Encuentra todas las funciones f:R→R tales que para todo x,y∈R se cumple la siguiente igualdad:
f(⌊x⌋y)=f(x)⌊f(y)⌋
Donde ⌊a⌋ es la función piso.
Este problema es de una IMO reciente, si ya lo habían hecho me dicen para poner otro.
domingo, 26 de diciembre de 2010
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Sugerencia:
ResponderBorrarDemuestra que se tienen dos casos f(0)=0 o ⌊f(0)⌋=1. Trabaja para ambos casos.
Solución:
Evaluamos en x=y=0 entonces tenemos que f(0)=f(0)⌊f(0)⌋, por lo que tenemos dos casos, f(0)=0 o ⌊f(0)⌋=1
-Caso ⌊f(0)⌋=1.
Evaluamos en y=0 x=x y entonces tenemos f(x)=f(0) por lo que f(x) es constante.
Sea f(x)=c entonces sustituyendo en la ecuación funcional tenemos que:
c=c⌊c⌋
c(1−⌊c⌋)=0
Entonces hay dos posibilidades, c=0 y ⌊c⌋=1, para la segunda posibilidad tenemos entonces c∈[1,2)
Es facil comprobar que son soluciones de la ecuación funcional.
-Caso f(0)=0
Evaluamos en x=y=1 y entonces tenemos que f(1)=f(1)\lfloor f(1) \right y tenemos que f(1)=0 o ⌊f(1)⌋=1
-Subcaso f(1)=0
Haciendo x=1 y y=y tenemos que f(y)=0 lo cual era una solución que ya habiamos encontrado.
-Subcaso ⌊f(1)⌋=1
Evaluamos y=1 y entonces tenemos que f(x)=f(⌊x⌋)
Evaluamos en x=2010 y y=1/2010 para obtener
f(2010×1/2010)=f(1)=k=f(2010)⌊f(1/2010)⌋, donde k es un número entre (inclusive) 1 y dos (excluyendo).
Pero por otro lado f(1/2010)=f(0)=0, entonces llegamos a que c=0 que es una contradicción.
Resumen:
f(x)=0
f(x)=c,c∈[1,2)