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miércoles, 31 de agosto de 2011
Problema del día. Algebra.
Muestre que para cualquier entero positivo, la parte no entera de $\sqrt{4n^{2}+n}$ es menor que $\frac{1}{4}$.
Tengo una idea, pero no estoy seguro, veré si se me ocurre otra cosa durante la tarde. Como 4n^2 tiene raíz cuadrada exacta, que es 2n, entonces el siguiente número con raíz exacta sería el cuadrado de 2n+1, que es 4n^2+4n+1. 4n^2+n es el cuadrado de un número mas menos de un cuarto de la diferencia para el siguiente numero con raíz exacta, entonces la parte decimal debería ser menor a un cuarto, pero no se como demostrar esto último.
Si comparamos la raiz de la segunda igualdad podemos notar que en el problema nos pide √(4n^2 + n) = √(4n^2 + 4n + 1 - 1 - 3n) = √{(2n+1)^2 - 1 -3n}
Llevo mas avance con ello para demostrar la parte menor a 1/4 pero aun trabajo en como plantearlo por pasos para que se pueda entender el procedimiento. Mas tarde me reporto con ello!
@Isaí: Gracias. @Luis Chacón: Vas por muy buen camino. Sigue trabajando por ahí con las cotas que hasta ahora tienes para que puedas concluir. @Santos Castillo: Tu idea es buena, por practicidad, ve que tanto te ayuda la representacion que escribiste dentro del radical para poder concluir o llegar a algo que te resuelva el problema... tu manipulacion algebraica es muy buena. Siguele intentando. @Alberto: Tu solución es correcta.
el cuadrado mas sercano a $4^2 + n$ es $4^2$ por lo tanto $\sqrt{4n^2 + 2} - 2n$ es la parte decimal de la divicion, ahora suppongamos que la afirmacion es verdadera, entonces:
el cuadrado mas sercano a $n^2 + n$ es $n^2$ por lo tanto $\sqrt{4n^2 + 2} - 2n$ es la parte decimal de la divicion, ahora suppongamos que la afirmacion es verdadera, entonces:
por MA-MG lo ultimo es verdadero y como todos los pasos son reversibles entonces $\frac{1}{4} > \sqrt{4n^2 + 2} - 2n$ es verdad y por lo tanto la parte decimal de las diviciones es menor a un cuarto
@Martin: $\sqrt{4n^2}+\sqrt{n} \not= \sqrt{4n^2+n}$, asi que no es buena idea la de sumarle $\sqrt{n}$, pero es paso clave fijarse en $\sqrt{4n^2}=2n$
@Chuy: Muy bien :), nada un detalle muuuuuy pequeño, MA-MG dice mayor o igual y no mayor estricto, asi que para que este completa tu solucion con MA-MG me tienes que decir porque no se puede dar la igualdad.
Me había quedado en demostrar que 1/4 > √(4n^2 + n) - 2n, entonces 2n + 1/4 > √(4n^2 + n), si elevamos ambos al cuadrado tenemos que 4n^2 + n + 1/16 > 4n^2 + 2n que es cierto y con eso queda demostrado.
@Luis: Muy bien :), nada mas cuidado donde dijiste $4n^2 + n + 1/16 > 4n^2 + 2n$, es $4n^2 + n + 1/16 > 4n^2 + n$, pero es obvio que a eso te referías.
