=\angle{GFA}=180^{o}-\alpha\Rightarrow\angle{GEA}+\angle{AFG}=180^{o}$
De aquí que $EGFA$ cumple la propiedad de que sus angulos opuestos sumen $180^{o}$ por lo que es cíclico.
Ya teníamos a $E, F, A$ en esa circunferencia, por lo tanto el cuarto ($G$) también lo estará, entonces los 3 circuncírculos tienen un punto en común. Q.E.D.
Bien
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ResponderBorrarLlamamos a los circuncirculos de $\triangle AFE$ $\triangle BFD$ $\triangle DEC$ $C_1, C_2, C_3$ respectivamente, así como a sus centros $O_1, O_2, O_3$
BorrarSabemos que cada pareja de circulos, tendrá dos puntos de intersección, las intersecciones de:
$C_1 y C_2 F y G$
$C_1 y C_3 E y H$
$C_2 y C_3 F y I$
Sabemos que la recta que pasa por $FG$ es el eje radical de $C_1 y C_2$
Analogamene, tenemos que los otros pares de circunferencias tienen ejes radicales, por definición, el centro radical de dos circunferencias no concentricas que son secantes entre si, es el punto de intersección de los ejes radicales de estas.
Si estos ejes radicales se intersectarán dentro de alguno de los circulos, o fuera de uno de ellos, lo que pasaría, es que no se mantiene la propiedad de potencia de punto, por lo anterior, estas lineas, deben de intersectarse en un punto sobre las circunferencias, por lo anterior, queda demostrado que el circuncirculo de estos tres triangulos se intersectaràn en un mismo punto.
Q.E.D.
Esto no necesariamente es cierto. (Al menos asi con lo que explicaste)
BorrarSi te fijas tu argumento NUNCA usa el hecho que se tienen los puntos D,E,F sobre los lados del triangulo ABC,
Si con ese argumento fuera suficiente, entonces CUALESQUIERA 3 circunferencias que se corten entre si tendrian un punto en comun.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4676244108323&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
ResponderBorrarBien
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