Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre)

jueves, 27 de septiembre de 2012

Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre) - 2

(Otro problema adicional para el dia de hoy)

Sea ABC un triangulo isosceles con AB=AC. Sea I el incentro. Se sabe que BC=AB+AI. Sea D un punto en el rayo BA tal que AD=AI (A, quedaria entre los puntos B y D).

Demostrar que DAIC es ciclico y encontrar el valor del angulo

$\angle ABC$

24 comentarios:

Luis Carlos García27 de septiembre de 2012, 1:07 a.m.
Por definición AI,CI,BI son las bisectices de los ángulos en A,B,C respectivamente. Luego, como ABC es isósceles, ACB=ABC. Luego ACI=ICB=IBC=ABI=alfa y CAI=BAI=beta. Luego, 4(alfa)+2(beta)=180.
Luego nos fijamos en que como AD=AI y AB+AI=BC, entonces BC=AB+AD=DB, por lo cual DBC es isósceles y BDC=BCD. Luego nos fijamos en que BI, al ser bisectriz de su ángulo desigual, es superlínea, por lo tanto es mediatriz. LuEGO, como I está en la mediatriz de DC, DI=CI, y DIC tambien es isósceles, por lo cual IDC=ICD. Ahora, vemos que IDA=BDC-IDC e ICB=BCD-ICD, luego IDA=ICB=alfa. Ahora, por suma de ángulos en el triángulo BDC, 4(alfa)+2(ICD)=180º. Entonces ICD=beta.
Luego nos fijamos en que como BAI=beta entonces DAI=180º-beta. Luego DAI+DCI=(180-beta)+beta=180º, por lo tanto el DAIC es cíclico.
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Diego Astiazarán29 de septiembre de 2012, 11:08 p.m.
Tenemos que $I$ es incentro, por lo que $AI$ , $BI$ y $CI$ aon bisectrices, y nombramos los ángulos:
$\angle BAI = \angle CAI = 2\beta$
$\triangle ABC$ es isosceles, entonces $\angle ABC = \angle ACB$ :
$\angle ABI = \angle CBI = \angle BCI = \angle ACI = \alpha$
$\Righrarrow 4\alpha + 4\beta = 180^o$
El angulo suplementario de $\angle BCA = 4\beta$ es $\angle CAD = 4\alpha$
$AD = AI$ entonces $\triangle ADI$ es isosceles:
$\angle AID = \angle ADI = \beta$
Tenemos que $BC=AB+AI \Rightarrow BC=AD+AD=BD$
$\Rightarrow \triangle DBC$ es isosceles. Sabemos que en triangulo isosceles, el punto que tiene a los lados iguales adyacentes (en este caso $B$ ), es el origen de una superlinea.
Tenemos que $BI$ es bisectriz, entonces $BI$ es superlinea.
$\Rightarrow \angle BDC = \angle BCD = 2\beta + \alpha$
Y como tenemos que $\angle BCI = \alpha \Rightarrow \angle ICD = 2\beta$
Ahora nos fijamos en el cuadrilatero $DAIC$ , vemos los ángulos opuestos:
$\angle DAI + \angle DCI = (2\beta + 4\alpha)+(2\beta) = 4\alpha + 4\beta = 180^o$
$\therefore$ El cuadrilatero $DAIC$ es cíclico.

