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viernes, 30 de julio de 2010

Problema del día

Para novicios:
Si a y b son numeros positivos distintos que cumplen a2+b2=4ab, hallar el valor de: a+bab


Avanzados:
Sean a,b,c>0 muestre que
a2+b2a+b+b2+c2b+c+a2+c2a+ca+b+c


Muy avanzado:
Sean a,b,c números reales positivos con abc=1. Muestre que:
(a1+1b)(b1+1c)(c1+1a)1

17 comentarios:

  1. Amm como se usa el Latex para asi poner la solucion del segundo problema jeje

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  2. ***SPOILER***

    Separando la parte izquierda de la desigualdad como:

    a2a+b+b2a+b+b2b+c+c2b+c+a2a+c+c2a+c(2a+2b+2c)24a+4b+4c=[2(a+b+c)]24(a+b+c)=(a+b+c)2a+b+c=a+b+c



    Lo anterior es utilizando directamente la desigualdad util (caso particular de Cauchy-Schwarz) en el primer paso.. luego el resto es algebra.

    ***END OF SPOILER***

    Saludos...

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  3. Y tu solucion es correcta, ahi va la segunda solucion sin usar la util, solamente con MA-MG!!

    Es suficiente demostrar que a2+b2a+ba+b2



    Por MA-MG tenemos que:
    a2+b22ab

    Luego le sumamos a2+b22 de ambos lados:
    a2+b2a2+2ab+b22

    Factorizamos:
    a2+b2(a+b)22

    Dividimos ambos lados entre (a+b):
    a2+b2a+ba+b2


    Que es lo que queriamos demostrar.
    (Si no queda claro porque es suficiente, es porque hacemos lo mismo para cada fraccion del lado izquierdo y luego sumamos las desigualdades)

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  4. :@ aaaa Daniel, ya habia resuelto el segundo nomas k no sabia como usar el Latex!

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  5. Irving, ya puse una guia para usar LATEX espero te sirva.

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  6. iwal.. no se si tu solucion sea la misma...

    sube la tuya.. no te enojes..

    aparte... c'omo te iba a explicar latex??

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  7. ohh ia lo veo io tmb... entonces es mi compu... en este momento ando en un cyber y aki si se ve..

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  8. daniel a mi me salio haziendo lo mismo k tu jaja por eso, pero no hay bronca

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  9. Creo que estaba muy facil, salia hasta sin la util, quieren otro "jovenes avanzados"?

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  10. Tercera solucion!!

    Por MC-MA es cierto que:

    a2+b22a+b2



    Elevando al cuadrado de ambos lados:
    a2+b22(a+b)24


    Multiplicando por 2 de ambos lados y diviendo entre (a+b) de ambos lados temeos que:
    a2+b2a+ba+b2


    Que es lo que queriamos demostrar.

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  11. en el de novicios el resultado es 3?

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  12. No, no es 3, es mejor poner la solucion que el resultado, nos interesa mas como llegaste a ese resultado que el hecho de que si esta bien o esta mal

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  13. a²+b² = 4ab

    a²-2b+b² = 2ab

    (a-b)²= 2ab

    a²+2b+b²= 6ab

    (a+b)²= 6ab

    a+b = raíz(6ab)
    a-b = raíz(2ab)
    (a+b)/(a-b) = [raiz(6)*raiz(a)*raiz(b)]/[raiz(2)*raiz(a)*raiz(b)]

    (a+b)/(a-b) = raiz(6)/raiz(2)


    eso si esta bien?

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  14. Si eso esta bien, ya vi que hiciste mal, resulta que 62=3

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  15. Ya que si a y b son reales positivos entonces:
    ab=ab

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