lunes, 4 de octubre de 2010
Problema del día (4 Oct)
Diez niños se sientan en $10$ asientos en hilera. Todos se levantan y vuelven a sentarse usando los $10$ asientos, cada uno sentándose en el asiento en que estaba antes o en un asiento enseguida del que estaba anteriormente. ¿De cuantas maneras pueden volverse a sentar dichos niños?
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Supongo que es nomas una forma a menos que cuando se sientan al lado del que estaba, el que esta sentado al final o al principio, dependiendo del caso, no tendra donde sentarse o se siente al principio o al final respectivamente
ResponderBorrarHay mucho más de una manera de sentarse. Nota que asiento de enseguida puede ser a la derecha o a la izquierda.
ResponderBorrarque todos se queden en el mismo lugar cuenta como una manera?
ResponderBorraralberto yo creo que si por que es uno de los movimientos permitidos en el problema no?
ResponderBorrarquedarse o moverse
Si cuenta. Alonso da una buena razón por la que cuenta.
ResponderBorrarhttp://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=009.jpg
ResponderBorrar$saludos$
me salio hace como 2 horas pero no pude subirlo porque me fui, mi solucion:
ResponderBorrarVemos la hilera como si estuvieran sentados de izquierda a derecha. Llamamos el niño de hasta la izquierda A, el que esta a su derecha B, y asi sucesivamente hasta llegar al decimo niño. Las sillas tambien las llamamos 1, 2, 3, ..., 10.
Vemos el niño A, tiene las opciones de sentarse en la silla 1 o 2. Vemos los dos casos, si se sienta en la 1, el niño B tiene dos opciones, y se le presentan los mismos casos que al A. Si se sienta el A en la silla 2, la silla 1 solo puede ser ocupada por B. Y para el C se presentan los mismos casos que para A.
Con esto nos damos cuenta que cuando vuelven a sentarse, hay dos movimientos posibles, que se queden en el mismo lugar, o que dos se cambien de lugar entre ellos.
Para contar cuantas veces podemos hacer esto, vemos cuantas parejas hay: 0, ... ,5
Tomamos a las parejas y personas como un solo grupo, entonces tenemos que decidir cuales de esos grupos son parejas y cuales son una persona individual.
0- Para cuando hay 0 parejas hay 10 grupos, asi que hay $\binom{10}{0} = 1$ maneras
1- Hay 9 grupos: $\binom{9}{1} = 9$
2- 8 grupos: $\binom{8}{2} = 28$
3- $\binom{7}{3} = 35$
4- $\binom{6}{4} = 15$
5- $\binom{5}{5} = 1$
Y sumamos todo eso: $1+9+28+35+15+1=89$
http://i785.photobucket.com/albums/yy135/bryanfelixg/sc013bf3db.jpg
ResponderBorrarSe me hace interesante que los tres hicieron la misma solución. Muy bien.
ResponderBorrarAhora, que harían si en lugar de 10 niños, serían 2010?
la respuestas es la suma de todos los factoriales desde 1005 hasta 2010 cada uno uno multiplicado por, por ejemplo el 2010! seria multiplicado por los factoriales del 1 hasta el 2009 repitiendo el 1005 y en el 2009! seria los factoriales desde 1 hasta el 2008 repitiendo el 1005 y todavia por el 2010! y asi sucesivamente, todo eso entre los factoriales desde 0 hasta el 2010 repitiendo el 1005
ResponderBorrarel numero es muy grande que no lo he calculado todavia
emm pues
ResponderBorrar$ \binom{2010}{0} + \binom{2009}{1} + \dots + \binom{1006}{1004} + \binom{1005}{1005}$
y para eso no tengo idea si haya formula...
pues con los mismos argumentos del anterior solo que con el 2010
ResponderBorrar$ \binom{2010}{0} + \binom{2009}{1} + \cdots + \binom{1005}{1005} $
para n par seria
$ \binom{n}{0} + \binom{n-1}{1} + \cdots + \binom{n/2}{n/2} $
supongo no?
yo digo que supones bien luis :P
ResponderBorrary de una vez para 2n+1 :
ResponderBorrar$ \binom{2n+1}{0} + \binom{2n}{1} + \dots + \binom{n+1}{n} $
geneal!! XD
ResponderBorrarveamos primero que los cambios tienen que ser en parejas, para demostrarlo usamos contradicción.
