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martes, 28 de diciembre de 2010
Problema del día (28 de Dic)
Determina todas las parejas de enteros $(x,y)$ que cumplen:
\[ 1 + 2^x + 2^{2x+1}= y^2\]
Sugerencia: Demuestra que no hay soluciones si $x \textless 0$, y observa que pasa en casos chicos. Pasa el 1 del otro lado de la ecuación, factoriza lo que se pueda factorizar. A partir de ahi hay varias formas de seguir.
Primero notemos que no hay soluciones para $x$ negativa (Se queda de tarea para el lector jajaja).
Si $x=0$ entonces tenemos que $1+1+2=4$ que si es un cuadrado perfecto, por lo que tenemos las
soluciones $(0,-2)$ y $(0,2)$.
Si $x=1$ entonces $1+2+8=11$ que no es cuadrado. Si $x=2$ entonces $1+4+32=37$ que tampoco es cuadrado.
Ahora sin perdida de generalidad consideremos que $y$ es positivo, ya que si $y$ es solución,
entonces tambien lo es $-y$ y viceversa.
Ahora veamos que pasa con $x \geq 3$: Pasando el 1 del otro lado y factorizando tenemos que: \[2^x(1+2^{x+1})=(y+1)(y-1)\] y con un simple analisis de paridad nos fijamos que y es impar por lo que escribimos $y=2n+1$.
Y como $x \geq 3$ podemos dividir ambos lados entre $4$ y tenemos que $2^{x-2}(1+2^{x+1})=(n
+1)(n)$
Entonces tenemos que $2^{x-2}|(n+1)(n)$, pero como $n$ y $n+1$ son primos relativos entonces
tenemos dos casos $2^{x-2}|n$ o $2^{x-2}|n+1$
-Caso $2^{x-2}|n$: Entonces $n=2^{x-2}k$ \[2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)(2^{x-2}k)\] Cancelando... \[(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k\] Reacomodando... \[1-k=2^{x-2}(k^2-2^3)\] \[\frac{k-1}{8-k^2}=2^{x-2}\]
Como $n$ es positivo (a partir de que supusimos que $y$ es positivo) y $2^{x-2}$ tambien,
entonces $k\geq 0$.
Si $k=0$ entonces $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero. Entonces $k \geq 1$, por lo que $8 \geq k^2$, entonces tenemos que $k=1,2$, pero tambien para
$k=1$ sustituyendo en $(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k$ llegamos a una contradicción. Para $k=2$
tenemos que $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero. Por lo tanto no hay mas soluciones en este caso.
-Caso $2^{x-2}|n+1$ Muy parecido al anterior $n+1=2^{x-2}k$ \[2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k)(2^{x-2}k-1)\] \[(1+2^{x+1})=k(2^{x-2}k-1)\] \[2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8} \geq 1\]
Nos fijamos que ninguna $k=0,1,2$ funciona, y entonces $k^2-8\geq0$ por lo que $k+1\geq k^2-8$, resolviendo la desigualdad cuadrática nos fijamos que $k\leq \frac{1+\sqrt{37}}{2}$ y el entero mas cercano es $3$ por lo que $0\leq k \leq 3$, ya habiamos probado $0,1,2$ y para $k=3$ tenemos que \[2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8}=4=2^2\] Por lo que la unica posibilidad es: \[x-2=2\] \[x=4\] Comprobando en la ecuacion original tenemos que $1+16+512=529=23^2$ Por lo que las unicas soluciones son $(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)$
Cualquier error haganmelo saber, igual le doy una checada, pero uno nunca sabe jeje
Sugerencia:
ResponderBorrarDemuestra que no hay soluciones si $x \textless 0$, y observa que pasa en casos chicos.
Pasa el 1 del otro lado de la ecuación, factoriza lo que se pueda factorizar.
A partir de ahi hay varias formas de seguir.
Primero notemos que no hay soluciones para $x$ negativa (Se queda de tarea para el lector jajaja).
ResponderBorrarSi $x=0$ entonces tenemos que $1+1+2=4$ que si es un cuadrado perfecto, por lo que tenemos las
soluciones $(0,-2)$ y $(0,2)$.
Si $x=1$ entonces $1+2+8=11$ que no es cuadrado.
Si $x=2$ entonces $1+4+32=37$ que tampoco es cuadrado.
Ahora sin perdida de generalidad consideremos que $y$ es positivo, ya que si $y$ es solución,
entonces tambien lo es $-y$ y viceversa.
Ahora veamos que pasa con $x \geq 3$:
Pasando el 1 del otro lado y factorizando tenemos que:
\[2^x(1+2^{x+1})=(y+1)(y-1)\]
y con un simple analisis de paridad nos fijamos que y es impar por lo que escribimos $y=2n+1$.
\[2^x(1+2^{x+1})=(2n+2)(2n)\]
\[2^x(1+2^{x+1})=4(n+1)(n)\]
Y como $x \geq 3$ podemos dividir ambos lados entre $4$ y tenemos que $2^{x-2}(1+2^{x+1})=(n
+1)(n)$
Entonces tenemos que $2^{x-2}|(n+1)(n)$, pero como $n$ y $n+1$ son primos relativos entonces
tenemos dos casos $2^{x-2}|n$ o $2^{x-2}|n+1$
-Caso $2^{x-2}|n$:
Entonces $n=2^{x-2}k$
\[2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)(2^{x-2}k)\]
Cancelando...
\[(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k\]
Reacomodando...
\[1-k=2^{x-2}(k^2-2^3)\]
\[\frac{k-1}{8-k^2}=2^{x-2}\]
Como $n$ es positivo (a partir de que supusimos que $y$ es positivo) y $2^{x-2}$ tambien,
entonces $k\geq 0$.
Si $k=0$ entonces $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero.
Entonces $k \geq 1$, por lo que $8 \geq k^2$, entonces tenemos que $k=1,2$, pero tambien para
$k=1$ sustituyendo en $(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k$ llegamos a una contradicción. Para $k=2$
tenemos que $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero.
Por lo tanto no hay mas soluciones en este caso.
-Caso $2^{x-2}|n+1$
Muy parecido al anterior
$n+1=2^{x-2}k$
\[2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k)(2^{x-2}k-1)\]
\[(1+2^{x+1})=k(2^{x-2}k-1)\]
\[2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8} \geq 1\]
Nos fijamos que ninguna $k=0,1,2$ funciona, y entonces $k^2-8\geq0$ por lo que $k+1\geq k^2-8$, resolviendo la desigualdad cuadrática nos fijamos que $k\leq \frac{1+\sqrt{37}}{2}$ y el entero mas cercano es $3$ por lo que $0\leq k \leq 3$, ya habiamos probado $0,1,2$ y para $k=3$ tenemos que
\[2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8}=4=2^2\]
Por lo que la unica posibilidad es:
\[x-2=2\]
\[x=4\]
Comprobando en la ecuacion original tenemos que $1+16+512=529=23^2$
Por lo que las unicas soluciones son $(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)$
Cualquier error haganmelo saber, igual le doy una checada, pero uno nunca sabe jeje