Aquí va otro problema. Este está mucho más sencillo que los anteriores, pero en vista de que nadie ha subido otro, y de que ni Alberto, ni Pepe, ni Luis suben sus soluciones, entonces publico problemas faciles para que de perdida los intenten.
1. Demostrar que si p es un primo >3, entonces p²-1 es divisible por 24.
2. Demostrar que si p y q son dos numeros primos tales que p>q y q>3, entonces 24 dividirá a p²-q².
Ya tengo la solucion, pero no me dan ganas de postearla si no comenta mas gente. Les dare pistas si de plano no pueden.
ResponderBorraryo le tengo 2 soluciones.. estoi concretando una tercera.. y estos tipos NADA!!! vamos Alberto!!, Luis!!! Pepe!!!
ResponderBorrarComo que ni pelan al blog jeje, rara vez veo que alguien postee algo
ResponderBorrarhey! soy nueva por estoos comentarios, me gustan mucho las matemáticas, y me encataría poder ir a algun tipo de concurso...alguien ayuda? estoy en segundo semestre de prepa...
ResponderBorrar=) ya encontre la solucion =)
ea carla!!! k bueno que te interese la olimpiada (es un super concurso... el mejor de todos!!!!) pues si eres de Chihuahua... espera por medio de este blog a que comiencen las competencias y entrenamientos... si tienes la respuesta, pues ADELANTE!, puedes postearla, asi le daria verwenza a estos otros tipos k no estan al tanto del blog... ENHORABUENA, CARLA!
ResponderBorrargraciias (=
ResponderBorrarsegun yo p=7 y q=5
estare atenta a los posts (=
hehe ps weno... asies correcto, pero se supone que debes demostrar que todo primo mayr a 3 cumple eso, como podras darte cuenta tanto 7 como 5 son mayores a 3, por lo tanto cumple.... en 3 dias.. (es decir hasta el miercols) si nadie mas sube una solucion ps entonces ia se abrira el espacio para k el k tngo una pueda postearla (osea isai y un servidor... seguramente tmbn kike)
ResponderBorrarsaludos!
hahaha perdoon estoy medioo mensis :$ proo ya captee y si es cierto. =) o buenoo ya lo intente cn varios numeros...
ResponderBorrary seguramente te diste cuenta que TOOODOS cumplen jejeje ... porque???
ResponderBorrarok.. ia es demasiado.. COMO QUE NINGUNA SOLUCION?? pepe ya no tienes excusa, se que ya leiste el post.... Luis ya regreso de Ags. (por cierto, muchas felicidades) y Alberto... ??.. esta como k perdido... ya hace mucho k no postea ni comenta nada..
ResponderBorrar=S... o Karina... vamos!!!
yo se que para uds esta super regalado.. no les kitara mucho tiempo.. solo suban sus soluciones.... hoyes el ultimo dia antes de que isai y iio subamos las nuestras!!!!! vams!!
carla: sigue intentando, busca porqué todos los primos mayores a 3 cumplen esa propiedad.... para ti talvez no este tan facil, pero ya eres de prepa, por lo tanto tienes experiencia con el álgebra... ya saque una solucion con algebra para comprobar que estaba accesible para ti... vamos!!
LISTO!!! ES MIERCOLES!!
ResponderBorrarbien, pues escribo la solucion con algebra, para que isai suba la de el.
si p es primo >3, entonces, es impar, por lo tanto p=2k+1.
entonces, p²-1=(2k+1)²-1=4k²+4k=4k(k+1). Con esto verificamos que p²-1 es multiplo de 8, ya que lo divide 4k, y si k es par, entonces 8 divide a 4k, si k es impar, entonces k+1 es par y al multiplicarlo x 4, nos da un multiplo de 8.
para demostrar que es multiplo de 3, basta ver como es un primo impar, pr congruencias esta bien regalado, ya que p²=1mod 3, pero como carla no sabe aritmetica modular, entonces continuare a explicarlo de otra forma.
