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domingo, 28 de agosto de 2011
Problema del día, Teoría de números (29 de Agosto)
Demostrar que no existe ninguna pareja de primos $p,q$ con $p$ menor a $q$, de tal manera que $p^2+pq+6q-1$ sea múltiplo de $pq$
$p^2+pq+6q-1 \equiv p^2-1 \equiv 0 \pmod{q}$ Entonces $q$ divide a $p^2-1=(p+1)(p-1)$ Como $q$ es primo tiene que dividir a uno de los dos. Si lo divide entonces es menor o igual. No puede dividir a $p-1$ porque entonces seria menor a $p$ y el problema dice que es mayor. Entonces $q$ divide a $p+1$, si es menor a eso, va a ser menor o igual a $p$, y el problema dice que es mayor. Entonces $q=p+1$, y los unicos dos primos consecutivos son 2 y 3. Sustituimos esos valores y da: $p^2+pq+6q-1=2^2+2 \times 3 +6 \times 3-1=4+6+18-1=27$ Y $pq=2 \times 3= 6$ no divide a $27$. Entonces ninguna pareja cumple.
Como "p" debe ser menor que "q", entonces analizamos que:
Si "p" = 2 (Par,primo mas chico) Entonces: p^2=par , pq=par , 6q=par y -1=impar por consiguiente p^2 + pq + 6q - 1 es impar y como esa expresion debe poder ser dividida entre "pq" que es par, y par no divide a impar... ! No puede ser dos..
Entonces "p" debe ser mayor o igual a 3 y "q" al menos 5 o mayor y dependiendo del valor que se asigne a "p" podra ser el de "q" ....
Hasta ahi voy... supongo que debe ser algo de valor el dato obtenido acerca de que el 2 no entra en las posibles parejas de primos....
Tambien contemple la posibilidad de analizar que la expresion pq|(p^2 + pq + 6q - 1) se puede representar como pq|[(p-1)(p+1) + q(p+6)] que simplemente sale de: p^2 - 1 = (p-1)(p+1) y pq + 6q = q(p+6)... Si alguien tiene una idea, o le puede servir algo de esto, me gustaria saberlo.
yo para hacerlo un poco mas fácil descarte la posibilidad de que p fuera 2 porque si p fuera 2 entonces q seria mayor o igual a 3, y como q es primo entonces q es impar. Entonces $p^2+pq+6q-1=par+par+par-1=impar y pq=par y ningún numero impar es multiplo de un numero par, por lo tanto p no es 2, eso podria facilitar un poco mas, yo use esta idea por que fue la que use para el problema del estatal que es algo parecido a este, y solo eso se me ha ocurrido
como todos hemos estado poniendo sabemos que pq divide a $p^2+pq+6q-1$= pq divide a $p^2+6q-1 y como puse en mi comentario anterior p no es 2 asi que p y q son impares y la ecuacion anterior se puede sustituir como: impar divide a impar+par-1=par, y un numero impar no divide a par a menos que sea impar*par pero pq es igual a impar por impar. Por lo tanto no existen parejas de primos p y q
tenemos los numeros divisores de cada termino p^2/p/p^2/1 pq/p/q/pq/1 6q/6q/6/q/2/1 -1/-1/1
tenemos que todos los terminos tienen el 1 en comun entonces p^2+pq+6q-1/p^2+pq+6q-1/1 como solo tiene dos divisores, si mismo y uno, es primo y como es primo pq no lo divide
tenemos que si $pq | p^2 + pq + 6q - 1$ entonces tiene q cumplir con que $p | p^2 + pq + 6q - 1$ y $q | p^2 + pq + 6q - 1$ entonces $q | p^2 - 1$ ya que $pq y 6q $ tienen un factor q $q | (p - 1)(p + 1)$ entonces tiene q existir una $k$ tal q $ qk = (p - 1)(p + 1) $ $q$ al ser un primo mayor q $p$ no puede ser $1, p-1, (p+1)(p-1)$ por lo tanto $q = p+1$ los unicos primos consecutivos conosidos son 2 y 3 ahora $p | p^2 + pq + 6q - 1$ entonces $p | 6q - 1$ si remplazamos los valores anteriormente encontramos tenemos que $2 | 6(3) - 1 ! $ aqui hay una contradiccion como 2 no divide a 17 entonces no existe una $p$ tal que $pq | p^2 + pq + 6q - 1$ y por ende no existe la pareja de primos buscada
Espero no les moleste que corrija sus errores jeje.
