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miércoles, 6 de octubre de 2010
Problema del Día (6 de Oct.)
Encontrar todos los enteros positivos n para los cuales −54+55+5n es un cuadrado perfecto.
Viendolo modulo 3 tenemos que lo que nos piden es congruente a 1+2n. 2n es congruente solo a 2 o 1, los posibles valores de 1+2n son 0 y 2, como los cuadrados modulo 3 son congruentes a 0 y 1, la segunda opción queda descartada. De ahí sacamos que n es impar.
primeramente revisamos los casos n=1 n=3 y no nos da cuadrado, solo nos quedan los casos n>4
luego podemos factorizar de la siguiente manera
-5^4-5^5-5^n=5^4(-1+5+5^n^-^4) (llamemos a n-4 como x)
como 54 ya es un cuadrado perfecto solo necesitamos q 4+5x sea cuadrado
tenemos 22+5x=m2 <=> 5x=m2−22 <=> 5x=(m+2)(m−2) notemos que la diferencia entre m+2 y m-2 es de 4, pero como 5x es una potencia de 5 ambos factores deben ser potencia de 5, y esto solo pasa cuando tenemos 1 y 5 . por lo tanto m es igual a 3 y x=1, por lo tanto n=5 es el único que cumple.
como la parte de la izquierda es una potencia de 5, x+50 y x−50 son potencias de 5 tambien
La diferencia de esos dos numeros es de 100, asi que para sacar esas potencias vemos: 5x−5y=100 5y(5x−y−1)=100
Como 5x−y−1 es una potencia de 5 menos uno, no va a ser multiplo de 5, asi que todos los factores 5 en 100 van a salir de 5y. Como 100=52×22 concluimos que 5y=25
Asi que x−50=5y=25 y con esto vemos que x+50=25+100=125
resolvemos la ecuacion hasta 5n=r2−2500 y usamos logaritmnos para log5(r2−2500)=n separamos por binomios conjuados a log5(r+50)+log5(r−50)=n y como no hay logaritmos exactos a menos que sean potencia de la base y entre los resultados hay una diferencia de 100 y la unica diferencia de 100 entre potencias de 5 es entre 125 y 25 entoces r=75 y si se sutituye es log5(125)+log5(25)=3+2=n
Viendolo modulo 3 tenemos que lo que nos piden es congruente a 1+2n. 2n es congruente solo a 2 o 1, los posibles valores de 1+2n son 0 y 2, como los cuadrados modulo 3 son congruentes a 0 y 1, la segunda opción queda descartada. De ahí sacamos que n es impar.
ResponderBorrarprimeramente revisamos los casos n=1 n=3 y no nos da cuadrado, solo nos quedan los casos n>4
luego podemos factorizar de la siguiente manera
-5^4-5^5-5^n=5^4(-1+5+5^n^-^4) (llamemos a n-4 como x)
como 54 ya es un cuadrado perfecto solo necesitamos q 4+5x sea cuadrado
tenemos 22+5x=m2 <=> 5x=m2−22
<=> 5x=(m+2)(m−2) notemos que la diferencia entre m+2 y m-2 es de 4, pero como 5x es una potencia de 5 ambos factores deben ser potencia de 5, y esto solo pasa cuando tenemos 1 y 5 . por lo tanto m es igual a 3 y x=1, por lo tanto n=5 es el único que cumple.
muy bien, karina.
ResponderBorrar55−54=2500
ResponderBorrarentonces:
5n+2500=x2
5n=x2−2500
5n=(x+50)(x−50)
como la parte de la izquierda es una potencia de 5, x+50 y x−50 son potencias de 5 tambien
La diferencia de esos dos numeros es de 100, asi que para sacar esas potencias vemos:
5x−5y=100
5y(5x−y−1)=100
Como 5x−y−1 es una potencia de 5 menos uno, no va a ser multiplo de 5, asi que todos los factores 5 en 100 van a salir de 5y.
Como 100=52×22 concluimos que 5y=25
Asi que x−50=5y=25 y con esto vemos que x+50=25+100=125
Por lo tanto
5n=25×125
5n=52×53
Asi que n=5 y es el unico que cumple :)
Aqui esta mi solución
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20061010/?action=view¤t=ProblemaBlog06-10-10.jpg
resolvemos la ecuacion hasta 5n=r2−2500 y usamos logaritmnos para log5(r2−2500)=n separamos por binomios conjuados a log5(r+50)+log5(r−50)=n y como no hay logaritmos exactos a menos que sean potencia de la base y entre los resultados hay una diferencia de 100 y la unica diferencia de 100 entre potencias de 5 es entre 125 y 25 entoces r=75 y si se sutituye es log5(125)+log5(25)=3+2=n
ResponderBorrar55−54+5n=a2
ResponderBorrarfactorizamos 54
y nos queda 54(4+5m)=a2 donde m=n−4
54 ya es un cuadrado, nos falta que
4+5m=b2
vemos que la ecuacion es igual a
5m=(b+2)(b−2)
b+2 y b−2 deben de ser potencias de 5
distintas y la unica b que cumple es b=3
por lo que m=1 y n=5.