Buscamos algo que nos relaciones el 3, esto es, el numero 6, (jeje)
cualquier numero impar positivo es de la forma 6m+1 o 6m+3 o 6m+5.
si queremos que p sea uno de esos numeros la eliminacion de 6m+3 es directa, ya que ese numero no es primo>3. entonces tenemos dos casos:
p=6m+1:
p²-1= (6m+1)²-1=36m²+12m=12m(3m+1) por lo que vemos que es multiplo de 12, por lo tnto tambien de 3.
p=6m+5:
p²-1=(6m+5)²-1=36m²+60m+24=12(3m²+5m+2). Igualmente que en el caso anterior, es multiplo de doce y eso implica que es multiplo de 3.
Para ambos casos, ya habiamos demostrado que p²-1 era multiplo de 8. Entonces, como 8 y 3 son primos relativos (es decir, no tienen ningun divisor en comun), p²-1 también es múltiplo de 24.
para el segundo inciso, se puede resolver directo del primero:
p²-q²=(p²-1)-(q²-1). Ambos terminos del segundo miembro de la anterior desigualdad son multiplos de 24 (ya lo demostramos, ya que q>3), por lo tanto tambien su diferencia.
ADELANTE ISAI Y KIKE, Y LOS DEMAS QUE TENGAN SUS SOLUCIONES!!!
igualdad, perdon.. jeje ya ando con otros problemas =S
ResponderBorrar*** SPOILER ***
ResponderBorrarCon congruencias y muchos casitos xD:
para el primero
p^2-1=(p+1)(p-1)
Entonces queremos ver la congruencia mod 3 y mod 8 de (p+1)(p-1)
como p>3 p=1,-1 mod 3
entonces (p+1) ó (p-1) = 0 mod 3
p= 1,3,5,7 mod 8
para p = 1 y 7 mod 8
(p+1) o (p-1) = 0 mod 8
para p=3 mod 8
(p+1)(p-1)=(4)(2) = 0 mod 8
para p=5 mod 8
(p+1)(p-1)=2(3)(4)=0 mod 8
para el segundo es la misma idea pero con muchos mas casos jeje
queremos ver la congruencia mod 3 y 8 de (p+q)(p-q)
como p y q>3
p,q = 1,-1 mod3
si p=q mod 3
entonces
(p-q) = 0 mod 3
si p=/=q mod 3
entonces uno es 1 y otro -1 y entonces
(p+q) = 0 mod 3
p,q = 1,3,-3,-1 mod 8 (que tambien son 1,3,5,7)
Si p=q mod 8
(p-q) = 0 mod 8
Si p=-q mod 8
entonces
(p+q) = 0 mod 8
Ahora los 8 casitos restantes son(que son muy parecidos jaja):
Si p = 1 y q= 3 mod 8
(p+q)(p-q) = (4)(2) = 0 mod 8
si p = 1 y q =-3 mod 8
(p+q)(p-q) = (-2)(4) = 0 mod 8
si p = 3 y q = 1 mod 8
(p+q)(p-q) = (4)(2) = 0 mod 8
si p = 3 y q = -1 mod 8
(p+q)(p-q) = (2)(4) = 0 mod 8
si p = -3 y q = 1 mod 8
(p+q)(p-q) = (-2)(-4) = 0 mod 8
si p = -3 y q = -1 mod 8
(p+q)(p-q) = (-4)(-2) = 0 mod 8
si p = -1 y q = 3 mod 8
(p+q)(p-q) = (2)(-4) = 0 mod 8
si p = -1 y q = -3 mod 8
(p+q)(p-q) = (-4)(2) = 0 mod 8
QED
*** END OF SPOILER ***
Comentarios:
Yo se que se puede hacer mucho mas corto, pero quize poner un ejemplo de como a veces nomas pensar en los casos puede resolver un problema sin meterte en tantos lios.
Daniel, tu solución está medio redundante. La idea de usar (6k+1) y (6k+5) la puedes usar para tirar dos pájaros de un tiro.
ResponderBorrarHaré el caso de 6k +1 primero:
(6k+1)^2 - 1 = 36k^2 + 12k = 12k(3k + 1)
Entonces es múltiplo de 12. Ahora k(3k+1) es par porque si k es impar entonces 3k+1 es par.
El caso de 6k + 5, está un poco más fácil si en lugar de 6k + 5, haces 6k - 1.
