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jueves, 23 de diciembre de 2010
Problema del día (23 dic)
Ahora toca números:
Encuentra todas las parejas $(n,m)$ de enteros tales que $2^n+3^m$ es un cuadrado perfecto.
Pero $2^n$ no puede ser $0$ viendolo modulo 3. Entonces $2^n \equiv 1 \pmod{3}$ Ahora nos fijamos que $2^1 \equiv 2 \pmod{3}$ y que $2^2 \equiv 1 \pmod{3}$, entonces $2$ es el orden de $2$ módulo $3$, y por lo tanto $2|n$ y $n$ es par. Sea $n=2x$ La ecuación entonces queda como: \[2^{2x} + 3^m =4^x + 3^m = k^2\]
De manera análoga pero usando módulo $4$ se puede demostrar que $m$ es par, entonces hagamos m=2y.
Ahora la ecuación queda como $2^{2x}+3^{2y}=k^2$ que es lo mismo que: \[(2^x)^2 + (3^y)^2 = k^2\] Por lo que $(2^x,3^y,k)$ es una terna pitagórica, ahora pasemos a demostrar que además es primitiva.
Ver que $(2^x,3^y)=1$ es trivial, para ver que $(2^x,k)=1$ nos fijamos en la paridad. y para $(3^y,k)=1$ nos fijamos que teníamos $2^n \equiv k^2 \equiv 1 \pmod{3}$, entonces como $k$ tiene inverso multiplicativo módulo 3 entonces $(3,k)=1$ y por lo tanto $(3^y,k)=1$
Ahora como es una terna primitiva entonces tenemos enteros $p,q$ con $p,q$ primos relativos y $p\geq q$ tales que \[2^x=2pq\] \[3^y=p^2-q^2\] \[k=p^2+q^2\]
Notese que $3^y$ no puede ser $2pq$. Dado que $2^x=2pq$ entonces $2^{x-1}=pq$ y nos fijamos entonces que p y q son ambos potencias de dos, pero como tambien son primos relativos entonces uno tiene que ser 1, como habiamos dicho que $p\geq q$, entonces tenemos que $q=1$ y que $p=2^{x-1}$
Ahora tenemos que \[3^y=p^2-q^2=(p+q)(p-q)=(2^{x-1}+1)(2^{x-1}-1)\] Pero de nuevo las únicas potencias de $3$ que difieren 2, son $1$ y $3$ Por lo que $2^{x-1}+1=3$ y entonces $x-1=1$ y luego tenemos que $x=2$ Entonces $3^y=3$ y luego tenemos que $y=1$ Volviendo a terminos de $n,m$ tenemos la pareja $(4,2)$
Por lo que las únicas parejas $(n,m)$ son $(0,1),(3,0),(4,2)$
Jaja no inventen que poderosos son!!! jaja xD ... me cansé de intentarlo y leí sus soluciones jeje... interesante que todo lo que me faltaba se podía arreglar diciendo "catalan" daa que chistoso... me gusta tu solución Isaí porque nunca se me ocurrió usar ternas pitagoricas!!!... pero ahora me siento mal por haberlo leído antes .... y cuando vimos Catalan??? =S
lista mi solucion
ResponderBorrarencontre tres parejas
$(0,1) (4,2) (3,0)$
Primero vemos cuando $m \geq 1$
tambien hay que ver que el cuadrado no puede ser multiplo de 3, por lo que es $\equiv 1 \pmod{3}$
$2^n + 3^m \equiv x^2 \pmod{3}$
$2^n \equiv 1 \pmod{3}$
Y vemos que las congruencias pares de dos son $\equiv 1$ y las impares $\equiv 2$, asi que $n$ es par.
$n=2k$
$2^n+3^m=x^2$
$3^m=x^2 - 2^{2k}$
$3^m = (x+2^k)(x-2^k)$
$(x+2^k)-(x-2^k)=2^{k+1}$
$3^z-3^y=2^{k+1}$
$3^y(3^{z-y}-1)=2^{k+1}$
Vemos que $3^y$ debe ser potencia de dos, y la unica es cuando es $1$, asi que $y=0$
$3^z-1=2^{k+1}$
$3^z-2^{k+1}=1$
Por catalan, la unica solucion con $z$ y $k+1$ mayores a uno es $9-8=1$
$z=2$
$k+1=3$
$k=2$
Entonces una solucion es $(4,2)$
Con uno de los dos igual a 1 o 0 la otra solucion es $3-2=1$
Con esto encontramos que $(0,1)$ cumple tambien.
Ahora queda con $m=0$
$2^n+3^m=x^2$
$2^n=x^2-1$
$2^n=(x-1)(x+1)$
Las unicas potencias de dos con diferencia de dos es 2 y 4.
$2^n=2\times 4 = 8$
$n=3$
Y con esto obtenemos la tercera solucion que es $(3,0)$.