Primero intente viendo que como 4n^2 si tiene raiz lo exprese como 2n+√n, y de ahi saque que √n era la parte decimal ya que 2n saldria un numero entero, y de ahi me estube buen rato tratando de demostrar que 1/4>√n, tal vez y es cierto, no lo se la verdad jeje, pero despues de analizar me di cuenta que no era lo mismo √4n^2+√n que √4n^2+n, así que me puse a buscar por otros metodos, despues vi lo que respondio santos y en cuanto vi lo de la raiz mas cercana se me bino a la mente algo y deje de leer jeje. como 4n^2 si tiene raiz exacta, entonces lo exprese como la suma de este mas un numero x siendo x>0 y x<1 √4n^2+n=2n+x 4n^2+n=(2n+x)^2 4n^2+n=4n^2+4nx+x^2 4n^2+4nx+x^2-4n^2-n=0 4nx+x^2-n=0 donde n=4nx+x^2 como nos pide demostrar que x<1/4, probemos primero que no puede ser mayor. si le asignamos a x valor de 1/4 n=4n(1/4)+(1/4)^2 n=n+1/16 y eso no tiene logica por lo que no puede ser 1/4 y tampoco puede ser más de 1/4 ya que en el caso de 4nx+x^2, 4nx tomaria un valor mayor que n, y x^2 un decimal positivo, y al juntar los 2 valores igual nos saldria un valor mayor a n, y n no puede ser igual a un valor mayor que el mismo, y menor si podria dar ya que un valor menor a 1/4, multiplicado por 4n, saldria un valor menor a n, y la suma del mismo al cuadrado podria coincidir, por lo que x<1/4
Olvide demostrar que 2n+x=√4n^2+n, como √4n^2=2n, el siguiente numero entero sería 2n+1, por lo que (2n+1)^2=4n^2+4n+1, por lo tanto, como 4n^2+n esta entre 4n^2 y 4n^2+4n+1, el resultado que buscamos sera ese 2n+x siendo x con las condiciones ya dichas, y de ahi lo demas..
Vi que $4n^2$ tiene raiz cuadrada exacta=2n y solo me falta el termino de n que seria la parte no entera y a esa incognita le voy a poner m entonces la raiz cuadrada de $4n^2+n=2n+m$ entonces:
La desigualdad MA-MG es: $\frac{a + b}{2} \gep \sqrt{ab}$ y la igualdad solo se dara cuando $a=b$, si $a = 4n$ y $b = 4n + 1$ entonces $a \not= b$ por lo que la igualdad nunca sera posible y por ende se puede escribir como $\frac{(4n) + (4n + 1)}{2} > \sqrt{4n(4n + 1)}$
$2n$ es entero. Tenemos $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$, lo que sera raíz de 1 mas una fracción. El valor mas grande que puede tener esa fracción es cuando $n=1$. Entonces el valor mas grande que puede haber en esa raíz es $1 + \frac{1}{4}$. A lo que, resolviendo la raíz, la parte no entera del resultado de ésta es menor a $\frac{1}{4}$. Por lo tanto, entre mas grande es $n$, mas pequeño es el valor de la fracción dentro de la raíz, y por ende la parte no entera de su raíz cuadrada sera aun mas pequeña que $\frac{1}{4}$.
Me di cuenta de que mi solución no queda del todo demostrada. Olvidemos el ultimo párrafo.
Tenemos $2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$. $2n$ ya es entero. Podemos decir que $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$, siempre sera igual a $1+z$, donde $z$ es igual a cualquier numero no entero positivo dependiendo el valor de $n$. Esto porque, si $\sqrt{4} = 2$ y $\sqrt{1} = 1$. $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$ esta entre estas dos raíces, y siempre sera igual a $1+z$.
Entonces sustituimos en la ecuación, $2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$ = $2n (1+z) = 2n+2nz$. $2nz$ sera nuestra parte no entera. Entonces, $2nz$ tiene que ser menor a $\frac{1}{4}$. Realizamos: $2nz < \frac{1}{4}$ $z < \frac{1}{8n}$ $z$ siempre sera menor a $\frac{1}{8n}$, y $\frac{1}{8n} < \frac{1}{4}$ siempre que n es entero positivo.