(6k-1)^2 - 1 = 36k^2 - 12k = 12k(3k-1).
Mismo final.
Solución con congruencias:
ResponderBorrarp^2 = 1 mod 3 por Fermat.
p^2 = 1 mod 8 porque si
p = +-1, +-3 mod 8 y 1^2 = 1 y 3^2 = 1.
Mi solución para el segundo inciso esta más fea.
La solución de Daniel esta padre.
oh si kike.. si habia notado eso.. tienes razon. Lo hice asi porque Carla talvez no comprenderia porque es lo mismo pensar en un numero de la forma 6k+5 que en otro de la forma 6k-1, y pues con el 6k+5 no es tan obvio cmo para el 6k-1. Pero si tienes razon.
ResponderBorrarSi entiendo hacerlo con 6k+5, pero mi punto no era sólo lo de 6k -1 y 6k+5, me refería a que no necesitas hacer el caso 2k+1. Ese caso esta dentro del caso 6k+1.
ResponderBorrarasi es kike...
ResponderBorrarbien, kike puso una solucion parecida a una de las mias.. asi k solo me resta una ultima.
Primero recordemos un hecho:
Si tenemos m terminos de una progresion aritmetica con razón de cambio igual a d, entonces alguno de esos m terminos es múltiplo de m cuando (m,d)=1.
Ahora bien, para el primer inciso:
consideremos la sucesion: p-1,p,p+1. La razón de cambio es 1, y hay 3 terminos, como (3,1)=1, podemos aplicar el primer principio, así, aseguramos que uno de esos tres terminos es multiplo de 3, sabemos que p no es ese numero, puesto que p es un primo mayor a 3, por lo tanto p-1 o p+1 es multiplo de 3. Por lo tanto, su producto, p²-1, tambien sera multiplo de 3. Ahora, con el mismo principio que la solucion que anteriormente presente, digamos que p-1 y p+1 son ambos pares consecutivos, por lo que uno de los dos es multiplo de 4, y el otro solo un impar multiplicado por 2. Por lo tanto en la descomposicion en factores de p²-1, obtenemos un 8 (8=2x4). Por lo que concluimos que p²-1 al ser multiplo de 8 y de 3, tambien es multiplo de 24. QED
para el segundo inciso:
p²-q²=(p+q)(p-q) Ambos factores pares. Ahora supongamos que p-q=0mod4.
entonces
p-q+2q=p+q
(p-q)+2q=0 + 2 mod 4
p+q=2mod4, esto significa que p-q es multiplo de 4 y que p+q no lo es, pero sigue siendo par, así, su producto es multiplo de 8.
Analogamente determinamos el resultado para p+q=0mod4.
ahora tenemos que un numero al cuadrado es =0,1 mod3, pero como p es primo mayor a 3, entonces p²debe ser =1mod3
entonces, p²-1=0mod 3, de donde dtrminamos que es multiplo de tres. de igual forma obtenemos q²-1=0mod3, por lo tanto, p²-1-q²+1=0 mod3 simplificando, p²-q²=0mod 3, luego, p²-q²=0mod 24. QED.
Esta padre esa solución. De hecho la parte para múltiplo de 3 en p^2 - q^2, puedes hacer el mismo truco de progresión aritmética con p-q, p y p+q, ya que la diferencia es q y (p,q) = 1 (al menos que p = q).
ResponderBorrargenial muchas soluciones y solo 3 personas!! -_-
ResponderBorrarah si kike.. si se puede utilizar.. pero no con p... se utiliza (3,q)=1, y ya aseguramos que alguno de los tres es multiplo de 3, sin ser ese numero p.
ResponderBorrarLa neta si me desilucione con estos chavos... pense k al menos una solucion iban a dar para este problema... estaba muy sencillo y no les quitaba mucho tiempo.. pero weno.. que se le va a hcer.... seguire intentando los imo de kike. =(
ah ok, ya te entendi kike.. jeje pues si.. ya es mas poderoso eso.. y pues si aplicaria,ya que p nunca es igual a q.
ResponderBorrarPues p puede ser igual a q, pero el problema estrivial en ese caso, ya que p^2 - q^2 = 0 y pues n | 0 para todo n.
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