Processing math: 100%

miércoles, 6 de octubre de 2010

Problema del Día (6 de Oct.)

Encontrar todos los enteros positivos n para los cuales 54+55+5n es un cuadrado perfecto.

6 comentarios:

  1. Viendolo modulo 3 tenemos que lo que nos piden es congruente a 1+2n. 2n es congruente solo a 2 o 1, los posibles valores de 1+2n son 0 y 2, como los cuadrados modulo 3 son congruentes a 0 y 1, la segunda opción queda descartada. De ahí sacamos que n es impar.

    primeramente revisamos los casos n=1 n=3 y no nos da cuadrado, solo nos quedan los casos n>4

    luego podemos factorizar de la siguiente manera

    -5^4-5^5-5^n=5^4(-1+5+5^n^-^4) (llamemos a n-4 como x)

    como 54 ya es un cuadrado perfecto solo necesitamos q 4+5x sea cuadrado

    tenemos 22+5x=m2 <=> 5x=m222
    <=> 5x=(m+2)(m2) notemos que la diferencia entre m+2 y m-2 es de 4, pero como 5x es una potencia de 5 ambos factores deben ser potencia de 5, y esto solo pasa cuando tenemos 1 y 5 . por lo tanto m es igual a 3 y x=1, por lo tanto n=5 es el único que cumple.

    ResponderBorrar
  2. 5554=2500

    entonces:
    5n+2500=x2
    5n=x22500
    5n=(x+50)(x50)

    como la parte de la izquierda es una potencia de 5, x+50 y x50 son potencias de 5 tambien

    La diferencia de esos dos numeros es de 100, asi que para sacar esas potencias vemos:
    5x5y=100
    5y(5xy1)=100

    Como 5xy1 es una potencia de 5 menos uno, no va a ser multiplo de 5, asi que todos los factores 5 en 100 van a salir de 5y.
    Como 100=52×22 concluimos que 5y=25

    Asi que x50=5y=25 y con esto vemos que x+50=25+100=125

    Por lo tanto
    5n=25×125
    5n=52×53

    Asi que n=5 y es el unico que cumple :)

    ResponderBorrar
  3. Aqui esta mi solución

    http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20061010/?action=view&current=ProblemaBlog06-10-10.jpg

    ResponderBorrar
  4. resolvemos la ecuacion hasta 5n=r22500 y usamos logaritmnos para log5(r22500)=n separamos por binomios conjuados a log5(r+50)+log5(r50)=n y como no hay logaritmos exactos a menos que sean potencia de la base y entre los resultados hay una diferencia de 100 y la unica diferencia de 100 entre potencias de 5 es entre 125 y 25 entoces r=75 y si se sutituye es log5(125)+log5(25)=3+2=n

    ResponderBorrar
  5. 5554+5n=a2

    factorizamos 54

    y nos queda 54(4+5m)=a2 donde m=n4

    54 ya es un cuadrado, nos falta que

    4+5m=b2

    vemos que la ecuacion es igual a

    5m=(b+2)(b2)

    b+2 y b2 deben de ser potencias de 5

    distintas y la unica b que cumple es b=3

    por lo que m=1 y n=5.

    ResponderBorrar