Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día (28 de Dic)

martes, 28 de diciembre de 2010

Problema del día (28 de Dic)

Determina todas las parejas de enteros

$(x,y)$ que cumplen:

$1 + 2^x + 2^{2x+1}= y^2$

2 comentarios:

IwakuraIsa4 de enero de 2011, 12:26 a.m.
Sugerencia:
Demuestra que no hay soluciones si $x \textless 0$ , y observa que pasa en casos chicos.
Pasa el 1 del otro lado de la ecuación, factoriza lo que se pueda factorizar.
A partir de ahi hay varias formas de seguir.
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IwakuraIsa17 de enero de 2011, 11:27 p.m.
Primero notemos que no hay soluciones para $x$ negativa (Se queda de tarea para el lector jajaja).

Si $x=0$ entonces tenemos que $1+1+2=4$ que si es un cuadrado perfecto, por lo que tenemos las

soluciones $(0,-2)$ y $(0,2)$ .

Si $x=1$ entonces $1+2+8=11$ que no es cuadrado.
Si $x=2$ entonces $1+4+32=37$ que tampoco es cuadrado.

Ahora sin perdida de generalidad consideremos que $y$ es positivo, ya que si $y$ es solución,

entonces tambien lo es $-y$ y viceversa.

Ahora veamos que pasa con $x \geq 3$ :
Pasando el 1 del otro lado y factorizando tenemos que:
$2^x(1+2^{x+1})=(y+1)(y-1)$
y con un simple analisis de paridad nos fijamos que y es impar por lo que escribimos $y=2n+1$ .

$2^x(1+2^{x+1})=(2n+2)(2n)$
$2^x(1+2^{x+1})=4(n+1)(n)$

Y como $x \geq 3$ podemos dividir ambos lados entre $4$ y tenemos que $2^{x-2}(1+2^{x+1})=(n +1)(n)$

Entonces tenemos que $2^{x-2}|(n+1)(n)$ , pero como $n$ y $n+1$ son primos relativos entonces

tenemos dos casos $2^{x-2}|n$ o $2^{x-2}|n+1$

-Caso $2^{x-2}|n$ :
Entonces $n=2^{x-2}k$
$2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)(2^{x-2}k)$
Cancelando...
$(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k$
Reacomodando...
$1-k=2^{x-2}(k^2-2^3)$
$\frac{k-1}{8-k^2}=2^{x-2}$

Como $n$ es positivo (a partir de que supusimos que $y$ es positivo) y $2^{x-2}$ tambien,

entonces $k\geq 0$ .

Si $k=0$ entonces $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero.
Entonces $k \geq 1$ , por lo que $8 \geq k^2$ , entonces tenemos que $k=1,2$ , pero tambien para

$k=1$ sustituyendo en $(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k$ llegamos a una contradicción. Para $k=2$

tenemos que $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero.
Por lo tanto no hay mas soluciones en este caso.

-Caso $2^{x-2}|n+1$
Muy parecido al anterior
$n+1=2^{x-2}k$
$2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k)(2^{x-2}k-1)$
$(1+2^{x+1})=k(2^{x-2}k-1)$
$2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8} \geq 1$

Nos fijamos que ninguna $k=0,1,2$ funciona, y entonces $k^2-8\geq0$ por lo que $k+1\geq k^2-8$ , resolviendo la desigualdad cuadrática nos fijamos que $k\leq \frac{1+\sqrt{37}}{2}$ y el entero mas cercano es $3$ por lo que $0\leq k \leq 3$ , ya habiamos probado $0,1,2$ y para $k=3$ tenemos que
$2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8}=4=2^2$
Por lo que la unica posibilidad es:
$x-2=2$
$x=4$
Comprobando en la ecuacion original tenemos que $1+16+512=529=23^2$
Por lo que las unicas soluciones son $(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)$

Cualquier error haganmelo saber, igual le doy una checada, pero uno nunca sabe jeje
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Problema del día (28 de Dic)

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