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sábado, 27 de septiembre de 2014
Problema de Álgebra, 27 de septiembre (Pepe).
Encontrar todas las parejas de enteros no negativos $(m,n)$ que cumplen $3*2^m+1=n^2$.
$3(2^{m})=n^{2}-1=(n+1)(n-1)$ n+1,n-1 tienen la misma paridad
Si n-1,n+1 son impares entonces (n+1)(n-1) no tiene factores 2 entonces $m=0 \Rightarrow 2^{m}(3)=3=n^{2}-1 \Rightarrow 4=n^{2} \Rightarrow n=2$
Si n-1,n+1 son pares, vemos que 4 no puede dividir a ambos pues su dif. es 2 (y su dif. mod. 4 tambien lo será), entonces alguno tiene 1 factor 2 y el otro tiene m-1 factores 2
Caso n-1 tiene los m-1 factores 2, de aqui salen claramente dos casos $\bullet 2^{m-1](3)=n-1, 2=n+1 \Rightarrow n=1 \Rightarrow 0=2^{m-1}=(3)$ contradicción $\bullet 2^{m-1}=n-1, 3(2)=n+1 \Rightarrow n=5 \Rightarrow 2^{m-1}=4 \Rightarrow m=3$
Caso n+1 tiene los m-1 factores 2 $\bullet 2^{m-1}(3)=n+1, 2=n-1 \Rightarrow n=3 \Rightarrow 2^{m-1}(3)=4 \Rightarrow 3|4$ contradicción $\bullet 2^{m-1}=n+1, 2(3)=n-1 \Rightarrow n=7 \Rightarrow 2^{m-1}=8 \Rightarrow m=4$
$\therefore (m,n)=(0,2),(3,5),(4,7)$ son las únicas parejas que cumplen.
tenemos que: $3 \times 2^m=(n+1)(n-1)$ $3 \times 2^r=2^s \pm 2$ supongo "r"y "s" > 1 $3 \times 2^{r-1}=2^{s-1} \pm 1$ pero el primero es par y el segundo impar; contradiccion entonces "r" o "s"<2
CASO 1 r=1 $3 \times 2^1=2^s \pm 2$ $6 \pm 2 =2^s$ r=1 y s= 2 o r=1 s= 3
CASO 2 r=0 $3 \times 2^0=2^s \pm 2$ $3 \pm 2=2^s$ 1 o 5= 2^s r=0 s=0
$3(2^{m})=n^{2}-1=(n+1)(n-1)$ n+1,n-1 tienen la misma paridad
ResponderBorrarSi n-1,n+1 son impares entonces (n+1)(n-1) no tiene factores 2 entonces $m=0 \Rightarrow 2^{m}(3)=3=n^{2}-1 \Rightarrow 4=n^{2} \Rightarrow n=2$
Si n-1,n+1 son pares, vemos que 4 no puede dividir a ambos pues su dif. es 2 (y su dif. mod. 4 tambien lo será), entonces alguno tiene 1 factor 2 y el otro tiene m-1 factores 2
Caso n-1 tiene los m-1 factores 2, de aqui salen claramente dos casos
$\bullet 2^{m-1](3)=n-1, 2=n+1 \Rightarrow n=1 \Rightarrow 0=2^{m-1}=(3)$ contradicción
$\bullet 2^{m-1}=n-1, 3(2)=n+1 \Rightarrow n=5 \Rightarrow 2^{m-1}=4 \Rightarrow m=3$
Caso n+1 tiene los m-1 factores 2
$\bullet 2^{m-1}(3)=n+1, 2=n-1 \Rightarrow n=3 \Rightarrow 2^{m-1}(3)=4 \Rightarrow 3|4$ contradicción
$\bullet 2^{m-1}=n+1, 2(3)=n-1 \Rightarrow n=7 \Rightarrow 2^{m-1}=8 \Rightarrow m=4$
$\therefore (m,n)=(0,2),(3,5),(4,7)$ son las únicas parejas que cumplen.
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BorrarMuy bien, Arturo
Borrartenemos que:
ResponderBorrar$3 \times 2^m=(n+1)(n-1)$
$3 \times 2^r=2^s \pm 2$
supongo "r"y "s" > 1
$3 \times 2^{r-1}=2^{s-1} \pm 1$
pero el primero es par y el segundo impar; contradiccion
entonces "r" o "s"<2
CASO 1 r=1
$3 \times 2^1=2^s \pm 2$
$6 \pm 2 =2^s$
r=1 y s= 2 o r=1 s= 3
CASO 2 r=0
$3 \times 2^0=2^s \pm 2$
$3 \pm 2=2^s$
1 o 5= 2^s
r=0 s=0
CASO 3 s=1
$3 \times 2^r= 2^1 \pm 2$
$3 \times 2^r=2 \pm 2$
$3 \times 2^r=4$
o
$3 \times 2^r=0$
contradiccion
CASO 4 s=0
$3 \times 2^r=1 \pm 2$
$3 \times 2^r=-1$ contradiccion
$3 \times 2^r=3$
s=0 r=0
los posibes valores para m (que van a ser r+s) son 1+3=4, 1+2=3, 0+0=0
m=0 $n=\sqrt{3+1}=2$
m=3 $n=\sqrt{24+1}=5$
m=4 $n=\sqrt{48+1}=7$