jueves, 25 de septiembre de 2014

PROOBLEMA DEL DIA 25 DE SEPTIEMBRE (Enrique)

El triangulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia y en el arco BC se toma un punto arbitrario M. Demostrar que AM=BM+CM

Tiempo recomendado para el problema: 45 minutos

8 comentarios:

  1. De los pocos problemas que recuerdo de cuando era alimpico, hace uuuuuuuh
    No sigan leyendo hasta despues de haberlo resuelto, o minimo intentarlo el tiempo recomendado
    SPOILER:




    Sugerencias:
    solucion 1: construccion de un punto P sobre AM que cumpla algo chido....(no quiero dar muchos detalles)
    solucion 2: ptolomeo

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  2. Sea D un punto en AM tal que MD=MC, veo que <AMC=<ABC=60º entonces el triangulo DMC es equilatero, sea <MAC=x,entonces ya que <BAC=60º tengo que <BAM=60-x, y por el ciclico <BCM=60-x,luego como <DAC+<DCA=<MDC=60º, enotnces <DCA=60-x, me fijo que ya que MDC es equilatero entonces DC=MC, luego <DCA=<MCB=60-x, y como ABC es equilatero enotnces CB=CA, enotnces por LAL los triangulos MCB y DCA son congruentes, entonces BM=AD, entonces AM=AD+DM=BM+CM

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  5. Sea $AB=BC=AC=x$ aplicando Ptolomeo en $ABMC$ tenemos que $AM(MC)+AC(BM)=BC(AM) \Rightarrow MCx+BMx=MAx \therefore BM+MC=MA$

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  6. Por ptolomeo:
    AM*BC=BM*AC+BA*MC
    AM*BC=BM*BC+MC*BA
    AM=BM+CM
    (Igual que Arturo Arenas)

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  7. Ya lo habia hecho es lo mismo que lo de arturo

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  8. Usamos ptolomeo en $ABMC$ y nos queda $AB*MC+BM*AC=AM*BC$. Pero sabemos que $AB=BC=AC$ así que dividimos nuestra ecuación que sacamos por ptolomeo entre $AB$ y nos queda $MC+BM=AM$ que es lo que queríamos demostrar.

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