:)
Muy bien Alberto, nomas ya te dije por facebook la parte que hay que explicar mejor.
ResponderBorrarTeorema que podria ser util alguna vez en su vida que es dificil de demostrar:
http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_conjecture
$2^n+3^m=x^2$
ResponderBorrar$3^m=x^2 - 2^{2k}$
$3^m = (x+2^k)(x-2^k)$
$(x+2^k)-(x-2^k)=2^{k+1}$
$3^z-3^y=2^{k+1}$
$3^y(3^{z-y}-1)=2^{k+1}$
Para explicarlo mejor, entre estas dos partes debe ir:
$(x+2^k)=3^z$
$(x-2^k)=3^y$
Y vemos que pasa con su diferencia.
Yo tengo una solución que utiliza ternas pitagóricas y sin catalán por si les interesa:
ResponderBorrarPrimero para quitarnos de problemas con que alguna potencia de $m,n$ podría ser 0 vamos a hacer esos casos.
Si $n=0$ entonces $1+3^m=k^2$.
\[3^m=(k+1)(k-1)\]
Y es fácil ver que las únicas potencias de 3 con diferencia de $2$ son $1$ y $3$. Entonces $k=2$ y $m=1$. Por lo que $(0,1)$ es una solución.
Si $m=0$ entonces $1+3^m=k^2$.
\[2^n=(k+1)(k-1)\]
Y también es fácil ver que las únicas potencias de 2 con diferencia de $2$ son $2$ y $4$. Entonces $k=3$ y $n=3$. Por lo que $(3,0)$ es otra solución.
Ahora veamos que pasa con $n,m \geq 1$
Viendo módulo 3 tenemos que
\[2^n + 3^m \equiv 2^n \equiv k^2 \equiv 0,1 \pmod{3} \]
Pero $2^n$ no puede ser $0$ viendolo modulo 3.
Entonces $2^n \equiv 1 \pmod{3}$
Ahora nos fijamos que $2^1 \equiv 2 \pmod{3}$ y que $2^2 \equiv 1 \pmod{3}$, entonces $2$ es el orden de $2$ módulo $3$, y por lo tanto $2|n$ y $n$ es par. Sea $n=2x$
La ecuación entonces queda como:
\[2^{2x} + 3^m =4^x + 3^m = k^2\]
De manera análoga pero usando módulo $4$ se puede demostrar que $m$ es par, entonces hagamos m=2y.
Ahora la ecuación queda como $2^{2x}+3^{2y}=k^2$ que es lo mismo que:
\[(2^x)^2 + (3^y)^2 = k^2\]
Por lo que $(2^x,3^y,k)$ es una terna pitagórica, ahora pasemos a demostrar que además es primitiva.
Ver que $(2^x,3^y)=1$ es trivial, para ver que $(2^x,k)=1$ nos fijamos en la paridad. y para $(3^y,k)=1$ nos fijamos que teníamos $2^n \equiv k^2 \equiv 1 \pmod{3}$, entonces como $k$ tiene inverso multiplicativo módulo 3 entonces $(3,k)=1$ y por lo tanto $(3^y,k)=1$
Ahora como es una terna primitiva entonces tenemos enteros $p,q$ con $p,q$ primos relativos y $p\geq q$ tales que
\[2^x=2pq\]
\[3^y=p^2-q^2\]
\[k=p^2+q^2\]
Notese que $3^y$ no puede ser $2pq$.
Dado que $2^x=2pq$ entonces $2^{x-1}=pq$ y nos fijamos entonces que p y q son ambos potencias de dos, pero como tambien son primos relativos entonces uno tiene que ser 1, como habiamos dicho que $p\geq q$, entonces tenemos que $q=1$ y que $p=2^{x-1}$
Ahora tenemos que
\[3^y=p^2-q^2=(p+q)(p-q)=(2^{x-1}+1)(2^{x-1}-1)\]
Pero de nuevo las únicas potencias de $3$ que difieren 2, son $1$ y $3$
Por lo que $2^{x-1}+1=3$ y entonces $x-1=1$ y luego tenemos que $x=2$
Entonces $3^y=3$ y luego tenemos que $y=1$
Volviendo a terminos de $n,m$ tenemos la pareja $(4,2)$
Por lo que las únicas parejas $(n,m)$ son $(0,1),(3,0),(4,2)$
Muy bien Isaí.
ResponderBorrarJaja no inventen que poderosos son!!! jaja xD ... me cansé de intentarlo y leí sus soluciones jeje... interesante que todo lo que me faltaba se podía arreglar diciendo "catalan" daa que chistoso... me gusta tu solución Isaí porque nunca se me ocurrió usar ternas pitagoricas!!!... pero ahora me siento mal por haberlo leído antes .... y cuando vimos Catalan??? =S
ResponderBorrarYo no conocía el teorema antes de que lo mencionara Alberto jeje
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