@Antonio: Tu argumento no es valido, un contraejemplo es que 15 divide a 30, y 15 es producto de dos primos impares, 3 y 5.
@martin: Igual que con antonio se puede encontrar contraejemplo. Si tienes 9+11+14=34, 9, 11 y 14 solo tienen el 1 como divisor en comun, pero 34 no es primo.
Bueno, tenemos que p y q son primos, (p,q)=1, p<q. Si q es par entonces como p<q y q=2 p seria menor a 2, pero no existe un primo menor a 2. Luego intente por paridad: Si p es par y q es impar, entonces tenemos que 2^2+2q+6q-1 su suma nos da un numero impar, pero pq es par, entonces no se puede porque par no divide a impar. Entonces p es igual o mayor a 3 y q es igual o mayor a 5 para que se cumpla p<q y p,q son primos. Si p y q son impares entonces p^2+pq+6q-1= a un numero impar y pq= a un numero impar, entonces si cumple... Ahora, vi los divisores de p^2, pq, 6q y -1 que son: p^2,p y 1...pq, p, q y 1...6, q y 1....1 y -1 respectivamente. Entonces tenemos un factor comun 1. Ahora, tome todos los divisores de cada uno, y trate de factorizarlos...pero esto no lo consegui, por lo tanto llegue a la conclusion que los divisores de p^2+pq+6q-1 son este mismo numero y 1, por lo tanto, pq no divide a este numero, y por consiguiente este numero no es un multiplo de pq.
Podemos analizar el problema por casos. Suponiendo que $p$ y $q$, son $pares$ o $impares$.
En un principio podemos simplificar un poco la ecuación $p^2+pq+6q-1$, como $p^2+6q-1$. Esto porque sabemos que $pq$ divide a si mismo.
Podemos eliminar directamente el caso en el que, $p$ y $q$ ambos son $pares$. Porque solamente existe un primo $par$, y sabemos que $p$ menor a $q$.
Después tenemos el caso, donde existe un $par$ y un $impar$. El par seria $p$ o sea $2$, y $q$ algún primo impar. Teniendo en cuenta esto, al analizar la ecuación $p^2+6q-1$, $p^2$ es igual a $par$, $6q$ es igual a $par$ y con el $-1$ la ecuación daría un numero $impar$. Dado que en este caso, $pq$ es igual a $par$, también podemos eliminar esta opción.
Entonces solo queda la opción donde,$p$ y $q$ ambos son $impares$. Aquí fue donde me quede.
Compartiendo opiniones puedo observar que aplicando dos o tres pasos mas entre ellos haciendo $(p+1)(p-1) \equiv 0 (mod q)$, el problema queda resuelto. Porque teniendo en cuenta que $p$ menor que $q$, habría que encontrar dos números primos $impares$ consecutivos para tener solución a la ecuación.
"q" no puede ser par pues el único primo par es 2 y no hay primos menores a éste. Si p es par entonces 2q|4+2q+6q-1, considerando la paridad seria par+par+par-impar=impar y un par no divide a un impar, por tanto ambos primos son impares. Si p,q son impares entonces p^2+pq+6q-1 es impar (impar+impar+par-impar=impar). Hasta aqui me habia quedado cuando lei otras respuestas, entonces trate de encontrar otra forma pero no creo que este bien. Si pq divide a p^2+pq+6q-1 entonces hay un k impar tal que pqk=p^2+pq+6q-1. Tenemos que k=(p^2+pq+6q-1)/pq=1+(p^2+6q-1)/pq=1+(p/q)+(6/p)-(1/pq). Como p<q, p/q es menor a 1; 6/p dará 2 si p=3, 6/5 si p=5 o algun decimal menor a 1; y 1/pq dará una fracción mínima (máximo 1/15). Como k es impar y k=1+(p/q)+(6/p)-(1/pq) entonces (p/q)+(6/p)-(1/pq) es par (2 porque p/q y 1/pq son menores a 1 y 6/p es menor a 2). Entre mayor sean p,q, (p/q)+(6/p)-(1/pq) sera menor y mas se alejará de 2.