Teniamos que $\angle BCD = 2\beta + \alpha$ y que $\angle ADI = \beta \Rightarrow \angle IDC = \beta + \alpha$
Tenemos $I$ en la superlinea, $\Rightarrow \triangle DIC$ es isosceles, $\Rightarrow \angle ICD = \angle IDC$
Remplazamos los valores:
$2\beta = \beta + \alpha \Rightarrow \beta = \alpha$
Teniamos que $4\alpha + 4\beta = 180^o \Rightarrow \frac{180^o}{8} = 22.5^o = \alpha$
Sabemos que $\angle ABC = 2\alpha \Rightarrow \angle ABC = 2 \times 22.5^o = 45^o$
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Unknown30 de septiembre de 2012, 1:22 a.m.
creo que esta un poco confuso por la parte de los angulos, me falta la 2da parte, pero igual, lo pasare en limpio ya con la otra parte agregada
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4679722275275&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
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Unknown30 de septiembre de 2012, 2:49 p.m.
Desmostramos que $DAIC$ es ciclico
Para eso trazamos los segmentos $AI$ $IB$ y $IC$ , por bisectrices tenemos que:
$\theta =\angle ABI =\angle IBC =\angle ACI =\angle ICB$
$\gamma =\angle BAI =\angle IAC$
$180 =4\theta +2\gamma$
$90 =2\theta +\gamma$
$\angle AIC =180 -\gamma -\theta =\gamma +3\theta$
$\triangle BCD$ es isosceles con $BD=BC$ entonces su superlinea corta a $CD$ en $K$ , $90= \angle KBD +\angle BDK =\theta +\angle BDK \rightarrow \angle BDK =\theta +\gamma$
Sumamos los opuesto $\angle AIC$ $+\angle ADC$ $=3\theta +\gamma +\theta +\gamma = 180$ entonces $DAIC$ es cíclico
$\triangle IAD$ es isosceles $AI=AD$ , $\angle IAD$ es el suplemento de $\BAI \rightarrow$ $\angle IAD =\gamma +4\theta$ , $\gamma =\angle AID +\angle ADI$ pero $\angle AID=\angle ADI$ $\therefore$ $\angle AID =\angle ADI =\frac{1}{2}\gamma$ . Sabemos que $\angle ADI =\angle ACI$ por que abren el arco $AI$ entonces $\frac{1}{2}\gamma=\theta$ $\rightarrow$ $\gamma =2\theta$
$180 =4\theta +2\gamma \rightarrow$ $8\theta =180\rightarrow\theta =22.5^°$
Sabemos que $\angle ABC=2\theta=2(22.5)=45$
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Unknown30 de septiembre de 2012, 9:27 p.m.
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view&current=CAM001191.jpg
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Unknown30 de septiembre de 2012, 10:30 p.m.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466210524179&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater Y TAMBIEN ESTA: http://www.facebook.com/photo.php?fbid=395466280524172&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=1&theater
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Luis Chacón1 de octubre de 2012, 9:10 p.m.
Como I es el incentro $AI,BI,CI$ son bisectrices, como $ABC$ es isósceles, $\angle ABC=\angle ACB=2\beta$ . $BD=BA+AD=BA+AI=BC$ , entonces $BDC$ es isósceles. Si $\angle BAC=2\alpha$ , entonces $180=\angle ABC+\angle BCA+\angle CAB=4\beta +2\alpha$ . Como $\angle DBC=2\beta$ , $DBC$ es isósceles y $180=\angle DBC+\angle BCD+\angle CDB$ entonces $\angle BDC=\frac{180-2\beta}{2}=\alpha +\beta$ .
$\angle IAC=\frac{\angle BAC}{2}=\alpha, \angle ICA=\frac{\angle BCA}{2}=\beta$ , entonces $\angle AIC=180- \alpha -\beta$
$\angle ADC+\angle AIC=(180-\alpha -\beta )+(\alpha +\beta )=180$ , como los ángulos opuestos suman 180, $DAIC$ es cíclico.
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antonio lopez2 de octubre de 2012, 6:43 p.m.
sea <ABC=<ACB=2x y sea <BAC=2y. SE tiene que 4x+2y=180 entonces 2x+y=90. Luego extinedo AI hasta cortar a BC en H. Como el triangulo ABC es isoceles y AI es bisectriz del angulo BAC entonces AH es perpendicular a BC. Y como CI es bisectriz del angulo BCA <HCI=x y para completar los 180° del triangulo IHC el angulo HIC debe medir x+y. Luego BC=AB+Ai=AB+AD=BD entonces el triangulo BDC es isoceles. Como <DBC=2x para completar los 180° del triangulo DBC
<BCD=<BDC=(180-2x)/2=(2x+2y)/2=x+y.Entonces como 180=<AIC+<HIC=AIC+(x+y)=<AIC+<ADC entonces DAIC es ciclico.
LUego como DAIC es ciclico <ADI=x ya que abre el mismo arco que el angulo ACI. Y como AI=AD <ADI=<AID=x. Luego <BAI=180-<IAD=2x entonces y=2x. Luego estableciendo una ecuacion 8x=180. Entonces <ABC=2x=180/4=45°.
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martin contreras carrera2 de octubre de 2012, 6:45 p.m.
sea $\angle ACI=\angle ICK=\alpha$ si extendemos $AI$ hasta que corte a $BC$ en $K$ sabemos que $\angle CKA=90$ ya que el triangulo es isosceles entonces $\angle CAK=90-2\alpha=\angle CAB$ entonces $\angle CAD=4\alpha$ y sabemos que $CA+AI=BC$ pero como $CA=AB$ etnonces $AB+DA=BC$ etnonces truiangulo $DBC$ es isosceles pero sabemos que $\angle CBD=2\alpha$ entonces $angle DCB=90-\alpha$ entonces $\angle DCA=90-3\alpha$ entonces $\angle DCI+\angle DAI=(90-2\alpha)+(90+2\alpha)=180$ entonces $DAIC$ es ciclico
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Unknown2 de octubre de 2012, 9:06 p.m.
yo se que $AB=AC$ $AD=AI\rightarrow$ $AI+AB=BC=AD+AB$ por lo tanto el triangulo $BCD$ es isosceles por que $BD=BC$ bueno digamos que el angulo $DBC=2\alpha$ el $BCD=2\alpha+1\theta$ el angulo $CDB=2\alpha+1\theta$ el $CBA=2\alpha +2\theta$ bueno nos damos cuenta que $6\alpha +2\theta=180$ y la suma delos angulos del triangulo $AID$ es $5\alpha +1\theta+2\alpha +1\gamma=180$ y a suma de los del angulo $AIC$ y $ADC$ es $5\alpha +1\gamma +2\alpha +\theta=180$ por lo tanto es ciclico.
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Pepe Flores3 de octubre de 2012, 12:11 a.m.
Primero le puse nombre a los angulos. Como $ABC$ es isosceles, $\angle ABC=\angle ACB$
Entonces $\angle ABI=\angle IBC=\angle ICB=\angle ACI=\alpha$
$\angle BAC=180-4\alpha$
Entonces $\angle AIC=90-2\alpha$
$BD=BC$ porque ambos son iguales a $AB+AI$
$\angle DAC=180-(180-4\alpha$
$\angle DAC=4\alpha$

