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sábado, 27 de septiembre de 2014
Problema de Álgebra, 27 de septiembre (Pepe).
Encontrar todas las parejas de enteros no negativos (m,n) que cumplen 3∗2m+1=n2.
3(2m)=n2−1=(n+1)(n−1) n+1,n-1 tienen la misma paridad
Si n-1,n+1 son impares entonces (n+1)(n-1) no tiene factores 2 entonces m=0⇒2m(3)=3=n2−1⇒4=n2⇒n=2
Si n-1,n+1 son pares, vemos que 4 no puede dividir a ambos pues su dif. es 2 (y su dif. mod. 4 tambien lo será), entonces alguno tiene 1 factor 2 y el otro tiene m-1 factores 2
Caso n-1 tiene los m-1 factores 2, de aqui salen claramente dos casos \bullet 2^{m-1](3)=n-1, 2=n+1 \Rightarrow n=1 \Rightarrow 0=2^{m-1}=(3) contradicción ∙2m−1=n−1,3(2)=n+1⇒n=5⇒2m−1=4⇒m=3
Caso n+1 tiene los m-1 factores 2 ∙2m−1(3)=n+1,2=n−1⇒n=3⇒2m−1(3)=4⇒3|4 contradicción ∙2m−1=n+1,2(3)=n−1⇒n=7⇒2m−1=8⇒m=4
∴(m,n)=(0,2),(3,5),(4,7) son las únicas parejas que cumplen.
tenemos que: 3×2m=(n+1)(n−1) 3×2r=2s±2 supongo "r"y "s" > 1 3×2r−1=2s−1±1 pero el primero es par y el segundo impar; contradiccion entonces "r" o "s"<2
CASO 1 r=1 3×21=2s±2 6±2=2s r=1 y s= 2 o r=1 s= 3
CASO 2 r=0 3×20=2s±2 3±2=2s 1 o 5= 2^s r=0 s=0
CASO 3 s=1 3×2r=21±2 3×2r=2±2 3×2r=4 o 3×2r=0 contradiccion
CASO 4 s=0 3×2r=1±2 3×2r=−1 contradiccion 3×2r=3 s=0 r=0
los posibes valores para m (que van a ser r+s) son 1+3=4, 1+2=3, 0+0=0
3(2m)=n2−1=(n+1)(n−1) n+1,n-1 tienen la misma paridad
ResponderBorrarSi n-1,n+1 son impares entonces (n+1)(n-1) no tiene factores 2 entonces m=0⇒2m(3)=3=n2−1⇒4=n2⇒n=2
Si n-1,n+1 son pares, vemos que 4 no puede dividir a ambos pues su dif. es 2 (y su dif. mod. 4 tambien lo será), entonces alguno tiene 1 factor 2 y el otro tiene m-1 factores 2
Caso n-1 tiene los m-1 factores 2, de aqui salen claramente dos casos
\bullet 2^{m-1](3)=n-1, 2=n+1 \Rightarrow n=1 \Rightarrow 0=2^{m-1}=(3) contradicción
∙2m−1=n−1,3(2)=n+1⇒n=5⇒2m−1=4⇒m=3
Caso n+1 tiene los m-1 factores 2
∙2m−1(3)=n+1,2=n−1⇒n=3⇒2m−1(3)=4⇒3|4 contradicción
∙2m−1=n+1,2(3)=n−1⇒n=7⇒2m−1=8⇒m=4
∴(m,n)=(0,2),(3,5),(4,7) son las únicas parejas que cumplen.
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
BorrarMuy bien, Arturo
Borrartenemos que:
ResponderBorrar3×2m=(n+1)(n−1)
3×2r=2s±2
supongo "r"y "s" > 1
3×2r−1=2s−1±1
pero el primero es par y el segundo impar; contradiccion
entonces "r" o "s"<2
CASO 1 r=1
3×21=2s±2
6±2=2s
r=1 y s= 2 o r=1 s= 3
CASO 2 r=0
3×20=2s±2
3±2=2s
1 o 5= 2^s
r=0 s=0
CASO 3 s=1
3×2r=21±2
3×2r=2±2
3×2r=4
o
3×2r=0
contradiccion
CASO 4 s=0
3×2r=1±2
3×2r=−1 contradiccion
3×2r=3
s=0 r=0
los posibes valores para m (que van a ser r+s) son 1+3=4, 1+2=3, 0+0=0
m=0 n=√3+1=2
m=3 n=√24+1=5
m=4 n=√48+1=7