domingo, 26 de diciembre de 2010

Problema del día (26 de Dic)

Es día de algebra!

Encuentra todas las funciones  $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple la siguiente igualdad:

\[ f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor \]

Donde $ \left\lfloor a\right\rfloor $ es la función piso.

Este problema es de una IMO reciente, si ya lo habían hecho me dicen para poner otro.

2 comentarios:

  1. Sugerencia:
    Demuestra que se tienen dos casos $f(0)=0$ o $\lfloor f(0)\rfloor = 1$. Trabaja para ambos casos.

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  2. Solución:
    Evaluamos en $x=y=0$ entonces tenemos que $f(0)=f(0)\left\lfloor f(0) \right\rfloor$, por lo que tenemos dos casos, $f(0)=0$ o $\lfloor f(0) \rfloor=1$

    -Caso $\lfloor f(0) \rfloor=1$.
    Evaluamos en $y=0$ $x=x$ y entonces tenemos $f(x)=f(0)$ por lo que $f(x)$ es constante.
    Sea $f(x)=c$ entonces sustituyendo en la ecuación funcional tenemos que:
    \[ c=c\lfloor c \rfloor \]
    \[ c(1-\lfloor c \rfloor)=0 \]
    Entonces hay dos posibilidades, $c=0$ y $\lfloor c \rfloor=1$, para la segunda posibilidad tenemos entonces $c \in [1,2)$

    Es facil comprobar que son soluciones de la ecuación funcional.

    -Caso $f(0)=0$

    Evaluamos en $x=y=1$ y entonces tenemos que $f(1)=f(1)\lfloor f(1) \right$ y tenemos que $f(1)=0$ o $\lfloor f(1) \rfloor=1$

    -Subcaso $f(1)=0$
    Haciendo $x=1$ y $y=y$ tenemos que $f(y)=0$ lo cual era una solución que ya habiamos encontrado.

    -Subcaso $\lfloor f(1) \rfloor=1$
    Evaluamos $y=1$ y entonces tenemos que $f(x)=f(\lfloor x \rfloor)$
    Evaluamos en $x=2010$ y $y=1/2010$ para obtener
    $f(2010 \times 1/2010)=f(1)=k=f(2010)\lfloor f(1/2010)\rfloor$, donde k es un número entre (inclusive) 1 y dos (excluyendo).
    Pero por otro lado $f(1/2010)=f(0)=0$, entonces llegamos a que $c=0$ que es una contradicción.

    Resumen:
    \[f(x)=0\]
    \[f(x)=c, c \in [1,2)\]

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