bueno, el problema dice que p^2+pq+6p-1 debe de poder ser divisible entre pq, lo que no se puede ya que: p^2=numero par pxq: {numero par {numero impar dependiendo de los valores de p y q, nos damos cuenta que la multiplicacion de pxq, puede ser par o impar, y que al realizar toda la ecuacion sin restarle el -1 (p^2+pq+6q) nos da par o impar al igual que pq, por lo que si pq es impar entonces (p^2+pq+6q va a ser impar tambien) pero al restarle el -1 va a quedar par/impar por lo que sabemos q no se pueden dividir, si por el contrario pq es par, entonces p^2+pq+6qtambien lo sera, pero al restarle el -1 se covertira en impar porlo que no se podran dividir, por lo que podemos notar que esta resuelto (creo), y ps si esta mal, me avisan y aver si me pueden ayudar a hacerlo bien.... no pude publicar antes porque estaba en la escuela y acabo de llegar, entonces ps no tuve chansa, si no publico en algun problema, sera por que en la escuela me dejan mucha tarea, sorry por no publicar en los otros problemas :)... ahh y si no sale mi nombre, soy Missael
si pq/p^2+pq+6q-1 quiere decir que el resultado sera un numero n
de la parte de la ecuacion p^2si pq/p^2+pq+6q-1 quiere decir que el resultado sera un numero n
de la parte de la ecuacion p^2+pq+6q-1 podemos quitar pq, ya que siempre pq/pq lo unico que pasaria es que el resultado va a ser una vez pq mayor
entonses solo tendriamos que encontrar que numeros pq/p^2+6q-1
Sabemos que pq no puede divir a p^2 porque son numeros primos asi que sus unicos divisores serian ellos mismos y como p es diferente a q no pueden ser divisibles, ademas q es mayr a p por lo que siempre el prodcto de pq sera mayor a p^2
Tambien sabemos que pq no es divide a 6q ya que para que eso sucediera p tendria que ser 6, pero como 6 no es numero primo no se puede
Como 6 puede descomponerse en 3*2 entonses pq tendrian que ser 2 ó 3 porque son los unicos numeros primos que dividen a 6, como q es mayor a p, q tendria que ser 3 y p ser 2
de acuerdo a la idea anterior pq/6q mas sin embargo a p^2 le quitariamos el -1 por lo que seguiria siendo indivisible entre pq
Espero y sirva de algo, de no ser asi o no le entienden comuniquenmelo
Realmente le busque bastante en la mañana, y ahorita en la tarde, llegue a varios puntos que al parecer no me llevaban a algo significativo, hasta que llegue a que pq│p^2+6q-1, debido a que iguale que p^2+pq+6q-1=(pq)n, entonces despeje eso y me quedo que p^2+6q-1=(pq)n-pq, y de ahi, lo que los demas han sacado que pq│p^2+6q-1, y con la eliminacion de n-1, despues de analizarlo varias veces cuando ya casi me daba por vencido, me puse a buscarle por el lado de que p│p^2+6q-1, y de ahi me trabe, y fue lo mas cerca que creo que estube de llegar al resultado, pero ya viendo los comentarios anteriores me guiaron a terminar.