Primero vi que 4n^2+n no tenia raiz cuadrada perfecta, asi que acomplete el trinomio cuadrado perfecto (4n^2+4n+1).Despues lo factorize para seber cuales serian sun terminos iniciales, que eran 2n+1
entonses la raiz cuadrada de 4n^2+n tiene que ser igual 2n+x sabiendo que x tiene que ser un numero entero positivo (x>0), pero menor a 1 porque sino se pasaria de su cuadrado perfecto: √4n^2+n=2n+x Despues desarrollamos la ecuacion: 4n^2+n=(2n+x)^2 4n^2+n=4n^2+4nx+x^2 0=4nx+x^2-n
como tenemos que demostrar que tiene que ser ≤ 1/4
si fuera mayor quedaria: 0=4n(1/4)+(1/4)^2-n n=n+1/16
como la igualdad no se cumple x tiene que ser menor a 1/4
@Antonio Lopez Muy bien, pero te salteaste un paso muy importante, que de seguro si lo viste para llegar a esa conclusión pero se te olvido escribir. Se te olvido mencionar que $2n \textless \sqrt{4n^2+n} \textless 2n+1$, ya que si solo te fijas en que es mayor a 2n entonces la parte entera pudiera ser mayor a 2n. De todos modos tienes carita feliz :)
@Alejandro Reyes: Tu aproximación es bastante interesante, solamente que el ultimo paso no es correcto. Tienes por demostrar que la parte decimal $2nz \ textless 1/4$ y por demostrar $z<1/8n$. Lo que sigue de que $z \textless 1/8n \textless 1/4$ es algo no demostrado aun.
$(2n)^2 = 4n^2$ y, $(2n + \frac{1}{4})^2 = 4n^2 + n + \frac{1}{16}\$ Al saber esto es posible decir que la raíz cuadrada de $4n^2 + n$ cumplirá con lo siguiente: $(2n)^2 < \sqrt{4n^2 + n}\ < (2n + \frac{1}{4})^2$ Entonces, la raíz cuadrada de $4n^2 + n$ será mayor a $(2n)^2$ y menor a $(2n + \frac{1}{4})^2$. Con esto se muestra que para cualquier entero positivo, se cumple la característica indicada.
Hay un error en una oración, he aquí la correción:
Entonces, la raíz cuadrada de $4n^2 + n$ será mayor a $2n$ y menor a $2n + \frac{1}{4}$. Por lo tanto su parte NO entera sera menor a $\frac{1}{4}$. Con esto se muestra que para cualquier entero positivo, se cumple la característica indicada.
Aclaración porque se que va a haber preguntas:
ResponderBorrarLa parte no entera de un numero es la parte decimal.
Tengo una idea, pero no estoy seguro, veré si se me ocurre otra cosa durante la tarde.
ResponderBorrarComo 4n^2 tiene raíz cuadrada exacta, que es 2n, entonces el siguiente número con raíz exacta sería el cuadrado de 2n+1, que es 4n^2+4n+1. 4n^2+n es el cuadrado de un número mas menos de un cuarto de la diferencia para el siguiente numero con raíz exacta, entonces la parte decimal debería ser menor a un cuarto, pero no se como demostrar esto último.
Primero 4n^2 tiene raíz cuadrada exacta (2n), en la serie, el sig. numero con raiz exacta es: (2n + 1)^2, y asi sucesivamente...
ResponderBorrar(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 ... Entonces
√{(2n+1)^2} = √(4n^2 + 4n + 1)
Si comparamos la raiz de la segunda igualdad podemos notar que en el problema nos pide
√(4n^2 + n) = √(4n^2 + 4n + 1 - 1 - 3n) = √{(2n+1)^2 - 1 -3n}
Llevo mas avance con ello para demostrar la parte menor a 1/4 pero aun trabajo en como plantearlo por pasos para que se pueda entender el procedimiento. Mas tarde me reporto con ello!
Vemos que
ResponderBorrar$(2n)^2=4n^2$ y $(2n+1)^2=4n^2+4n+1$
Como $4n^2+n$ esta entre esos dos cuadrados perfectos, su raiz cuadrada va a estar entre $2n$ y $2n+1$.
$\sqrt{4n^{2}+n} = 2n+x$ Donde $0 < x < 1$
$4n^2 +n = (2n+x)^2$
$4n^2 +n = 4n^2 + 4nx + x^2$
$n = 4nx + x^2$
$0 = x^2 + 4nx - n$
Suponemos que $x \geq \frac{1}{4}$ entonces
$0 = x^2 + 4nx - n \geq (\frac{1}{4})^2 + 4n \cdot \frac{1}{4} - n = \frac{1}{16} +n-n = \frac{1}{16}$
Y $0 \geq \frac{1}{16}$ es una contradiccion, entonces nuestra suposicion no es cierta, y $x < \frac{1}{4}$
@Isaí: Gracias.
