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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
jueves, 30 de diciembre de 2010
Problema del Día (30 de Dic)
Hallar todas las funciones f:(0,∞)↦(0,∞) (es decir, las funciones f de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que (f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2
para todos los números reales positivos w,x,y,z, que satisfacen wx=yz
Rayos ya habia terminado de escribir y lo borre por accidente =/, me da flojera volver a escribirlo asi que podnre las ideas clave para solucionarlo. Ideas para solucionarlo: 1. Evaluar w=x=y=z, y usar eso para obtener que f(x)2=f(x2) 2. Usar el resultado anterior con x=1 para obtener f(1)=1 3. Evaluar w=1,x=x,y=z=√x y obtener una ecuación cuadrática en f(x) xf(x)2−f(x)(1+x2)+x=0
4. Concluir de la ecuación que f(x)=x o f(x)=1/x 5. Podría pasar que exista una f tal que mande unas x a x y otras x a 1/x 6. Para solucionar eso supon que existen a y b diferentes de 1 tales que f(a)=a y f(b)=1/b 7. Luego utilizar que f(x)2=f(x2) en la ecuación original y luego evaluar en w=a,x=b,y=1,z=ab 8.Divide en dos casos f(ab)=ab y f(ab)=1/ab 9.En un caso llegas a que b=1 y en otro a que a=1, ambos contradicciones.ResponderBorrar
Sugerencia:
ResponderBorrarDemuestra que f(x2)=f(x)2 y que f(1)=1, intenta formar una ecuación cuadrática en f(x).
Rayos ya habia terminado de escribir y lo borre por accidente =/, me da flojera volver a escribirlo asi que podnre las ideas clave para solucionarlo.
Ideas para solucionarlo:
1. Evaluar w=x=y=z, y usar eso para obtener que f(x)2=f(x2)
2. Usar el resultado anterior con x=1 para obtener f(1)=1
3. Evaluar w=1,x=x,y=z=√x y obtener una ecuación cuadrática en f(x)
xf(x)2−f(x)(1+x2)+x=0
4. Concluir de la ecuación que f(x)=x o f(x)=1/x
5. Podría pasar que exista una f tal que mande unas x a x y otras x a 1/x
6. Para solucionar eso supon que existen a y b diferentes de 1 tales que f(a)=a y f(b)=1/b
7. Luego utilizar que f(x)2=f(x2) en la ecuación original y luego evaluar en w=a,x=b,y=1,z=ab
8.Divide en dos casos f(ab)=ab y f(ab)=1/ab
9.En un caso llegas a que b=1 y en otro a que a=1, ambos contradicciones.ResponderBorrar