Este problema lo necesite para calcular una cota, así que allí les va:
Sea ABCDEF un hexágono regular de lado 1. Sean M y N los puntos medios de AB y DE respectivamente. Sea O el punto medio de MN. Traza la circunferencia con centro en N de radio MN. Sean S y T las intersecciones de esa circunferencia con OA y OB. ¿Cuál es el área del triángulo NOS?
haha ya salio!!!! keda muy feo o lo hice mal???
ResponderBorrarbien.. aki pongo la solucion
(debo poner SPOILER???)
Sea r(n) la raiz cuadrada del numero n.
En la figura tenemos que 2MO=MN
MO es la altura de un triangulo equilatero de lado 1, entonces MO=r(3)/2, por lo tanto MN=r(3)=SN (por ser radio de la segunda circunferencia)
Ahora bien, el angulo SON=150º, puesto que MOA=30º. (por ser la bisectriz de un triangulo equilatero)
Luego SN=r(3), NO=r(3)/2 [O es punto medio de MN, y ya teniamos que MO=r(3)/2] ahora tenemos el triangulo NOS, por ley de senos,
tenemos que Sen150/r(3)=senS/(r(3)/2)
luego, sen150=2senS.
por el triangulo unitario, tenemos que sen150º=sen30º=1/2,
entonces senS=1/4.
Ahora tracemos NT. Tenemos que los triangulos NOS y NOT son congruentes, por LLL, ya que ST paralelo a AB,ypor tanto STO isosceles. Bien, vamos a hacer una figura separada.
Tracemos un triangulo isosceles SNQ, con SN=SQ=r(3), lo que estamos haciendo es tomar los triangulos NOS y NOT y poner los vertices S y T en el mismo punto, separando N, en N y Q.
Ahora notemos que OQ=ON=r(3)/2, es isosceles, ahora, como los angulos SON=SOQ=150º, tenemos que NOQ=60º, entonces NOQ es un isosceles con un angulo de 60º, entonces, NOQ es equilátero. por lo tanto NQ=r(3)/2.
Tenemos en estos dos triangulos juntos que SO es la bisectriz del angulo NTQ, ya que son congruentes, ahora si prolongamos SO hasta NQ en P, tenemos la altura de un isosceles, entonces tambien es mediatiz, por lo tanto, P es punto medio de NQ. entonces, NP=r(3)/4.
Calcularemos OP:
Tenemos por pitágoras que OP²=NO²-NP²=(3/4)-(3/16)=36/16, entonces OP=6/8, OP=3/4.
Bien, tenemos que SP=SO+OP, queremos determinar So, por lo tanto, despejamos:
SO=SP-OP, Procederemos a calcular SP:
SP²=SN²-NP²=(3)-(3/16)=45/16
SP=r(45)/4
SP=(3/4)*r(5)
Sustituímos en el despeje:
SO=(3/4)*r(5) - 3/4
SO=(3/4)*[r(5)-1]
Aplicando los valores que tenemos en la formula de áreas del tipo (ABC)=(absenC)/2, tenemos los datos:
SO=(3/4)*[r(5)-1]
SN=r(3)
SenS=1/4.
Sustituyendo,
(NOS)=(SOxNSxSenS)/2
(NOS)=[(3[r(5)-1])(r(3))]/2²*4²
(NOS)= (3/64) ( r(15)-r(3))
si keda medio feo, no???
ah caray... calcular una cota?? para geometria?? wow.. cada vez me sorprende mas..
ResponderBorraroh hahaha puse triangulo unitario hahahaha es circulo unitario..perdon.. es k en mi dibujo dentro del circulo hice un triangulillo y ps me fui con la idea haha
ResponderBorrarTienes un error en tu área. La respuesta es el doble de tu respuesta.
ResponderBorrarEsta suave tu idea, pero no entendi como trazas SNQ. Me suena a que Q = M.
Ya entendi tu solución y encontre el error.
ResponderBorrarEn el área escribiste /4^2 2^2 , pero no hay razón para tener 2^2.
SNxOSxsinS/2 = r(3)[3(r(5)-1)/4](1/4)/2 = 3r(3)(r(5)-1)/32
Está muy padre tu solución. Muy creativa.
Mi solución es diferente.
ResponderBorrarUsando la misma notación que Daniel de r(n) = raíz cuadrada de n.
Ahora llamemos a = ángulo SNO y b = ángulo NSO.
Por ley de senos tenemos que sen(b) = 1/4 y usando que sen^2 + cos^2 = 1, tenemos que cos(b) = r(15)/4.
a = 30 - b (ya que a + b + 150 = 180 en el triángulo SON).
sin(30-b) = sin(30)cos(b) - sin(b)cos(30) = cos(b)/2 - r(3)sin(b)/2 = r(15)/8 - r(3)/8 = r(3)(r(5)-1)/8.
Ahora (SNO) = SN(sin(a))ON/2 = r(3)r(3)(r(5)-1)(1/8)(r(3)/2)(1/2) = 3r(3)(r(5)-1)/32.
oh si es cierto!!! haha sorry....
ResponderBorrarduh babas hahaha tu solucion esta mucho mas facil hahaha pero weno..
gracias.. y no.. M no es igual a Q, sino que Q=N...
el problema esta muuy bonito, la respuesta para nada.. ¬¬
ohh sii ia vi lo k hice.. en el primer factor d la ultima multiplicacion, en mi cuaderno le puse de una vez el medio (osea, dividido sobre 2) haha luego se m olvido k ia lo habia dividido.. y lo volvi a poner todo sobre dos.. hahaha por eso ... shale... Saludos!!
ResponderBorrarPues me gusta más tu solución que la mía, ya que no requiere de identidades trigonométricas.
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