Si a y b son numeros positivos distintos que cumplen a2+b2=4ab, hallar el valor de: a+ba−b
Avanzados:
Sean a,b,c>0 muestre que
a2+b2a+b+b2+c2b+c+a2+c2a+c≥a+b+c
Muy avanzado:
Sean a,b,c números reales positivos con abc=1. Muestre que:
(a−1+1b)(b−1+1c)(c−1+1a)≤1
Amm como se usa el Latex para asi poner la solucion del segundo problema jeje
ResponderBorrar***SPOILER***
Separando la parte izquierda de la desigualdad como:
a2a+b+b2a+b+b2b+c+c2b+c+a2a+c+c2a+c≥(2a+2b+2c)24a+4b+4c=[2(a+b+c)]24(a+b+c)=(a+b+c)2a+b+c=a+b+c
Lo anterior es utilizando directamente la desigualdad util (caso particular de Cauchy-Schwarz) en el primer paso.. luego el resto es algebra.
***END OF SPOILER***
Saludos...ResponderBorrar
ah caray... no acepto latex???
ResponderBorrarYo si veo el LaTeX Daniel
ResponderBorrarY tu solucion es correcta, ahi va la segunda solucion sin usar la util, solamente con MA-MG!!
Es suficiente demostrar que a2+b2a+b≥a+b2
Por MA-MG tenemos que:
a2+b22≥ab
Luego le sumamos a2+b22 de ambos lados:
a2+b2≥a2+2ab+b22
Factorizamos:
a2+b2≥(a+b)22
Dividimos ambos lados entre (a+b):
a2+b2a+b≥a+b2
Que es lo que queriamos demostrar.
(Si no queda claro porque es suficiente, es porque hacemos lo mismo para cada fraccion del lado izquierdo y luego sumamos las desigualdades)ResponderBorrar
:@ aaaa Daniel, ya habia resuelto el segundo nomas k no sabia como usar el Latex!
ResponderBorrarIrving, ya puse una guia para usar LATEX espero te sirva.
ResponderBorrariwal.. no se si tu solucion sea la misma...
ResponderBorrarsube la tuya.. no te enojes..
aparte... c'omo te iba a explicar latex??
ohh ia lo veo io tmb... entonces es mi compu... en este momento ando en un cyber y aki si se ve..
ResponderBorrardaniel a mi me salio haziendo lo mismo k tu jaja por eso, pero no hay bronca
ResponderBorrarCreo que estaba muy facil, salia hasta sin la util, quieren otro "jovenes avanzados"?
ResponderBorrarTercera solucion!!
Por MC-MA es cierto que:
√a2+b22≥a+b2
Elevando al cuadrado de ambos lados:
a2+b22≥(a+b)24
Multiplicando por 2 de ambos lados y diviendo entre (a+b) de ambos lados temeos que:
a2+b2a+b≥a+b2
Que es lo que queriamos demostrar.ResponderBorrar
en el de novicios el resultado es 3?
ResponderBorrarNo, no es 3, es mejor poner la solucion que el resultado, nos interesa mas como llegaste a ese resultado que el hecho de que si esta bien o esta mal
ResponderBorrara²+b² = 4ab
ResponderBorrara²-2b+b² = 2ab
(a-b)²= 2ab
a²+2b+b²= 6ab
(a+b)²= 6ab
a+b = raíz(6ab)
a-b = raíz(2ab)
(a+b)/(a-b) = [raiz(6)*raiz(a)*raiz(b)]/[raiz(2)*raiz(a)*raiz(b)]
(a+b)/(a-b) = raiz(6)/raiz(2)
eso si esta bien?
Si eso esta bien, ya vi que hiciste mal, resulta que √6√2=√3
Ya que si a y b son reales positivos entonces:
√a√b=√ab