@Santos Castillo: Lo que llevas está bien, sigue intentando, si gustas puedes ver las ideas de los demás y con ellas avanzar más el problema
@Antonio López: Sabemos que nunca un número par divide a uno impar, sin embargo, un número impar puede dividir tanto a un par (con algún factor primo impar, es decir que no sea potencia de 2) como a un número impar 3|9*5
@Martín Contreras y @Ricardo: Cuando ciertos números no tienen divisores entre sí (no tienen factores en común), se dice que son “primos relativos”, con lo que sabes que ninguno divide al otro (a menos que uno de ellos sea 1), sin embargo esto no implica que la suma de ellos sea primo, como lo mencionó Alberto en sus correcciones
@Alejandro Reyes: Está bien lo que hiciste y que tomes ideas de los demás, es bueno que aun así sigas intentando lo más que se pueda el problema
@Luis Chacón: Tu solución está bien, muy ingeniosa aunque le falta poquita formalidad, me parece que con hacer los casos p=3 y p=5 (que son los que hacen a 6/p mayor a 1) queda claro que la suma de 2 números menores a 1, más uno negativo nunca será 2. Y antes de eso, decir que a lo más p/q + 6/p es 3, y como el único número par positivo entre 0 y 3 es 2, por eso se debe dar la igualdad. Felicidades por buscar 2da solución, doble carita feliz por solución creativa xD :) :)
@Missael H : Es correcto decir que par no divide a impar, pero un impar sí puede dividir a un par 3|6
@Alan Salcido: n puede no dividir a cada término de una suma por separado y aún así dividir al resultado de la suma 6|8+4
@Padilla: Sigue intentando el problema, si ya lo terminaste y la solución es igual a la de los demás intenta escribirla de cualquier forma, te ayuda a saber explicarte mejor y a dar argumentos.
Muy bien a todos por su participación, sigan así n_n
@Leonardo: Bien, aunque creo que puedes ser un poco más "rollero" jaja (se que no es la palabra jeje) es decir, explicar mejor cada paso y sea claro tanto para ti, como para los que leen la solución el porque se puede hacer cada cosa, por ejemplo, porque el que (p-1)(p+1) congruente a 0 mod q implica que q divide a alguno de los 2 factores, lo que solo se asegura cuando q es primo y ese tipo de detalles... igual tienes carita feliz :)
Si p²+pq+6q-1 es múltiplo de pq, entonces pq|p²+pq+6q-1 Como pq|pq, entonces pq divide a la diferencia de p²+pq+6q-1 y pq, que es p²+6q-1. Como pq|p²+6q-1, entonces 6q es congruente con 1-p² mod pq, lo que quiere decir que hay una k tal que 6q=k(pq)-p²+1, ahora, si tomamos en cuenta que 6q es par, y pq, p², 1 son impares entonces nos quedaría así: par=k(impar)-impar+impar=k(impar)+par, lo cual sólo cumple para una k impar. Eso es lo que llevo al momento, no se si me llevará a algun lado pero ya es muy noche, mañana continuaré...
A partir de $p^2 + pq + 6q -1$. \$ p^2 - 1 \equiv 0 \pmod{q} \$ \$(p+1) (p-1) \equiv 0 \pmod{q} \$ Al ser $q$ un numero primo, para que se cumpla lo anterior, $q$ debe dividir o a $p+1$ o $p-1$. Si $q$ no dividiera a alguno de estos dos, en la factorización en primos de $(p+1)*(p-1)$ no se encontraría $q$ lo que nos llevaría a una contradicción. Sabiendo que $p<q$, la única opción es que $q$ divida a $p+1$, entonces, $p$ y $q$ son números primos consecutivos, $p$ es igual a $2$ y $q$ es a $3$. Siendo así, por paridad, $p^2 + pq + 6q -1$ tendrá un valor $impar$, y $pq$ debe dividir a esto, pero éste tiene un valor $par$ lo que nos lleva a una contradicción. De esta manera se demuestra que no existe ninguna pareja de primos, que cumpla con las características dadas.
$p^2+pq+6q-1 \equiv p^2-1 \equiv 0 \pmod{q}$
ResponderBorrarEntonces $q$ divide a $p^2-1=(p+1)(p-1)$
Como $q$ es primo tiene que dividir a uno de los dos. Si lo divide entonces es menor o igual. No puede dividir a $p-1$ porque entonces seria menor a $p$ y el problema dice que es mayor.
