Para novicios:
Si $a$ y $b$ son numeros positivos distintos que cumplen $a^2+b^2=4ab$, hallar el valor de: \[\frac{a+b}{a-b}\]
Avanzados:
Sean $a,b,c>0$ muestre que
\[\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\geq a+b+c\]
Muy avanzado:
Sean $a,b,c$ números reales positivos con $abc=1$. Muestre que:
\[\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right)\leq1\]
Amm como se usa el Latex para asi poner la solucion del segundo problema jeje
ResponderBorrar***SPOILER***
ResponderBorrarSeparando la parte izquierda de la desigualdad como:
\[\frac{a^2}{a+b} + \frac{b^2}{a+b} + \frac{b^2}{b+c} + \frac{c^2}{b+c} + \frac{a^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+c} \geq \frac{(2a+2b+2c)^2}{4a+4b+4c} = \frac {[2(a+b+c)]^2}{4(a+b+c)} = \frac {(a+b+c)^2}{a+b+c} = a+b+c\] ■
Lo anterior es utilizando directamente la desigualdad util (caso particular de Cauchy-Schwarz) en el primer paso.. luego el resto es algebra.
***END OF SPOILER***
Saludos...
ah caray... no acepto latex???
ResponderBorrarYo si veo el LaTeX Daniel
ResponderBorrarY tu solucion es correcta, ahi va la segunda solucion sin usar la util, solamente con MA-MG!!
ResponderBorrarEs suficiente demostrar que \[\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}\]
Por MA-MG tenemos que:
\[\frac{a^2+b^2}{2}\geq ab\]
Luego le sumamos $\frac{a^2+b^2}{2}$ de ambos lados:
\[a^2+b^2\geq \frac{a^2+2ab+b^2}{2}\]
Factorizamos:
\[a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\]
Dividimos ambos lados entre $(a+b)$:
\[\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}\]
Que es lo que queriamos demostrar.
(Si no queda claro porque es suficiente, es porque hacemos lo mismo para cada fraccion del lado izquierdo y luego sumamos las desigualdades)
:@ aaaa Daniel, ya habia resuelto el segundo nomas k no sabia como usar el Latex!
ResponderBorrarIrving, ya puse una guia para usar $\LaTeX{}$ espero te sirva.
ResponderBorrariwal.. no se si tu solucion sea la misma...
ResponderBorrarsube la tuya.. no te enojes..
aparte... c'omo te iba a explicar latex??
ohh ia lo veo io tmb... entonces es mi compu... en este momento ando en un cyber y aki si se ve..
ResponderBorrardaniel a mi me salio haziendo lo mismo k tu jaja por eso, pero no hay bronca
ResponderBorrarCreo que estaba muy facil, salia hasta sin la util, quieren otro "jovenes avanzados"?
ResponderBorrarTercera solucion!!
ResponderBorrarPor MC-MA es cierto que:
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq \frac{a+b}{2}\]
Elevando al cuadrado de ambos lados:
\[\frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{(a+b)^2}{4}\]
Multiplicando por 2 de ambos lados y diviendo entre $(a+b)$ de ambos lados temeos que:
\[\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}\]
Que es lo que queriamos demostrar.
en el de novicios el resultado es 3?
ResponderBorrarNo, no es 3, es mejor poner la solucion que el resultado, nos interesa mas como llegaste a ese resultado que el hecho de que si esta bien o esta mal
ResponderBorrara²+b² = 4ab
ResponderBorrara²-2b+b² = 2ab
(a-b)²= 2ab
a²+2b+b²= 6ab
(a+b)²= 6ab
a+b = raíz(6ab)
a-b = raíz(2ab)
(a+b)/(a-b) = [raiz(6)*raiz(a)*raiz(b)]/[raiz(2)*raiz(a)*raiz(b)]
(a+b)/(a-b) = raiz(6)/raiz(2)
eso si esta bien?
Si eso esta bien, ya vi que hiciste mal, resulta que $$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$$
ResponderBorrarYa que si a y b son reales positivos entonces:
ResponderBorrar\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\]