viernes, 31 de diciembre de 2010
Problema del Día (31 de Dic)
Sea P un punto fuera del círculo C. Considera todos los trapecios inscritos en C tales que sus lados no paralelos se intersectan en P (al prolongarlos). Muestra que las diagonales de dichos trapecios se intersectan todas en un mismo punto (independientemente del trapecio).
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
Consideremos sin perdida de generalidad el trapecio ABCD con AB paralelo a DC P punto de intersección de DA y CB, Q el punto donde se intersectan sus diagonales y O centro de la circunferencia C
ResponderBorrar∠AQD=∠ACD+∠BDC al ser BC y AD arcos iguales entonces sus respectivos angulos inscritos tambien son iguales por lo tanto ∠AQD=2∠ACD=∠AOD por lo tanto AQOD es cíclico, analogamente BCOQ,
Considerando otro trapecio A'B'C'D' con lados no paralelos provinientes de P, tendremos que A´Q´O´D´ Es ciclico
Por potencia de punto en C sabemos que
(PA)(PD)=(PA')(PD')
Por AQOD
(PA)(PD)=(PQ)(PO)
Por A'Q'OD'
(PA')(PD')=(PQ')(PO)
Por lo tanto PQ' = PQ y Q=Q'
y se me olvidaba... P Q O son colineales (para poder usar potencia de punto) porque nos fijamos en los ejes radicales de los 3 cuadrilateros ciclicos que tenemos, estos son AD, BC y QO, como AD y BC intersectan en P entonces QO tambien por lo tanto P pertenece a la recta QO para toda Q
Muy bien Karina, nomas cuidado con usar las mismas letras para dos cosas distintas =P
ResponderBorrarTomamos a un trapecio ABCD con AB||DC que cumple el problema. Sea Q la interseccion de las diagonales y O el circuncentro de C.
ResponderBorrarVemos que ∠PCD=∠PAB por el ciclico y ∠PAB=∠PDC por las paralelas, entonces ∠PCD=∠PDC y △PDC es isosceles.
∠ACD=∠ABD por el ciclico
∠ABD=∠BDC por las paralelas
Entonces ∠ACD=∠BDC asi que △QDC es isosceles.
△ODC tambien es isosceles porque sus lados son radios.
Entonces △ODC, △QDC y △PDC son isosceles, asi que P, Q y O estan sobre la mediatriz de DC, por lo tanto son colineales.
Ahora vemos que ∠AQD=∠ACD+∠BDC=2∠ACD porque ya teniamos que eran iguales. ∠AOD=2∠ACD porque es angulo central.
Entonces ADOQ es ciclico, y como PQO son colineales, por potencia de punto PA⋅PD=PQ⋅PO. Y PA⋅PD es constante sin importar cual trapecio tomemos por potencia de punto en C asi que PQ⋅PO tambien es constante, y PO tampoco depende de la eleccion de trapecio, por lo tanto PQ tambien es constante, por lo que Q va a ser el mismo punto siempre.
:D