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jueves, 25 de septiembre de 2014
PROOBLEMA DEL DIA 25 DE SEPTIEMBRE (Enrique)
El triangulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia y en el arco BC se toma un punto arbitrario M. Demostrar que AM=BM+CM
De los pocos problemas que recuerdo de cuando era alimpico, hace uuuuuuuh No sigan leyendo hasta despues de haberlo resuelto, o minimo intentarlo el tiempo recomendado SPOILER:
Sugerencias: solucion 1: construccion de un punto P sobre AM que cumpla algo chido....(no quiero dar muchos detalles) solucion 2: ptolomeo
Sea D un punto en AM tal que MD=MC, veo que <AMC=<ABC=60º entonces el triangulo DMC es equilatero, sea <MAC=x,entonces ya que <BAC=60º tengo que <BAM=60-x, y por el ciclico <BCM=60-x,luego como <DAC+<DCA=<MDC=60º, enotnces <DCA=60-x, me fijo que ya que MDC es equilatero entonces DC=MC, luego <DCA=<MCB=60-x, y como ABC es equilatero enotnces CB=CA, enotnces por LAL los triangulos MCB y DCA son congruentes, entonces BM=AD, entonces AM=AD+DM=BM+CM
Usamos ptolomeo en $ABMC$ y nos queda $AB*MC+BM*AC=AM*BC$. Pero sabemos que $AB=BC=AC$ así que dividimos nuestra ecuación que sacamos por ptolomeo entre $AB$ y nos queda $MC+BM=AM$ que es lo que queríamos demostrar.
De los pocos problemas que recuerdo de cuando era alimpico, hace uuuuuuuh
ResponderBorrarNo sigan leyendo hasta despues de haberlo resuelto, o minimo intentarlo el tiempo recomendado
SPOILER:
Sugerencias:
solucion 1: construccion de un punto P sobre AM que cumpla algo chido....(no quiero dar muchos detalles)
solucion 2: ptolomeo
Sea D un punto en AM tal que MD=MC, veo que <AMC=<ABC=60º entonces el triangulo DMC es equilatero, sea <MAC=x,entonces ya que <BAC=60º tengo que <BAM=60-x, y por el ciclico <BCM=60-x,luego como <DAC+<DCA=<MDC=60º, enotnces <DCA=60-x, me fijo que ya que MDC es equilatero entonces DC=MC, luego <DCA=<MCB=60-x, y como ABC es equilatero enotnces CB=CA, enotnces por LAL los triangulos MCB y DCA son congruentes, entonces BM=AD, entonces AM=AD+DM=BM+CM
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ResponderBorrarSea $AB=BC=AC=x$ aplicando Ptolomeo en $ABMC$ tenemos que $AM(MC)+AC(BM)=BC(AM) \Rightarrow MCx+BMx=MAx \therefore BM+MC=MA$
ResponderBorrarPor ptolomeo:
ResponderBorrarAM*BC=BM*AC+BA*MC
AM*BC=BM*BC+MC*BA
AM=BM+CM
(Igual que Arturo Arenas)
Ya lo habia hecho es lo mismo que lo de arturo
ResponderBorrarUsamos ptolomeo en $ABMC$ y nos queda $AB*MC+BM*AC=AM*BC$. Pero sabemos que $AB=BC=AC$ así que dividimos nuestra ecuación que sacamos por ptolomeo entre $AB$ y nos queda $MC+BM=AM$ que es lo que queríamos demostrar.
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