ResponderBorrar@Luis Chacón: Vas por muy buen camino. Sigue trabajando por ahí con las cotas que hasta ahora tienes para que puedas concluir.
@Santos Castillo: Tu idea es buena, por practicidad, ve que tanto te ayuda la representacion que escribiste dentro del radical para poder concluir o llegar a algo que te resuelva el problema... tu manipulacion algebraica es muy buena. Siguele intentando.
@Alberto: Tu solución es correcta.
yo tuve una idea de como raiz cuadrada de 4n^2 es igual a 2n entonces le sumabamos la raiz cuadrada de n pero creo que no es asi seguire intentando
ResponderBorrarel cuadrado mas sercano a $4^2 + n$ es $4^2$ por lo tanto $\sqrt{4n^2 + 2} - 2n$ es la parte decimal de la divicion, ahora suppongamos que la afirmacion es verdadera, entonces:
ResponderBorrar$\frac{1}{4} > \sqrt{4n^2 + 2} - 2n$
$\frac{1}{4} + 2n > \sqrt{4n^2 + 2}$
$\1 + 8n > 4\sqrt{n(4n + 1)}$
$\frac{1 + 8n}{2} > 2\sqrt{n(4n + 1)}$
$\frac{(4n) + (4n + 1)}{2} > \sqrt{4n(4n + 1)}$
por MA-MG lo ultimo es verdadero y como todos los pasos son reversibles entonces
$\frac{1}{4} > \sqrt{4n^2 + 2} - 2n$ es verdad
disculpen por los errores, ahi va corregido
ResponderBorrarel cuadrado mas sercano a $n^2 + n$ es $n^2$ por lo tanto $\sqrt{4n^2 + 2} - 2n$ es la parte decimal de la divicion, ahora suppongamos que la afirmacion es verdadera, entonces:
$\frac{1}{4} > \sqrt{4n^2 + n} - 2n$
$\frac{1}{4} + 2n > \sqrt{4n^2 + 2}$
$ 1 + 8n > 4\sqrt{n(4n + 1)}$
$\frac{1 + 8n}{2} > 2\sqrt{n(4n + 1)}$
$\frac{(4n) + (4n + 1)}{2} > \sqrt{4n(4n + 1)}$
por MA-MG lo ultimo es verdadero y como todos los pasos son reversibles entonces
$\frac{1}{4} > \sqrt{4n^2 + 2} - 2n$ es verdad y por lo tanto la parte decimal de las diviciones es menor a un cuarto
Me gusto tu solución Chuy, solo un detalle, es $\geq$ no mayor estricto.
ResponderBorrar@Martin: $\sqrt{4n^2}+\sqrt{n} \not= \sqrt{4n^2+n}$, asi que no es buena idea la de sumarle $\sqrt{n}$, pero es paso clave fijarse en $\sqrt{4n^2}=2n$
ResponderBorrar@Chuy: Muy bien :), nada un detalle muuuuuy pequeño, MA-MG dice mayor o igual y no mayor estricto, asi que para que este completa tu solucion con MA-MG me tienes que decir porque no se puede dar la igualdad.
Me había quedado en demostrar que 1/4 > √(4n^2 + n) - 2n, entonces 2n + 1/4 > √(4n^2 + n), si elevamos ambos al cuadrado tenemos que 4n^2 + n + 1/16 > 4n^2 + 2n que es cierto y con eso queda demostrado.
ResponderBorrar@Luis: Muy bien :), nada mas cuidado donde dijiste $4n^2 + n + 1/16 > 4n^2 + 2n$, es $4n^2 + n + 1/16 > 4n^2 + n$, pero es obvio que a eso te referías.
ResponderBorrarPrimero intente viendo que como 4n^2 si tiene raiz lo exprese como 2n+√n, y de ahi saque que √n era la parte decimal ya que 2n saldria un numero entero, y de ahi me estube buen rato tratando de demostrar que 1/4>√n, tal vez y es cierto, no lo se la verdad jeje, pero despues de analizar me di cuenta que no era lo mismo √4n^2+√n que √4n^2+n, así que me puse a buscar por otros metodos, despues vi lo que respondio santos y en cuanto vi lo de la raiz mas cercana se me bino a la mente algo y deje de leer jeje.