Entonces $\angle BDC=\angle BCD$ porque es isosceles.
$\angle DBC+2\angle BDC=180^0$
$2\alpha+2\angle BDC=180^o$
$\angle BDC=90^o-\alpha=\angle DCB$

$\angle DBC+\angle BCD+\angle CDB=180^o$
$2\alpha+\angle BCD+90^o-\alpha=180^o$
$\angle BCD+90^o+\alpha=180^o$
$\angle BCD=90^o-\alpha$

$\angle ACD=\angle BCD-\angle BCA$ y
$\angle ACD=90^o-\alpha-2\alpha$
$\angle ACD=90^o-3\alpha$

$\angle ICA+\angle ACD=\angle ICD$
$\alpha+90^o-3\alpha=\angle ICD$
$90^o-2\alpha=\angle ICD$

Para comprobar que $AICD$ es un cuadrilatero ciclico me fijjo en que la suma de sus angulos opuestos sea 180 grados.

$\angle ICD=90^o-2\alpha$
$\angle ADC=90^o-\alpha$
$\angle IAD=90^o+2\alpha$
$\angle AIC=90^o+\alpha$

Sumamos los angulos opuestos y nos damos cuenta de que la suma es 180 grados. Por lo tanto es ciclico.

Aun me falta encontrar el valor del angulo $ABC$
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Unknown3 de octubre de 2012, 8:34 p.m.
Trazamos las bisectrices interiores de $\triangle{ABC}$ , las cuales concurrirán en el incentro $(I)$
$AB=AC\Rightarrow\angle{ABC}=\angle{ACB}\Rightarrow\angle{ABI}=\angle{IBC}=\angle{ACI}=\angle{ICB}=\alpha , \angle{BAI}=\angle{CAI}=\beta\Rightarrow$
Por suma de ángulos interiores de $\triangle{ABC}:$
$4\alpha+2\beta=180^{o}$ .
$\angle{BAC}=2\beta , \angle{CAD}+\angle{BAC}=180^{o}\Rightarrow\angle{DAC=4\alpha$ .
$BA+AI=BC , AI=AD\Rightarrow BA+AD=BD=BC\Rightarrow\triangle{BDC}$
Es un triángulo isósceles
$\Rightarrow\angle{BDC}=\angle{DCB} , \angle{DBC}=2\alpha\Rightarrow\angle{BDC}=\angle{DCB}=\frac{2\alpha+2\beta}{2}=\alpha+\beta\Rightarrow$ si $\angle{ACB}+\angle{DCA}=2\alpha+\angle{DCA}=\alpha+\beta\Rightarrow\angle{DCA=\beta-\alpha$ .
$\angle{DAI}+\angle{DCI}=4\alpha+\beta+\beta-\alpha+\alpha=4\alpha+2\beta=180^{o}\Rightarrow DAIC$ es cíclico Q.E.D.
$AD=AI\Rightarrow\angle{AID}=\angle{ADI} , \angle{DAI}=4\alpha+\beta\Rightarrow\angle{AID}=\angle{ADI}=\frac{\beta}{2}$ .
Por ser DAIC cíclico, se cumple que:
$\angle{ADI}=\widehat{AI}=\angle{ACI}\Rightarrow\alpha=\frac{\beta}{2}\Rightarrow\beta=2\alpha$ .
Teníamos que: $4\alpha+2\beta=8\alpha=180^{o}\Rightarrow 2\alpha=\angle{ABC}=45^{o}$ .
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Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre) - 2

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