martes, 2 de marzo de 2010

Problema IMO del Día

De nuevo dos problemas porque no estan difíciles, son de la IMO 1960:

1) Encuentra todos los enteros N que satisfagan que N/11 es igual a la suma del cuadrado de los dígitos de N.

2) Para que valores de x se cumple la desigualdad:

(4x^2)/(1-raíz(1+2x))^2 < 2x + 9

6 comentarios:

  1. Supongo que no se valen las soluciones con computadora, verdad? =)

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  2. El problema es de 1960, acceso a computadoras para resolver estos problemas sería muy complicado :-)

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  3. Me supuse jeje, es que el problema 1 sale directo acotandolo y luego usando un algoritmo que cheque los que quedan xD

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  4. Bueno ya basta de esas tonterias de usar la compu y me pondre a hacerlos bien xD. Cuando tenga solución la posteo.
    Saludos

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  5. Para el 2:
    Consideremos la sustitucion
    y^2=2x+1

    Entonces la desigualdad se convierte en
    (y^2-1)^2/(1-y)^2 < y^2+8

    pero tenemos que

    (y^2-1)^2/(1-y)^2
    = (y+1)^2(y-1)^2/(-(y-1))^2
    = (y+1)^2
    entonces
    (y+1)^2 < y^2 + 8
    y^2 + 2y + 1 < y^2 +8
    y<7/2
    volviendo a x
    sqrt(2x+1)<7/2
    2x+1<49/4
    2x<45/4
    x<45/8

    Ademas tenemos que 2x+1>=0
    x>=-1/2
    y si x es 0
    1-sqrt(2x+1)=1-1=0
    por lo que la division queda indefinida cuando x=0.

    Por lo tanto las x que cumplen la desigualdad son las del sig intervalo
    [-1/2,0)U(0,45/8)

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