Problema del Día (31 de Julio)

¿Para cuántos enteros $a$ del $1$ al $1000000$ se tiene que $2^a-a^2$ es múltiplo de 5?

Problema del día.

Demuestra que en un conjunto de diez números distintos de dos dígitos, siempre es posible encontrar dos subconjuntos disjuntos tales que la suma de sus elementos es la misma.

Ejemplo:

A={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}

B={17,18}; C={16,19} aquí, la suma de los elementos de B es 17+18=35, y la de C es 16+19=35, entonces los subconjuntos B y C cumplen.

Problema del Día (24 de Julio)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que las líneas $AB$ y $DC$ se intersectan en un punto $Q$ y las líneas $DA$ y $CB$ se intersectan en un punto $P$. Demuestra que las bisectrices de los ángulos $\angle DPC$ y $\angle AQD$ son perpendiculares.

Problema del Día (22 de Julio) y Problemas de Algebra

Vuelve otra vez el problema del día, ahora tiene como proposito preparar a los concursantes para el examen estatal.

Probar que si $a,b,c$ y $n$ son enteros cualquiera con $n>3$ entonces hay un entero $k$ tal que ninguno de los enteros $k+a,k+b,k+c$ es divisible por $n$.

Además les dejo un documento con algunos problemas fáciles de Álgebra.

Problemas de Álgebra

Teoría básica.

Suma de los primeros $n$ naturales consecutivos:

$1+2+3+...+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Suma de los primeros $n$ naturales pares:

$2+4+6+...+(2n-2)+(2n)=n(n+1)$

Suma de los primeros $n$ naturales impares:

$1+3+5+...+(2n-1)=n^{2}$