Uno fácil.

Aquí va otro problema. Este está mucho más sencillo que los anteriores, pero en vista de que nadie ha subido otro, y de que ni Alberto, ni Pepe, ni Luis suben sus soluciones, entonces publico problemas faciles para que de perdida los intenten.

1. Demostrar que si p es un primo >3, entonces p²-1 es divisible por 24.

2. Demostrar que si p y q son dos numeros primos tales que p>q y q>3, entonces 24 dividirá a p²-q².

Problema IMO del Día

¿Que tal si hacemos uno o dos problemas IMO diarios empezando con los IMO antiguos?

Empecemos con los problemas 1 y 2 de la primera IMO 1959.

1) Demuestra que la fracción (21n+4)/(14n+3) es irreducible. (es decir que para ninguna n, la fracción se puede reducir, ejemplo 3/6 se puede reducir a 1/2).

2) Encuentra todas las x reales que solucionen
RC[x+ RC(2x-1)] + RC[x - RC(2x-1)] = A
para a) A = RC(2), b) A = 1, c) A = 2.
donde RC = raíz cuadrada, admitiendo sólo valores reales no negativos como raíces cuadradas.

BONUS:
En el problema 2, podríamos definir f(A) como el número de x's que solucionan la ecuación. ¿Cómo se comporta esta función?

Curiosidades Matemáticas (y literarias)

Esta vez me gustaría poner algo diferente, analizemos un fragmento de la novela de Lewis Caroll "Alicia en el Pais de las maravillas".
En inglés dice:
"Let me see: four times five is twelve, and four times six is thirteen, and four times seven is — oh dear! I shall never get to twenty at that rate!
En español:
"Empecemos: cuatro por cinco, doce; cuatro por seis, trece; cuatro por siete... !A este paso nunca llegaré a 20!"

Cuando uno lee ese fragmento el lector piensa que Alicia posiblemente esta loca, o no sabe lo que dice, pero resulta que las multiplicaciones de Alicia tienen sentido en bases diferentes a 10. Ella menciona que nunca llegaría al 20,¿Pero porque dice eso?

Por ejemplo (el parentesis indica la base), 4(18)*5(18)=12(18), 4(21)*6(21)=13(21), y Alicia no lo menciona pero 4(24)*7(24)=14(24), entonces lo que esta haciendo en realidad Alicia es una secuencia donde un numero representado aumenta en uno, la base aumenta en 3, y el resultado en 1.

Si seguimos la secuencia
4(27)*8(27)=15(27)
4(30)*9(30)=16(30)

Ahora veamos que
4(33)*10(33) no es igual a 15(33), pero si en lugar de tomar el 10(33) tomamos las letras A,B,C,D,... (con valor de 10,11,12,13, etc), podemos seguir la secuencia

4(33)*A(33)=17(33)
4(36)*B(36)=18(36)
4(39)*C(39)=19(39)

4(42)*D(42)=20(42)??????
Esto ultimo es completamente falso!!
Resulta que:
4(42)*D(42)= 1A(42)

Por lo que Alicia tenía razón en que nunca llegaría al 20 ya que es justo cuando su secuencia falla.

Este libro me gusta mucho, y resulta que tiene muchas otras referencias a las matemáticas como pueden ver en Wikipedia

Y bueno, ya era hora de que alguien publicara algo mas original jeje

Saludos

Isaí Vázquez

Problema del dia (Feb-8)

Ahí les va un problema de teoría de números:

Sea p un primo, demostrar que hay infinitos enteros positivos n tal que p divide a 2^n - n