be a convex quadrangle, 
the intersection of lines 
and 
, 
the intersection of lines 
and 
and 
the intersection of diagonals 
and 
. Show that if 
then 
is the bisector of 
and 
is the bisector of 
.
Sea ABCD un cuadrilatero convexo, p la interseccion de AB y CD, Q la interseccion de AD y BC y O la interseccion de las diagonales AC y BD.Prueba que si POQ=90 entonces PO is bisectriz de OD y OQ es bisectriz de AOB
Sea ABCD un cuadrilatero convexo, p la interseccion de AB y CD, Q la interseccion de AD y BC y O la interseccion de las diagonales AC y BD.Prueba que si POQ=90 entonces PO is bisectriz de OD y OQ es bisectriz de AOB
ResponderBorrarSea S=PO∩BC,R=QO∩AB es conocido que B,S,C,Q es una cuarteta armónica y además tenemos que ∠SOQ=90, tambien es conocido que si las últimas 2 condiciones (el ángulo recto y los armónicos suceden, entonces OS es bisectriz de ∠BOC y por opuestos PO lo es de ∠AOD.
ResponderBorrarAnálogamente la cuarteta P,A,R,B es armónica y ∠ROP=90 entonces QO es bisectriz de ∠AOB QED
Demostración de los hechos conocidos
BorrarAplicamos Ceva en △BPC con las Cevianas PS,AC,BD y Menelao a ese mismo triángulo con la recta A-D-Q y llegamos a que
SCSB=QCQB∴ B,S,C,Q es cuarteta armónica
Si B,S,C,Q son armónicos y ∠SOQ=90 tracemos una recta paralela a OQ por S que intersecte a OB en N y a OC en M, por paralelas tenemos que QCCS=OQSM y QBSB=OQSN pero por armónicos QCCS=QBSB entonces OQSM=OQSN entonces SM=SN y además OQ∥NM,SO⊥OQ⇒SO⊥NM, de aquí que OS es mediatriz y altura de MON entonces OS es bisectriz de ∠MON QED
smn si esta bien aunque pues podias acabar luego luego usando que el angulo era de 90 y que los puntos son armonicos pero esta bien jeje
ResponderBorrarSugerencia para los que aun no lo intentan usar armonicos
ResponderBorrarNombro a la intersección de PO con QC y con QD, R y S respectivamente? Es conocida esa manera de construir a los puntos armónicos así que (Q,R);(B,C) son armónicos. Como O(Q,R);(B,C) es un haz armónico, (Q,S);(A,D) también son conjugados armónicos. Además, es conocido que sí se cumplen 2 de las siguientes 3 condiciones, se cumple también la 3ra. Se cumple que sean conjugados armónicos y que está el ángulo de 90 grados que es ∠QOS. Por lo tanto, OP es bisectriz de ∠AOD. Como ∠AOD=2x y ∠QOS=90−x ∠QOB=90−x porque todos juntos suman 180 grados. Por lo tanto QO también es bisectriz de ∠BOA y ya demostramos todo lo que nos pedían.
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