Sea ABC un triángulo y sea I el centro de su circunferencia inscrita. Sea P un punto en el interior del triángulo tal que
∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB
Demuestre que AP≥AI y que se da la igualdad si y sólo si P=I
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
Primero notemos que si el punto P se encuentra sobre I entonces se cumple lo que pide el problema.
ResponderBorrar∠IBA+∠ICA=∠IBC+∠ICB ya que por bisectrices
∠IBA=∠IBC y
∠ICA=∠ICB
Ahora consideremos algún otro punto P tal que se cumple lo que pide el problema
Sabemos que
∠PCB=∠ICB−∠ICP
∠PBC=∠IBC+∠PBI
∠ABP=∠ABI−∠IBP
∠ACP=∠ACI+∠ICP
y como queremos que
∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB
Sustituyendo y eliminando nos queda que
2∠ICP=2∠IBP
∠ICP=∠IBP
por lo tanto el cuadrilátero IPBC es ciclico, sabemos que la circunferencia IBC está definida, así que P debe estar sobre ella.
Consideremos la cicunferencia con centro A y radio AI. Demostrar que AP es mayor que AI es igual a decir que P se encuentra fuera de esta circuferencia. Para ello y para que se de la igualdad la circunferencia de radio AI debe ser tangente a la que contiene a los puntos ICB.
Sea O el centro de la circunferencia que contiene los puntos ICB.
∠COI=2∠IBC
∠CIO=∠BAC+∠ACB2
que es lo mismo que mide el angulo exterior del triangulo ACI por lo tanto AIO son colineales.
Sabemos que el segmento que une los centros de 2 circunferencias pasa por el punto medio del segmento que une los puntos donde se intersectan las circunferencias.
Tambien sabemos que el punto donde se da la igualdad AI = AP debe ser donde se intersectan las circunferencias (P debe estar en la circunferencia de radio AI). Entonces I debe ser el punto medio de un segmento IP, por lo tanto "el segmento es un punto", por lo tanto ambas circunferencias son tangentes y solo se tocan en I, por lo tanto se cumple el problema.
Muy bien Karina, ya te dije por facebook los detallitos, pero esta bien
ResponderBorrarGracias Isaí =)
ResponderBorrar