ResponderBorrarcomo 4n^2 si tiene raiz exacta, entonces lo exprese como la suma de este mas un numero x siendo x>0 y x<1
√4n^2+n=2n+x
4n^2+n=(2n+x)^2
4n^2+n=4n^2+4nx+x^2
4n^2+4nx+x^2-4n^2-n=0
4nx+x^2-n=0
donde n=4nx+x^2
como nos pide demostrar que x<1/4, probemos primero que no puede ser mayor.
si le asignamos a x valor de 1/4
n=4n(1/4)+(1/4)^2
n=n+1/16
y eso no tiene logica por lo que no puede ser 1/4
y tampoco puede ser más de 1/4 ya que en el caso de 4nx+x^2, 4nx tomaria un valor mayor que n, y x^2 un decimal positivo, y al juntar los 2 valores igual nos saldria un valor mayor a n, y n no puede ser igual a un valor mayor que el mismo, y menor si podria dar ya que un valor menor a 1/4, multiplicado por 4n, saldria un valor menor a n, y la suma del mismo al cuadrado podria coincidir, por lo que x<1/4
Olvide demostrar que 2n+x=√4n^2+n, como √4n^2=2n, el siguiente numero entero sería 2n+1, por lo que (2n+1)^2=4n^2+4n+1, por lo tanto, como 4n^2+n esta entre 4n^2 y 4n^2+4n+1, el resultado que buscamos sera ese 2n+x siendo x con las condiciones ya dichas, y de ahi lo demas..
ResponderBorrarVi que $4n^2$ tiene raiz cuadrada exacta=2n y solo me falta el termino de n que seria la parte no entera y a esa incognita le voy a poner m entonces la raiz cuadrada de $4n^2+n=2n+m$
ResponderBorrarentonces:
$4n^2$+n=$(2n+m)^2$
$4n^2+n=4n^2+4nm+m^2$
n=4nm+$m^2$
entonces como m debe ser menor a 1/4 entonces yo demostre que m no puede ser mayor o igual a 1/4 porque si esto fuera cierto
0=$4nm^2+m^2-n$ mayor o igual a 4n*1/4+1/4^2+n=n+1/4^2-n=1/4^2=1/16 y 0 no es mayor o igual a 1/16 por lo tanto m es menor a 1/4
La desigualdad MA-MG es:
ResponderBorrar$\frac{a + b}{2} \gep \sqrt{ab}$ y la igualdad solo se dara cuando $a=b$, si $a = 4n$ y $b = 4n + 1$ entonces $a \not= b$ por lo que la igualdad nunca sera posible y por ende se puede escribir como $\frac{(4n) + (4n + 1)}{2} > \sqrt{4n(4n + 1)}$
Bueno mi solución no es mas que desarrollar la ecuación hasta llegar a un punto donde podemos afirmar que la suposición es cierta.
ResponderBorrarPara no hacer la respuesta tan larga, pondré el desarrollo de la formula de forma consecutiva sin exponer explicaciones.
$\sqrt{4n^2+n} = \sqrt{n(4n+1)} = \sqrt{n} \sqrt{4n+1} = \sqrt{n} \sqrt{4(n+\frac{1}{4})} = \sqrt{n} \sqrt{4} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n+\frac{1}{4}} = 2\sqrt{n} \sqrt{n(1+\frac{1}{4n})} = 2\sqrt{n} \sqrt{n} \sqrt{1+\frac{1}{4n}} = 2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$
$2n$ es entero. Tenemos $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$, lo que sera raíz de 1 mas una fracción. El valor mas grande que puede tener esa fracción es cuando $n=1$. Entonces el valor mas grande que puede haber en esa raíz es $1 + \frac{1}{4}$. A lo que, resolviendo la raíz, la parte no entera del resultado de ésta es menor a $\frac{1}{4}$. Por lo tanto, entre mas grande es $n$, mas pequeño es el valor de la fracción dentro de la raíz, y por ende la parte no entera de su raíz cuadrada sera aun mas pequeña que $\frac{1}{4}$.
