lunes, 27 de diciembre de 2010

Problema del día (27 de Dic)

Otro IMO reciente de geometría.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el centro de su circunferencia inscrita. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo tal que
\[ \angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB\]

Demuestre que $AP \geq AI$ y que se da la igualdad si y sólo si $P=I$

3 comentarios:

  1. Primero notemos que si el punto P se encuentra sobre I entonces se cumple lo que pide el problema.

    $\angle IBA + \angle ICA = \angle IBC + \angle ICB$ ya que por bisectrices

    $\angle IBA = \angle IBC$ y
    $\angle ICA = \angle ICB$

    Ahora consideremos algún otro punto P tal que se cumple lo que pide el problema

    Sabemos que

    $\angle PCB = \angle ICB - \angle ICP$
    $\angle PBC = \angle IBC + \angle PBI$
    $\angle ABP = \angle ABI - \angle IBP$
    $\angle ACP = \angle ACI + \angle ICP$

    y como queremos que

    $\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB$

    Sustituyendo y eliminando nos queda que

    $2\angle ICP = 2\angle IBP$
    $\angle ICP = \angle IBP$

    por lo tanto el cuadrilátero IPBC es ciclico, sabemos que la circunferencia IBC está definida, así que P debe estar sobre ella.

    Consideremos la cicunferencia con centro A y radio AI. Demostrar que AP es mayor que AI es igual a decir que P se encuentra fuera de esta circuferencia. Para ello y para que se de la igualdad la circunferencia de radio AI debe ser tangente a la que contiene a los puntos ICB.

    Sea O el centro de la circunferencia que contiene los puntos ICB.

    $\angle COI = 2\angle IBC$
    $\angle CIO = \frac{\angle BAC + \angle ACB}{2}$

    que es lo mismo que mide el angulo exterior del triangulo ACI por lo tanto AIO son colineales.

    Sabemos que el segmento que une los centros de 2 circunferencias pasa por el punto medio del segmento que une los puntos donde se intersectan las circunferencias.

    Tambien sabemos que el punto donde se da la igualdad AI = AP debe ser donde se intersectan las circunferencias (P debe estar en la circunferencia de radio AI). Entonces I debe ser el punto medio de un segmento IP, por lo tanto "el segmento es un punto", por lo tanto ambas circunferencias son tangentes y solo se tocan en I, por lo tanto se cumple el problema.

    ResponderEliminar
  2. Muy bien Karina, ya te dije por facebook los detallitos, pero esta bien

    ResponderEliminar