jueves, 30 de diciembre de 2010

Problema del Día (30 de Dic)

Hallar todas las funciones $ f: (0,\infty)\mapsto (0,\infty) $ (es decir, las funciones $f$ de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que
\[ \frac{\left( f(w)\right)^{2}+\left( f(x)\right)^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2}) }=\frac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}} \]
para todos los números reales positivos $ w,x,y,z, $ que satisfacen $wx=yz$

2 comentarios:

  1. Sugerencia:
    Demuestra que $f(x^2)=f(x)^2$ y que $f(1)=1$, intenta formar una ecuación cuadrática en $f(x)$.

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  2. Rayos ya habia terminado de escribir y lo borre por accidente =/, me da flojera volver a escribirlo asi que podnre las ideas clave para solucionarlo.
    Ideas para solucionarlo:
    1. Evaluar $w=x=y=z$, y usar eso para obtener que $f(x)^2=f(x^2)$
    2. Usar el resultado anterior con $x=1$ para obtener $f(1)=1$
    3. Evaluar $w=1,x=x,y=z=\sqrt{x}$ y obtener una ecuación cuadrática en $f(x)$
    \[xf(x)^2-f(x)(1+x^2)+x=0\]
    4. Concluir de la ecuación que $f(x)=x$ o $f(x)=1/x$
    5. Podría pasar que exista una $f$ tal que mande unas $x$ a $x$ y otras $x$ a $1/x$
    6. Para solucionar eso supon que existen a y b diferentes de 1 tales que $f(a)=a$ y $f(b)=1/b$
    7. Luego utilizar que $f(x)^2=f(x^2)$ en la ecuación original y luego evaluar en $w=a,x=b,y=1,z=ab$
    8.Divide en dos casos $f(ab)=ab$ y $f(ab)=1/ab$
    9.En un caso llegas a que $b=1$ y en otro a que $a=1$, ambos contradicciones.

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