¿Que tal si hacemos uno o dos problemas IMO diarios empezando con los IMO antiguos?
Empecemos con los problemas 1 y 2 de la primera IMO 1959.
1) Demuestra que la fracción (21n+4)/(14n+3) es irreducible. (es decir que para ninguna n, la fracción se puede reducir, ejemplo 3/6 se puede reducir a 1/2).
2) Encuentra todas las x reales que solucionen
RC[x+ RC(2x-1)] + RC[x - RC(2x-1)] = A
para a) A = RC(2), b) A = 1, c) A = 2.
donde RC = raíz cuadrada, admitiendo sólo valores reales no negativos como raíces cuadradas.
BONUS:
En el problema 2, podríamos definir f(A) como el número de x's que solucionan la ecuación. ¿Cómo se comporta esta función?
***SPOILER PROB 1***
ResponderBorrar(-2)(21n+4)+(3)(14n+3)=1
QED
***END OF SPOILER***
***SPOILER PROB 2***
ResponderBorrarRC[x+ RC(2x-1)] + RC[x - RC(2x-1)] = A
Ambos lados son positivos entonces no pasa nada si elevamos al cuadrado de ambos lados y nos queda:
x+rc(2x-1)+2rc(x^2-2x+1) + x - rc(2x-1) = A^2
cancelamos terminos comunes y facotrizamos
2x + 2rc((x-1)^2)=A^2
Ademas tenemos que
x-rc(2x-1)>=0
x>=rc(2x-1)
x^2>=2x-1
x^2-2x+1>=0
(x-1)^2>=0
x>=1
Entonces
2x+2x-2=A^2
4x-2=A^2
Si A=rc(2)
4x-2=2
x=1
Si A=1
4x-2=1
x=3/4
pero x>=1
por lo que no hay soluciones
Si A=2
x=3/2
Se puede comprobar facilmente sustituyendo x=1 y x=3/2 que cumplen son sus respectivas A's
***END OF SPOILER***
Oops, creo que tengo un error en mi solucion del prob 2
ResponderBorrarSi tienes un error.
ResponderBorrarAunque no tuvieras error, es claro que no es una función constante porque f(1) = 0 y f(2) = 1.
El error es en (x-1)^2 >= 0 implica x >= 1. Eso es falso (x-1)^2 siempre es mayor o igual a 0, sin importar el valor de x.
Exactamente es el error que vi kiks jeje
ResponderBorrarbien, como isai me gano la solucion directa para el primero... me aviento la talachera:
ResponderBorrarQueremos demostrar que MCD(21n+4,14n+3)=K (con k natural)
entonces, k divide a 21n+4, y k divide a 14n+3.
asi, tenemos que
21n+4=0mod k
y 14n+3=0mod k
luego 21n+4=14n+3 mod k
7n+1=0mod k
por lo tanto,
k divide tambien a 7n+1.
entonces, 14n+3=7n+1 mod k
luego 7n+2=0modk
por lo que k divide a 7n+2.
luego, tenemos que k divide a 7n+1 y a 7n+2, ambos consecutivos, por lo que k debe ser 1.
DEMOSTRADO!
Muy bien Daniel.
ResponderBorrarYo tengo otra solución para el primero:
Supongamos que la fracción es reducible:
(21n+4)/(14n+3) = 1 + (7n+1)/(14n+3), por lo tanto si (21n+4)/(14n+3) es reducible, también lo será (7n+1)/(14n+3), lo cual implica que (14n+3)/(7n+1)es reducible. Pero (14n+3)/(7n+1) = 2 + 1/(7n+1) que no es reducible. Contradiccion!
***SPOILER PROB 2 CORREGIDO ***
ResponderBorrarRC[x+ RC(2x-1)] + RC[x - RC(2x-1)] = A
Ambos lados son positivos entonces no pasa nada si elevamos al cuadrado de ambos lados y nos queda:
x+rc(2x-1)+2rc(x^2-2x+1) + x - rc(2x-1) = A^2
cancelamos terminos comunes y factorizamos
2x + 2rc((x-1)^2)=A^2
entonces la ultima ecuacion la podemos escribir como
2x + 2|x-1|=A^2
Si x<1 entonces |x-1|=-x+1
2x-2x+2=A^2
A^2=2
A=rc(2)
Ademas 2x-1>=0 (ya que la raiz solo admite positivos)
x>=1/2
Si x>=1 |x-1|=x-1
4x-2=A^2
Si A=1
4x-2=1
x=3/4
Si A=2
4x-2=4
x=3/2
Y con todos estos datos concluimos que:
*Toda x tal que 1/2<=x<=1 cumple con la ecuacion si A=rc(2)
*No hay soluciones si A=1
*con A=2 tenemos una solución
Para el problema bonus
f(rc(2)) es infinito
Ahora concentremonos en la ecuación 4x-2=A^2
A=sqrt(4x-2)
x=((A^2-2)^2)/4
ahora concentremonos en el hecho de que la ecuación es válida si x>1
x=((A^2-2)^2)/4>1
A^2-2>4
A^2>2
A>rc(2)
Para toda A>rc(2) existe al menos una solucion
y como
4x-2=A^2 es lineal
entonces para A>rc(2) existe solo una solucion
Para A<rc(2) recordemos que 2x + 2|x-1|=A^2
Entonces
2x + 2|x-1|<2
x + |x-1|<1
Ahora recordemos que para 1/2<=x<=1 teniamos que A era rc(2)
A^2 / 2 = 1
Ahora veamos que para 1<x podemos utilizar tambien que 0<|x-1|
Si sumamos estas dos desigualdades tenemos que
1<x+|x-1|
Por lo que no hay soluciones para A<rc(2)
Concluyendo:
f(A) = {0 si A<rc(2), infinito si A=rc(2), 1 si rc(2)<A}
*** END OF SPOILER***
Bien hecho Isai!
ResponderBorrarohhh ia le entendi a tu solucion kike.. hehe tuve k pasarla a papel para verla mejor..
ResponderBorrarwow isai!! haha ps io kreo si esta bien (para mi tmb estaba bien la primera k pusiste.. asi k por eso lo del "creo" [aparte mi "solucion" me arrojo los mismos rsultados que en tu primer solucion, por lo que tmb io tenia un error]) .. hahah buena esa de los absolutos...
vamos alberto, luis, y talvez karina (entiendo k tu estas ocupada con la tarea nacional)
¿Por qué expresar los terminos de la manera en que lo hizo Isaí en el primer comment resuelve el problema1?
ResponderBorrar¿Por qué expresar los terminos de la manera en que lo hizo Isaí en el primer comment resuelve el problema1?
ResponderBorrarWow, una apericion historica de Karina en el blog ...... tengo que postear por la ocasion ........ jeje
ResponderBorrarCombinaciones lineales te suena familiar Karina?
ResponderBorrarjeje pues si.. son combinaciones lineales, karina... eso nos lo dijo david cuando veiamos primos relativos... k si habia dos numeros enteros m y r que satisfacian mx+ry=1 entonces (x,y)=1
ResponderBorrarcuentennos como les va en los entrenamientos.. POSTEEN PROBLEMAS!!!