Sea ABC un triángulo. Sean D un punto en AB tal que AD/AB = 1/3. E en BC tal que BE/BC = 1/3 y F en AC tal que CF/AC = 1/3. Al trazar los segmentos AE,BF y CD se forma un triángulo en el centro. Demuestra que el triángulo en el centro tiene área 1/7 la área de ABC.
Que onda quiquin, oye en el problema creo que falta especificar que D,E y F estan sobre los segmentos 'c','a','b' respectivamente.
ResponderBorrarY una duda, no deberia ser CF/CA=1/3 (en lugar de AF/FC)?
Ha hint lo puedes reducir a el caso en que el triangulo es equilatero y todos los demas salen de ese caso en particular por que todos los triangulos son obtenidos del equilatero por multiplicacion por una matrices. Y las matrices no cambian la razon de los segmentos de los lados y el area se eleva al cuadrado por la determinante de la matriz pero como es una divicion es invariante. No se si me explique bien pero el caso es que con hacer el del eqilatero con vectores o geometria analitica ya sale el problema.
ResponderBorrarCreo que tambien lo puedes hacer para un triangulo rectangulo isosceles, donde la geometria analitica es aun mas facil (segun lei en algunos lados). Pero como quiera esa solucion esta feona, yo encontre una Euclidiana.
ResponderBorrarTienes razon Hector, y ya lo corregi.
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ResponderBorrara lo hice para el caso del equilatero y el rectangulo isosceles.. la solucion del rectangulo isosceles no esta tan fea.. pero es por analitica y no se como explicar eso aka en google... y ni idea de lo que uso hector.. asi ke pss.. solo les dire ke ia lo resolvi... aun no me sale por euclideana... tngo cositas.. pero no dan nada concreto..
ResponderBorrarTu link no muestra nada Hectorin, lo puedes repostear?
ResponderBorrarLink para ver mi solucion
ResponderBorrarEsta chida la solucion Hector. La mia es un poco mas corta, pero quizas no tan bonita.
ResponderBorrarYo lo que hago es sacar la razon AP/PE (en tu dibujo). Analogamente todas las demas son la misma. Usando ese calculo, es facil calcular b_2 y luego c_2 y a_2 son iguales por simetria y el final es obvio.
Una pequeña clase de geometría proyectiva =P
ResponderBorrarHaciendo una tranformacion proyectiva puedes mandar los 3 puntos del triangulo ABC a 3 puntos que esten en cualquier otra posicion, en este caso conviene mandarlos a un triangulo equilatero o isosceles.
La transformacion proyectiva conserva las razones, las incidencias, y dilata todas las areas por un mismo factor. Entonces por ejemplo se sigue teniendo que AD/AB = 1/3,y se sigue teniendo que demostrar que el triángulo en el centro tiene área 1/7 la área de ABC.
Esta transformación NO conserva ángulos, por lo que no siempre es util.
Ese hector bonita la solucion. Que usaste para escribirla y ponerla aqui?
ResponderBorrarQue onda Carlos, pues lo hice en word y lo grabe como pdf, y lo subi a google docs, y listo.
ResponderBorrarPara poner el link lo pones asi:
(a href="http://www.google.com")Lo que quieres que diga el LINK(/a)
En lugar de '(' pones '<' y ')' pones '>'
y en lugar de 'www.google.com' pones el URL para compartir el archivo que es algo como http://docs.google.com/fileview?id=0B.....
Un comentario que considero IMPORTANTE:
ResponderBorrar"Una pequeña clase de geometría proyectiva =P
....
La transformacion proyectiva conserva las razones... "
Las transformaciones proyectivas NO conserva CUALESQUIER RAZONES, Solo se puede asegurar que se conservan cuando se encuentran sobre la misma recta.
En otras palabras conserva la razón AB/CD cuando A,B,C,D son colineales.
En el caso particular de este problema no hay problema con las razones AD/AB, BE/BC, CF/AC Dado que D es un punto en AB ,E en BC y F en AC.
Como quiera, la parte proyectiva no ayuda tanto en este problema al menos que quieran usar analítica (aunque en tal caso, si simplifica las cuentas bastante).
ResponderBorrarLa demostracion que se me ocurrio para el equilatero es esencialmente la misma que la que hice en general.
Usar el teorema generalizado de la bisectriz para demostrar que AP/PE = 3/4. Aunque con el equilatero, terminar es un poco más fácil, al poder calcular AE con ley de cosenos.
Tienes razon hector, perdon por no mencionar ese detalle
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