Entonces $q$ divide a $p+1$, si es menor a eso, va a ser menor o igual a $p$, y el problema dice que es mayor.
Entonces $q=p+1$, y los unicos dos primos consecutivos son 2 y 3. Sustituimos esos valores y da:
$p^2+pq+6q-1=2^2+2 \times 3 +6 \times 3-1=4+6+18-1=27$
Y $pq=2 \times 3= 6$ no divide a $27$.
Entonces ninguna pareja cumple.
si $ pq | p^2 + pq + 6q - 1 $ entonces
ResponderBorrar$ pq | p^2 + 6q - 1 $
$ 6q \equiv 1 - p^2 \pmod{pq}$
$ 6q \equiv (1 - p)(1 + p)\pmod{pq}$
pero de ahi ya no se me ocurrio que hacer, le seguire intentoando, que opinan?
Como "p" debe ser menor que "q", entonces analizamos que:
ResponderBorrarSi "p" = 2 (Par,primo mas chico)
Entonces: p^2=par , pq=par , 6q=par y -1=impar
por consiguiente p^2 + pq + 6q - 1 es impar y como esa expresion debe poder ser dividida entre "pq" que es par, y par no divide a impar... !
No puede ser dos..
Entonces "p" debe ser mayor o igual a 3 y "q" al menos 5 o mayor y dependiendo del valor que se asigne a "p" podra ser el de "q" ....
Hasta ahi voy... supongo que debe ser algo de valor el dato obtenido acerca de que el 2 no entra en las posibles parejas de primos....
Tambien contemple la posibilidad de analizar que la expresion pq|(p^2 + pq + 6q - 1) se puede representar como pq|[(p-1)(p+1) + q(p+6)] que simplemente sale de: p^2 - 1 = (p-1)(p+1) y pq + 6q = q(p+6)... Si alguien tiene una idea, o le puede servir algo de esto, me gustaria saberlo.
Santos Armando Castillo Márquez
yo para hacerlo un poco mas fácil descarte la posibilidad de que p fuera 2 porque si p fuera 2 entonces q seria mayor o igual a 3, y como q es primo entonces q es impar.
ResponderBorrarEntonces $p^2+pq+6q-1=par+par+par-1=impar y pq=par y ningún numero impar es multiplo de un numero par, por lo tanto p no es 2, eso podria facilitar un poco mas, yo use esta idea por que fue la que use para el problema del estatal que es algo parecido a este, y solo eso se me ha ocurrido
como todos hemos estado poniendo sabemos que pq divide a $p^2+pq+6q-1$= pq divide a $p^2+6q-1 y como puse en mi comentario anterior p no es 2 asi que p y q son impares y la ecuacion anterior se puede sustituir como: impar divide a impar+par-1=par, y un numero impar no divide a par a menos que sea impar*par pero pq es igual a impar por impar. Por lo tanto no existen parejas de primos p y q
ResponderBorrartenemos los numeros divisores de cada termino
ResponderBorrarp^2/p/p^2/1
pq/p/q/pq/1
6q/6q/6/q/2/1
-1/-1/1
tenemos que todos los terminos tienen el 1 en comun entonces p^2+pq+6q-1/p^2+pq+6q-1/1
como solo tiene dos divisores, si mismo y uno, es primo y como es primo pq no lo divide
tenemos que si $pq | p^2 + pq + 6q - 1$ entonces tiene q cumplir con que $p | p^2 + pq + 6q - 1$ y $q | p^2 + pq + 6q - 1$ entonces
ResponderBorrar$q | p^2 - 1$ ya que $pq y 6q $ tienen un factor q
$q | (p - 1)(p + 1)$ entonces tiene q existir una $k$ tal q $ qk = (p - 1)(p + 1) $ $q$ al ser un primo mayor q $p$ no puede ser $1, p-1, (p+1)(p-1)$ por lo tanto $q = p+1$ los unicos primos consecutivos conosidos son 2 y 3 ahora
$p | p^2 + pq + 6q - 1$ entonces
$p | 6q - 1$ si remplazamos los valores anteriormente encontramos tenemos que
$2 | 6(3) - 1 ! $ aqui hay una contradiccion como 2 no divide a 17 entonces no existe una $p$ tal que $pq | p^2 + pq + 6q - 1$ y por ende no existe la pareja de primos buscada
Espero no les moleste que corrija sus errores jeje.
