lunes, 8 de febrero de 2010

Problema del dia (Feb-8)

Ahí les va un problema de teoría de números:

Sea p un primo, demostrar que hay infinitos enteros positivos n tal que p divide a 2^n - n

5 comentarios:

  1. SPOILER:

    Para p = 2, agarra n par y listo.

    Para p > 2, 2^(p-1) = 1 mod p, por lo tanto si n=0 mod p-1, 2^n = 1 mod p. Entonces s n = 1 mod p, tenemos 2^n = n mod p.
    Como p-1 y p son primos relativos, por el teorema chino del residuo existe una solución modulo (p-1)(p) para n. Por lo tanto hay infinitas soluciones mod p a la ecuación 2^n = n mod p, que implica que hay infinitos n tales que p divide a 2^n - n.

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  2. *** SPOILER ***
    Para p = 2, agarrar n par (como lo hizo kiks jeje)

    Caso p>=3
    Fijemonos en la secuencia de congruencias 2^n mod p. Es claro que 2^n =/= 0 mod p (si no les queda claro estan muy mal jaja). Ahora busquemos un ciclo en la secuencia de congruencias, pero es suficiente con que se repita una, y como tenemos un numero finito de congruencias entonces esto sucede. Entonces en la secuencia hay un ciclo de tamaño menor que p. ( que de hecho es de p-1, pero no supe como demostrarlo).

    Ahora fijemonos en la secuencia de congruencias n mod p. Es claro que esta secuencia es 1,2,3,...,p,1,2,3,...,p,...

    (Ahora viene un paso que no estoy seguro si esta bien explicado)
    Ahora como gcd(p,k)=1 (k es el tamaño del ciclo de las 2^n), y el segundo ciclo tiene todas las congruencias que pudiera tener el primer ciclo, entonces hay infinitas coincidencias entre los dos ciclos. Y por lo tanto infinitas n que cumplen que 2^n=n mod p para una p dada.
    *** END OF SPOILER ***

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  3. Isai:
    Tu segundo paso es correcto. Puedes usar el teorema chino del rediduo u otros argumentos, pero está bien.
    Donde dices que el ciclo es de p-1, eso es incorrecto. Se puede decir que es un divisor de p-1, pero no se puede decir que es p-1. De hecho, uno de los problemas más famosos de teoría de números, es demostrar que para infinitos primos, el ciclo tiene tamaño p-1. Se llama la conjetura de Artin.
    La conjetura es un poco más general, porque dice que para cualquier a no cuadrado, a^n tiene ciclo de p-1 para infinitos primos p.
    Heath-Brown demostró que hay a lo más dos enteros a, tales que no cumplen la infinidad de primos, pero no se sabe de ningún número en particular que cumpla la infinidad de primos.

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  4. ooh que interesante!, es que como vi algunos casos y vi que era p-1 en esos casos dije, ha de ser p-1 jajaja, pero como era irrelevante en mi arugmento entonces no me preocupo mucho eso jeje, mas bien en mi parentesis debi haber dicho "parece que es p-1".

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  5. Toma un unemro par 2k entonces para n=(p-1)^(2k) tenemos 2^n=1=n mod p QED.

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