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sábado, 27 de septiembre de 2014

Problema de Álgebra, 27 de septiembre (Pepe).

Encontrar todas las parejas de enteros no negativos (m,n) que cumplen 32m+1=n2.

4 comentarios:

  1. 3(2m)=n21=(n+1)(n1) n+1,n-1 tienen la misma paridad

    Si n-1,n+1 son impares entonces (n+1)(n-1) no tiene factores 2 entonces m=02m(3)=3=n214=n2n=2

    Si n-1,n+1 son pares, vemos que 4 no puede dividir a ambos pues su dif. es 2 (y su dif. mod. 4 tambien lo será), entonces alguno tiene 1 factor 2 y el otro tiene m-1 factores 2

    Caso n-1 tiene los m-1 factores 2, de aqui salen claramente dos casos
    \bullet 2^{m-1](3)=n-1, 2=n+1 \Rightarrow n=1 \Rightarrow 0=2^{m-1}=(3) contradicción
    2m1=n1,3(2)=n+1n=52m1=4m=3

    Caso n+1 tiene los m-1 factores 2
    2m1(3)=n+1,2=n1n=32m1(3)=43|4 contradicción
    2m1=n+1,2(3)=n1n=72m1=8m=4

    (m,n)=(0,2),(3,5),(4,7) son las únicas parejas que cumplen.

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  2. tenemos que:
    3×2m=(n+1)(n1)
    3×2r=2s±2
    supongo "r"y "s" > 1
    3×2r1=2s1±1
    pero el primero es par y el segundo impar; contradiccion
    entonces "r" o "s"<2

    CASO 1 r=1
    3×21=2s±2
    6±2=2s
    r=1 y s= 2 o r=1 s= 3

    CASO 2 r=0
    3×20=2s±2
    3±2=2s
    1 o 5= 2^s
    r=0 s=0

    CASO 3 s=1
    3×2r=21±2
    3×2r=2±2
    3×2r=4
    o
    3×2r=0
    contradiccion

    CASO 4 s=0
    3×2r=1±2
    3×2r=1 contradiccion
    3×2r=3
    s=0 r=0

    los posibes valores para m (que van a ser r+s) son 1+3=4, 1+2=3, 0+0=0

    m=0 n=3+1=2
    m=3 n=24+1=5
    m=4 n=48+1=7

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