ResponderBorrar@Antonio:
Tu argumento no es valido, un contraejemplo es que 15 divide a 30, y 15 es producto de dos primos impares, 3 y 5.
@martin:
Igual que con antonio se puede encontrar contraejemplo. Si tienes 9+11+14=34, 9, 11 y 14 solo tienen el 1 como divisor en comun, pero 34 no es primo.
@chuy:
tu solucion esta bien :)
Bueno, tenemos que p y q son primos, (p,q)=1, p<q.
ResponderBorrarSi q es par entonces como p<q y q=2 p seria menor a 2, pero no existe un primo menor a 2.
Luego intente por paridad:
Si p es par y q es impar, entonces tenemos que 2^2+2q+6q-1 su suma nos da un numero impar, pero pq es par, entonces no se puede porque par no divide a impar.
Entonces p es igual o mayor a 3 y q es igual o mayor a 5 para que se cumpla p<q y p,q son primos.
Si p y q son impares entonces p^2+pq+6q-1= a un numero impar y pq= a un numero impar, entonces si cumple...
Ahora, vi los divisores de p^2, pq, 6q y -1 que son: p^2,p y 1...pq, p, q y 1...6, q y 1....1 y -1 respectivamente. Entonces tenemos un factor comun 1. Ahora, tome todos los divisores de cada uno, y trate de factorizarlos...pero esto no lo consegui, por lo tanto llegue a la conclusion que los divisores de p^2+pq+6q-1 son este mismo numero y 1, por lo tanto, pq no divide a este numero, y por consiguiente este numero no es un multiplo de pq.
Ricardo ve el comentario de Alberto, cometiste el mismo error que Martin
ResponderBorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarPodemos analizar el problema por casos. Suponiendo que $p$ y $q$, son $pares$ o $impares$.
ResponderBorrarEn un principio podemos simplificar un poco la ecuación $p^2+pq+6q-1$, como $p^2+6q-1$. Esto porque sabemos que $pq$ divide a si mismo.
Podemos eliminar directamente el caso en el que, $p$ y $q$ ambos son $pares$. Porque solamente existe un primo $par$, y sabemos que $p$ menor a $q$.
Después tenemos el caso, donde existe un $par$ y un $impar$. El par seria $p$ o sea $2$, y $q$ algún primo impar. Teniendo en cuenta esto, al analizar la ecuación $p^2+6q-1$, $p^2$ es igual a $par$, $6q$ es igual a $par$ y con el $-1$ la ecuación daría un numero $impar$. Dado que en este caso, $pq$ es igual a $par$, también podemos eliminar esta opción.
Entonces solo queda la opción donde,$p$ y $q$ ambos son $impares$. Aquí fue donde me quede.
Compartiendo opiniones puedo observar que aplicando dos o tres pasos mas entre ellos haciendo $(p+1)(p-1) \equiv 0 (mod q)$, el problema queda resuelto. Porque teniendo en cuenta que $p$ menor que $q$, habría que encontrar dos números primos $impares$ consecutivos para tener solución a la ecuación.
"q" no puede ser par pues el único primo par es 2 y no hay primos menores a éste. Si p es par entonces 2q|4+2q+6q-1, considerando la paridad seria par+par+par-impar=impar y un par no divide a un impar, por tanto ambos primos son impares. Si p,q son impares entonces p^2+pq+6q-1 es impar (impar+impar+par-impar=impar).
ResponderBorrarHasta aqui me habia quedado cuando lei otras respuestas, entonces trate de encontrar otra forma pero no creo que este bien.
