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miércoles, 6 de octubre de 2010
Problema del Día (6 de Oct.)
Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales $-5^4+5^5+5^n$ es un cuadrado perfecto.
Viendolo modulo 3 tenemos que lo que nos piden es congruente a $1+2^n$. $2^n$ es congruente solo a 2 o 1, los posibles valores de $1+2^n$ son 0 y 2, como los cuadrados modulo 3 son congruentes a 0 y 1, la segunda opción queda descartada. De ahí sacamos que n es impar.
primeramente revisamos los casos n=1 n=3 y no nos da cuadrado, solo nos quedan los casos n>4
luego podemos factorizar de la siguiente manera
$-5^4-5^5-5^n=5^4(-1+5+5^n^-^4)$ (llamemos a n-4 como x)
como $5^4$ ya es un cuadrado perfecto solo necesitamos q $4+5^x$ sea cuadrado
tenemos $2^2+5^x=m^2$ <=> $5^x=m^2-2^2$ <=> $5^x=(m+2)(m-2)$ notemos que la diferencia entre m+2 y m-2 es de 4, pero como $5^x$ es una potencia de 5 ambos factores deben ser potencia de 5, y esto solo pasa cuando tenemos 1 y 5 . por lo tanto m es igual a 3 y x=1, por lo tanto n=5 es el único que cumple.
como la parte de la izquierda es una potencia de 5, $x+50$ y $x-50$ son potencias de 5 tambien
La diferencia de esos dos numeros es de 100, asi que para sacar esas potencias vemos: $5^x - 5^y = 100$ $5^y (5^{x-y} - 1) = 100$
Como $5^{x-y} - 1$ es una potencia de 5 menos uno, no va a ser multiplo de 5, asi que todos los factores 5 en 100 van a salir de $5^y$. Como $100= 5^2 \times 2^2$ concluimos que $5^y = 25$
Asi que $x-50 = 5^y = 25$ y con esto vemos que $x+50 = 25+100 = 125$
Por lo tanto $5^n = 25 \times 125$ $5^n = 5^2 \times 5^3$
resolvemos la ecuacion hasta $5^n=r^2-2500$ y usamos logaritmnos para $log_5(r^2-2500)=n$ separamos por binomios conjuados a $log_5(r+50)+log_5(r-50)=n$ y como no hay logaritmos exactos a menos que sean potencia de la base y entre los resultados hay una diferencia de 100 y la unica diferencia de 100 entre potencias de 5 es entre 125 y 25 entoces $r=75$ y si se sutituye es $log_5(125)+log_5(25)=3+2=n$
Viendolo modulo 3 tenemos que lo que nos piden es congruente a $1+2^n$. $2^n$ es congruente solo a 2 o 1, los posibles valores de $1+2^n$ son 0 y 2, como los cuadrados modulo 3 son congruentes a 0 y 1, la segunda opción queda descartada. De ahí sacamos que n es impar.
ResponderBorrarprimeramente revisamos los casos n=1 n=3 y no nos da cuadrado, solo nos quedan los casos n>4
luego podemos factorizar de la siguiente manera
$-5^4-5^5-5^n=5^4(-1+5+5^n^-^4)$ (llamemos a n-4 como x)
como $5^4$ ya es un cuadrado perfecto solo necesitamos q $4+5^x$ sea cuadrado
tenemos $2^2+5^x=m^2$ <=> $5^x=m^2-2^2$
<=> $5^x=(m+2)(m-2)$ notemos que la diferencia entre m+2 y m-2 es de 4, pero como $5^x$ es una potencia de 5 ambos factores deben ser potencia de 5, y esto solo pasa cuando tenemos 1 y 5 . por lo tanto m es igual a 3 y x=1, por lo tanto n=5 es el único que cumple.
muy bien, karina.
ResponderBorrar$5^5 - 5^4 = 2500$
ResponderBorrarentonces:
$5^n + 2500 = x^2$
$5^n = x^2 - 2500$
$5^n = (x+50)(x-50)$
como la parte de la izquierda es una potencia de 5, $x+50$ y $x-50$ son potencias de 5 tambien
La diferencia de esos dos numeros es de 100, asi que para sacar esas potencias vemos:
$5^x - 5^y = 100$
$5^y (5^{x-y} - 1) = 100$
Como $5^{x-y} - 1$ es una potencia de 5 menos uno, no va a ser multiplo de 5, asi que todos los factores 5 en 100 van a salir de $5^y$.
Como $100= 5^2 \times 2^2$ concluimos que $5^y = 25$
Asi que $x-50 = 5^y = 25$ y con esto vemos que $x+50 = 25+100 = 125$
Por lo tanto
$5^n = 25 \times 125$
$5^n = 5^2 \times 5^3$
Asi que $n=5$ y es el unico que cumple :)
Aqui esta mi solución
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20061010/?action=view¤t=ProblemaBlog06-10-10.jpg
resolvemos la ecuacion hasta $5^n=r^2-2500$ y usamos logaritmnos para $log_5(r^2-2500)=n$ separamos por binomios conjuados a $log_5(r+50)+log_5(r-50)=n$ y como no hay logaritmos exactos a menos que sean potencia de la base y entre los resultados hay una diferencia de 100 y la unica diferencia de 100 entre potencias de 5 es entre 125 y 25 entoces $r=75$ y si se sutituye es $log_5(125)+log_5(25)=3+2=n$
ResponderBorrar$5^5-5^4+5^n=a^2$
ResponderBorrarfactorizamos $5^4$
y nos queda $5^4(4+5^m)=a^2$ donde $m=n-4$
$5^4$ ya es un cuadrado, nos falta que
$4+5^m=b^2$
vemos que la ecuacion es igual a
$5^m=(b+2)(b-2)$
$b+2$ y $b-2$ deben de ser potencias de $5$
distintas y la unica $b$ que cumple es $b=3$
por lo que $m=1$ y $n=5$.