domingo, 28 de septiembre de 2014

Geometria 28/septiembre (Alonso)

Let ABCD be a convex quadrangle, P the intersection of lines AB and CD, Q the intersection of lines AD and BC and O the intersection of diagonals AC and BD. Show that if \angle POQ= 90^\circ then PO is the bisector of \angle AOD and OQ is the bisector of \angle AOB.

Sea ABCD un cuadrilatero convexo, p la interseccion de AB y CD, Q la interseccion de AD y BC y O la interseccion de las diagonales AC y BD.Prueba que si POQ=90 entonces PO is bisectriz de OD y OQ es bisectriz de AOB

6 comentarios:

  1. Sea ABCD un cuadrilatero convexo, p la interseccion de AB y CD, Q la interseccion de AD y BC y O la interseccion de las diagonales AC y BD.Prueba que si POQ=90 entonces PO is bisectriz de OD y OQ es bisectriz de AOB

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  2. Sea $S=PO\cap{BC}, R=QO\cap{AB}$ es conocido que B,S,C,Q es una cuarteta armónica y además tenemos que $\angle{SOQ}=90$, tambien es conocido que si las últimas 2 condiciones (el ángulo recto y los armónicos suceden, entonces OS es bisectriz de $\angle{BOC}$ y por opuestos PO lo es de $\angle{AOD}$.
    Análogamente la cuarteta P,A,R,B es armónica y $\angle{ROP}=90$ entonces QO es bisectriz de $\angle{AOB}$ QED

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    1. Demostración de los hechos conocidos
      Aplicamos Ceva en $\triangle{BPC}$ con las Cevianas PS,AC,BD y Menelao a ese mismo triángulo con la recta A-D-Q y llegamos a que
      $\frac{SC}{SB}=\frac{QC}{QB}\therefore$ B,S,C,Q es cuarteta armónica

      Si B,S,C,Q son armónicos y $\angle{SOQ}=90$ tracemos una recta paralela a OQ por S que intersecte a OB en N y a OC en M, por paralelas tenemos que $\frac{QC}{CS}=\frac{OQ}{SM}$ y $\frac{QB}{SB}=\frac{OQ}{SN}$ pero por armónicos $\frac{QC}{CS}=\frac{QB}{SB}$ entonces $\frac{OQ}{SM}=\frac{OQ}{SN}$ entonces SM=SN y además $OQ\parallel{NM}, SO\perp{OQ}\Rightarrow SO\perp{NM}$, de aquí que OS es mediatriz y altura de MON entonces OS es bisectriz de $\angle{MON}$ QED

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  3. smn si esta bien aunque pues podias acabar luego luego usando que el angulo era de 90 y que los puntos son armonicos pero esta bien jeje

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  4. Sugerencia para los que aun no lo intentan usar armonicos

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  5. Nombro a la intersección de $PO$ con $QC$ y con $QD$, $R$ y $S$ respectivamente? Es conocida esa manera de construir a los puntos armónicos así que $(Q,R);(B,C)$ son armónicos. Como $O(Q,R);(B,C)$ es un haz armónico, $(Q,S);(A,D)$ también son conjugados armónicos. Además, es conocido que sí se cumplen 2 de las siguientes 3 condiciones, se cumple también la 3ra. Se cumple que sean conjugados armónicos y que está el ángulo de 90 grados que es $\angle{QOS}$. Por lo tanto, $OP$ es bisectriz de $\angle{AOD}$. Como $\angle{AOD}=2x$ y $\angle{QOS}=90-x$ $\angle{QOB}=90-x$ porque todos juntos suman 180 grados. Por lo tanto $QO$ también es bisectriz de $\angle{BOA}$ y ya demostramos todo lo que nos pedían.

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