Si pq divide a p^2+pq+6q-1 entonces hay un k impar tal que pqk=p^2+pq+6q-1. Tenemos que k=(p^2+pq+6q-1)/pq=1+(p^2+6q-1)/pq=1+(p/q)+(6/p)-(1/pq). Como p<q, p/q es menor a 1; 6/p dará 2 si p=3, 6/5 si p=5 o algun decimal menor a 1; y 1/pq dará una fracción mínima (máximo 1/15). Como k es impar y k=1+(p/q)+(6/p)-(1/pq) entonces (p/q)+(6/p)-(1/pq) es par (2 porque p/q y 1/pq son menores a 1 y 6/p es menor a 2). Entre mayor sean p,q, (p/q)+(6/p)-(1/pq) sera menor y mas se alejará de 2.
bueno, el problema dice que p^2+pq+6p-1 debe de poder ser divisible entre pq, lo que no se puede ya que:
ResponderBorrarp^2=numero par
pxq: {numero par
{numero impar dependiendo de los valores de p y q, nos damos cuenta que la multiplicacion de pxq, puede ser par o impar, y que al realizar toda la ecuacion sin restarle el -1 (p^2+pq+6q) nos da par o impar al igual que pq, por lo que si pq es impar entonces (p^2+pq+6q va a ser impar tambien) pero al restarle el -1 va a quedar par/impar por lo que sabemos q no se pueden dividir, si por el contrario pq es par, entonces p^2+pq+6qtambien lo sera, pero al restarle el -1 se covertira en impar porlo que no se podran dividir, por lo que podemos notar que esta resuelto (creo), y ps si esta mal, me avisan y aver si me pueden ayudar a hacerlo bien.... no pude publicar antes porque estaba en la escuela y acabo de llegar, entonces ps no tuve chansa, si no publico en algun problema, sera por que en la escuela me dejan mucha tarea, sorry por no publicar en los otros problemas :)... ahh y si no sale mi nombre, soy Missael
si pq/p^2+pq+6q-1
ResponderBorrarquiere decir que el resultado sera un numero n
de la parte de la ecuacion p^2si pq/p^2+pq+6q-1
quiere decir que el resultado sera un numero n
de la parte de la ecuacion p^2+pq+6q-1 podemos quitar pq, ya que siempre pq/pq lo unico que pasaria es que el resultado va a ser una vez pq mayor
entonses solo tendriamos que encontrar que numeros pq/p^2+6q-1
Sabemos que pq no puede divir a p^2 porque son numeros primos asi que sus unicos divisores serian ellos mismos y como p es diferente a q no pueden ser divisibles, ademas q es mayr a p por lo que siempre el prodcto de pq sera mayor a p^2
Tambien sabemos que pq no es divide a 6q ya que para que eso sucediera p tendria que ser 6, pero como 6 no es numero primo no se puede
Como 6 puede descomponerse en 3*2 entonses pq tendrian que ser 2 ó 3 porque son los unicos numeros primos que dividen a 6, como q es mayor a p, q tendria que ser 3 y p ser 2
de acuerdo a la idea anterior pq/6q mas sin embargo a p^2 le quitariamos el -1 por lo que seguiria siendo indivisible entre pq
Espero y sirva de algo, de no ser asi o no le entienden comuniquenmelo
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarRealmente le busque bastante en la mañana, y ahorita en la tarde, llegue a varios puntos que al parecer no me llevaban a algo significativo, hasta que llegue a que pq│p^2+6q-1, debido a que iguale que p^2+pq+6q-1=(pq)n, entonces despeje eso y me quedo que p^2+6q-1=(pq)n-pq, y de ahi, lo que los demas han sacado que pq│p^2+6q-1, y con la eliminacion de n-1, despues de analizarlo varias veces cuando ya casi me daba por vencido, me puse a buscarle por el lado de que p│p^2+6q-1, y de ahi me trabe, y fue lo mas cerca que creo que estube de llegar al resultado, pero ya viendo los comentarios anteriores me guiaron a terminar.