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ResponderBorrarMe di cuenta de que mi solución no queda del todo demostrada. Olvidemos el ultimo párrafo.
ResponderBorrarTenemos $2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$.
$2n$ ya es entero. Podemos decir que $\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$, siempre sera igual a $1+z$, donde $z$ es igual a cualquier numero no entero positivo dependiendo el valor de $n$. Esto porque, si $\sqrt{4} = 2$ y $\sqrt{1} = 1$.
$\sqrt{1+\frac{1}{4n}}$ esta entre estas dos raíces, y siempre sera igual a $1+z$.
Entonces sustituimos en la ecuación, $2n \sqrt{1+\frac{1}{4n}}$ = $2n (1+z) = 2n+2nz$. $2nz$ sera nuestra parte no entera. Entonces, $2nz$ tiene que ser menor a $\frac{1}{4}$.
Realizamos:
$2nz < \frac{1}{4}$
$z < \frac{1}{8n}$
$z$ siempre sera menor a $\frac{1}{8n}$, y $\frac{1}{8n} < \frac{1}{4}$ siempre que n es entero positivo.
Con esto queda resuelto el problema.
ResponderBorrarPrimero vi que 4n^2+n no tenia raiz cuadrada perfecta, asi que acomplete el trinomio cuadrado perfecto (4n^2+4n+1).Despues lo factorize para seber cuales serian sun terminos iniciales, que eran 2n+1
ResponderBorrarentonses la raiz cuadrada de 4n^2+n tiene que ser igual 2n+x sabiendo que x tiene que ser un numero entero positivo (x>0), pero menor a 1 porque sino se pasaria de su cuadrado perfecto:
√4n^2+n=2n+x
Despues desarrollamos la ecuacion:
4n^2+n=(2n+x)^2
4n^2+n=4n^2+4nx+x^2
0=4nx+x^2-n
como tenemos que demostrar que tiene que ser ≤ 1/4
si fuera mayor quedaria:
0=4n(1/4)+(1/4)^2-n
n=n+1/16
como la igualdad no se cumple x tiene que ser menor a 1/4
@Padilla :)
ResponderBorrar@Antonio Lopez Muy bien, pero te salteaste un paso muy importante, que de seguro si lo viste para llegar a esa conclusión pero se te olvido escribir. Se te olvido mencionar que $2n \textless \sqrt{4n^2+n} \textless 2n+1$, ya que si solo te fijas en que es mayor a 2n entonces la parte entera pudiera ser mayor a 2n. De todos modos tienes carita feliz :)
@Alejandro Reyes: Tu aproximación es bastante interesante, solamente que el ultimo paso no es correcto. Tienes por demostrar que la parte decimal $2nz \ textless 1/4$ y por demostrar $z<1/8n$. Lo que sigue de que $z \textless 1/8n \textless 1/4$ es algo no demostrado aun.
@Alan Salcido :)
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ResponderBorrar$(2n)^2 = 4n^2$ y,
ResponderBorrar$(2n + \frac{1}{4})^2 = 4n^2 + n + \frac{1}{16}\$
Al saber esto es posible decir que la raíz cuadrada de $4n^2 + n$ cumplirá con lo siguiente:
$(2n)^2 < \sqrt{4n^2 + n}\ < (2n + \frac{1}{4})^2$
Entonces, la raíz cuadrada de $4n^2 + n$ será mayor a $(2n)^2$ y menor a $(2n + \frac{1}{4})^2$.
Con esto se muestra que para cualquier entero positivo, se cumple la característica indicada.
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ResponderBorrarHay un error en una oración, he aquí la correción:
ResponderBorrarEntonces, la raíz cuadrada de $4n^2 + n$ será mayor a $2n$ y menor a $2n + \frac{1}{4}$. Por lo tanto su parte NO entera sera menor a $\frac{1}{4}$.
Con esto se muestra que para cualquier entero positivo, se cumple la característica indicada.
Otro pequeño error:
ResponderBorrarAl saber esto es posible decir que la raíz cuadrada de $4n^2 + n$ cumplirá con lo siguiente:
$2n < \sqrt{4n^2 + n}\ < 2n + \frac{1}{4}$