ResponderBorrarsi numeramos los niños como a1, a2,...an. y las sillas b1,b2,..,bn. ai-bj denota que el niño ai se sentó en la silla en la posición j.
supongamos que existe cierto ai-b(i+1) y que a(i+1)-b(i+2) como la silla bi está vacía y solo queda una persona que la pueda ocupar a(i-1)-bi queda determinada. pero si nos damos cuenta volvemos a tener la condición inicial pero recorrida una posición hacia la izquierda (suponiendo que la numeración es de izq a derecha) este proceso se va a repetir hasta que lleguemos a a1-b2. pero en este momento no tendremos nadie a quien colocar en b1, por lo tanto quedará un lugar vació lo que no puede pasar por que TODOS se sientas no debe haber lugares vacíos (suponiendo que 2 personas no se pueden sentar en la misma silla)
por lo tanto hay contradicción, los cambios son en parejas.
el problema cambia en ver de cuantas maneras podemos escoger estas parejas, ya sea 0,1,2,..x parejas.
supongamos que para n personas ya tenemos definido de cuantas maneras podemos escoger estas parejas, si agregamos una persona mas a(n+1) tenemos dos casos
caso1) no escogemos a a(n+1): en este caso la manera en que se pueden sentar el resto de las personas es igual que cuando había n
caso2) escogemos a a(n+1): si esto sucede su pareja an queda determinada por lo tanto solo quedan disponibles de escoger o no escoger de a(n-1) para abajo, por lo tanto es le número de casos cuando tenemos n-1
esto nos dice f(n+1)=f(n) + f(n-1) [fibonacci!!]
determinamos f(1)=1 y f(2)=2 y obtenemos que la forma para sentar a n personas es de fibonnacci(n+1), especificamente para el 2010 es fibonacci 11= 89
Muy bien Karina! :-)
ResponderBorrarRecuerdan que justo el sabado salió el comentario de Fibonacci y dijimos que muchas cosas en la naturaleza se comportan en forma parecida a la secuencia, tal como el número de hojas que crecen alrededor de un tallo o las escamas o cositas puntiagudas de las piñas.
Solo como brevario cultural, oficialmente la secuencia inicia en $0$, por lo que $f_0=0$ y $f_1=1$.
Fibonacci es por "FIlius Bonacci" o hijo de Bonacci, tal como en español HernanDEZ, signifca hijo de Hernan... FernanDEZ hijo de Fernando o en sueco Johansson hijo de Johan, Nilsson hijo de Nils, Andersson hijo de Andrew y como.... bueno creo que ya tienen la idea.
Saludos y suerte a todos en los selectivos finales!
Que interesante Omar, en fin aquí esta mi solución
ResponderBorrar↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Para el caso de 10 niños: http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20041010/?action=view¤t=ProblemaBlog04-10-10Parte1.jpg
Para el caso de 2010 niños: http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20041010/?action=view¤t=ProblemaBlog04-10-10Parte1.jpg#!oZZ2QQcurrentZZhttp%3A%2F%2Fs818.photobucket.com%2Falbums%2Fzz106%2FGrinver%2FProblema%2520Blog%2520041010%2F%3Faction%3Dview%26current%3DProblemaBlog04-06-10Parte2.jpg%26
http://picasaweb.google.com/lh/photo/Lf8QCEgNfkN-qdsQW9a2qmzY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
ResponderBorrarhttp://picasaweb.google.com/lh/photo/1WcUTv3mdFj87LRq1lMbamzY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
http://picasaweb.google.com/lh/photo/vA8Ab3EmGVkvD--YEvJ53WzY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
no esta explicado, pero basicamente escogia parejas de la izqierda y veia cuantas parejas podian cambiar, pero solo parejas de la derecha
samantha
Cuando pregunte la de 2010, era para ver si se daban cuenta que era la sucesión de Fibonacci.
ResponderBorrarsii de hecho el entrenamiento pasado les dije como era la sucesión de Fibonacci en el triángulo de pascal.
ResponderBorrarOmar, entonces en Italia los apellidos empezando con Fi son super comunes? Supongo que con italianos no tiene sentido dividir a grupos en apellidos antes de M y apellidos después de M. Deben difivir en apellidos antes de Fim y apellidos después de Fim.
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