ResponderBorrar@Alberto: bien y gracias n_n :)
ResponderBorrar@Chuyito_ito: bien :)
@Santos Castillo: Lo que llevas está bien, sigue intentando, si gustas puedes ver las ideas de los demás y con ellas avanzar más el problema
@Antonio López: Sabemos que nunca un número par divide a uno impar, sin embargo, un número impar puede dividir tanto a un par (con algún factor primo impar, es decir que no sea potencia de 2) como a un número impar 3|9*5
@Martín Contreras y @Ricardo: Cuando ciertos números no tienen divisores entre sí (no tienen factores en común), se dice que son “primos relativos”, con lo que sabes que ninguno divide al otro (a menos que uno de ellos sea 1), sin embargo esto no implica que la suma de ellos sea primo, como lo mencionó Alberto en sus correcciones
@Alejandro Reyes: Está bien lo que hiciste y que tomes ideas de los demás, es bueno que aun así sigas intentando lo más que se pueda el problema
@Luis Chacón: Tu solución está bien, muy ingeniosa aunque le falta poquita formalidad, me parece que con hacer los casos p=3 y p=5 (que son los que hacen a 6/p mayor a 1) queda claro que la suma de 2 números menores a 1, más uno negativo nunca será 2. Y antes de eso, decir que a lo más p/q + 6/p es 3, y como el único número par positivo entre 0 y 3 es 2, por eso se debe dar la igualdad. Felicidades por buscar 2da solución, doble carita feliz por solución creativa xD :) :)
@Missael H : Es correcto decir que par no divide a impar, pero un impar sí puede dividir a un par 3|6
@Alan Salcido: n puede no dividir a cada término de una suma por separado y aún así dividir al resultado de la suma 6|8+4
@Padilla: Sigue intentando el problema, si ya lo terminaste y la solución es igual a la de los demás intenta escribirla de cualquier forma, te ayuda a saber explicarte mejor y a dar argumentos.
Muy bien a todos por su participación, sigan así n_n
** No borren comentarios
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ResponderBorrar@Leonardo: Bien, aunque creo que puedes ser un poco más "rollero" jaja (se que no es la palabra jeje) es decir, explicar mejor cada paso y sea claro tanto para ti, como para los que leen la solución el porque se puede hacer cada cosa, por ejemplo, porque el que (p-1)(p+1) congruente a 0 mod q implica que q divide a alguno de los 2 factores, lo que solo se asegura cuando q es primo y ese tipo de detalles... igual tienes carita feliz :)
ResponderBorrarSi p²+pq+6q-1 es múltiplo de pq, entonces pq|p²+pq+6q-1
ResponderBorrarComo pq|pq, entonces pq divide a la diferencia de p²+pq+6q-1 y pq, que es p²+6q-1.
Como pq|p²+6q-1, entonces 6q es congruente con 1-p² mod pq, lo que quiere decir que hay una k tal que 6q=k(pq)-p²+1, ahora, si tomamos en cuenta que 6q es par, y pq, p², 1 son impares entonces nos quedaría así: par=k(impar)-impar+impar=k(impar)+par, lo cual sólo cumple para una k impar.
Eso es lo que llevo al momento, no se si me llevará a algun lado pero ya es muy noche, mañana continuaré...
A partir de $p^2 + pq + 6q -1$.
ResponderBorrar\$ p^2 - 1 \equiv 0 \pmod{q} \$
\$(p+1) (p-1) \equiv 0 \pmod{q} \$
Al ser $q$ un numero primo, para que se cumpla lo anterior, $q$ debe dividir o a $p+1$ o $p-1$. Si $q$ no dividiera a alguno de estos dos, en la factorización en primos de $(p+1)*(p-1)$ no se encontraría $q$ lo que nos llevaría a una contradicción.
Sabiendo que $p<q$, la única opción es que $q$ divida a $p+1$, entonces, $p$ y $q$ son números primos consecutivos, $p$ es igual a $2$ y $q$ es a $3$.
Siendo así, por paridad, $p^2 + pq + 6q -1$ tendrá un valor $impar$, y $pq$ debe dividir a esto, pero éste tiene un valor $par$ lo que nos lleva a una contradicción.
De esta manera se demuestra que no existe ninguna pareja de primos, que cumpla con las características dadas.