Problemas del taller del 12 de Agosto

1.- Encontrar el menor número tal que la suma de sus digitos es un primo al cubo mas uno, y el producto de sus dígitos es el mismo primo a la sexta potencia.

2.- En  un cuadrado $ABCD$, sobre la diagonal de $BD$ se tiene el punto $E$, de tal forma que $DE=2BE$. Se traza una circunferencia tangente en el punto $E$ de tal forma que el centro $O$ de la circunferencia se encuentra sobre la prolongación del lado $AD$ por $A$. Se Demuestre que:
a)$EF=OD$
b)$OB \times EG=DE^2$

3.- Sean $ABC$ un triángulo y $AD$ la altura sobre el lado $BC$. Tomando a $D$ como centro y a $AD$ como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta $AB$ en $P$, y corta a la recta $AC$ en $Q$. Muestra que el triángulo $AQP$ es semejante al triángulo $ABC$.

4.-En una cuadricula de $100 \times 100$ se tiene una ficha en la esquina superior izquierda. En un movimiento la ficha se puede mover a cualquiera de los cuadros adyacentes (dos cuadros son adyacentes si comparten un lado). En el primer turno muevo la ficha una vez, en el segundo turno muevo la ficha dos veces, en el tercero tres veces ... en el $n$-simo turno muevo la ficha $n$ veces. Mi objetivo es que la ficha llegue a la esquina inferior derecha.
Decide si se puede para
a)$n=2008$
b)$n=2009$
c)$n=2010$
¿Para cuales $n$ se puede?

5.- Demostrar que no existen parejas de enteros $(x,y)$ tales que:
$$15x^2-7y^2=9$$