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domingo, 26 de diciembre de 2010

Problema del día (26 de Dic)

Es día de algebra!

Encuentra todas las funciones  f:RR tales que para todo x,yR se cumple la siguiente igualdad:

f(xy)=f(x)f(y)

Donde a es la función piso.

Este problema es de una IMO reciente, si ya lo habían hecho me dicen para poner otro.

2 comentarios:

  1. Sugerencia:
    Demuestra que se tienen dos casos f(0)=0 o f(0)=1. Trabaja para ambos casos.

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  2. Solución:
    Evaluamos en x=y=0 entonces tenemos que f(0)=f(0)f(0), por lo que tenemos dos casos, f(0)=0 o f(0)=1

    -Caso f(0)=1.
    Evaluamos en y=0 x=x y entonces tenemos f(x)=f(0) por lo que f(x) es constante.
    Sea f(x)=c entonces sustituyendo en la ecuación funcional tenemos que:
    c=cc
    c(1c)=0
    Entonces hay dos posibilidades, c=0 y c=1, para la segunda posibilidad tenemos entonces c[1,2)

    Es facil comprobar que son soluciones de la ecuación funcional.

    -Caso f(0)=0

    Evaluamos en x=y=1 y entonces tenemos que f(1)=f(1)\lfloor f(1) \right y tenemos que f(1)=0 o f(1)=1

    -Subcaso f(1)=0
    Haciendo x=1 y y=y tenemos que f(y)=0 lo cual era una solución que ya habiamos encontrado.

    -Subcaso f(1)=1
    Evaluamos y=1 y entonces tenemos que f(x)=f(x)
    Evaluamos en x=2010 y y=1/2010 para obtener
    f(2010×1/2010)=f(1)=k=f(2010)f(1/2010), donde k es un número entre (inclusive) 1 y dos (excluyendo).
    Pero por otro lado f(1/2010)=f(0)=0, entonces llegamos a que c=0 que es una contradicción.

    Resumen:
    f(x)=0
    f(x)=c,c[1,2)

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