martes, 28 de diciembre de 2010

Problema del día (28 de Dic)

Determina todas las parejas de enteros $(x,y)$ que cumplen:
\[ 1 + 2^x + 2^{2x+1}= y^2\]

2 comentarios:

  1. Sugerencia:
    Demuestra que no hay soluciones si $x \textless 0$, y observa que pasa en casos chicos.
    Pasa el 1 del otro lado de la ecuación, factoriza lo que se pueda factorizar.
    A partir de ahi hay varias formas de seguir.

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  2. Primero notemos que no hay soluciones para $x$ negativa (Se queda de tarea para el lector jajaja).

    Si $x=0$ entonces tenemos que $1+1+2=4$ que si es un cuadrado perfecto, por lo que tenemos las

    soluciones $(0,-2)$ y $(0,2)$.

    Si $x=1$ entonces $1+2+8=11$ que no es cuadrado.
    Si $x=2$ entonces $1+4+32=37$ que tampoco es cuadrado.

    Ahora sin perdida de generalidad consideremos que $y$ es positivo, ya que si $y$ es solución,

    entonces tambien lo es $-y$ y viceversa.

    Ahora veamos que pasa con $x \geq 3$:
    Pasando el 1 del otro lado y factorizando tenemos que:
    \[2^x(1+2^{x+1})=(y+1)(y-1)\]
    y con un simple analisis de paridad nos fijamos que y es impar por lo que escribimos $y=2n+1$.

    \[2^x(1+2^{x+1})=(2n+2)(2n)\]
    \[2^x(1+2^{x+1})=4(n+1)(n)\]

    Y como $x \geq 3$ podemos dividir ambos lados entre $4$ y tenemos que $2^{x-2}(1+2^{x+1})=(n

    +1)(n)$

    Entonces tenemos que $2^{x-2}|(n+1)(n)$, pero como $n$ y $n+1$ son primos relativos entonces

    tenemos dos casos $2^{x-2}|n$ o $2^{x-2}|n+1$


    -Caso $2^{x-2}|n$:
    Entonces $n=2^{x-2}k$
    \[2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)(2^{x-2}k)\]
    Cancelando...
    \[(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k\]
    Reacomodando...
    \[1-k=2^{x-2}(k^2-2^3)\]
    \[\frac{k-1}{8-k^2}=2^{x-2}\]

    Como $n$ es positivo (a partir de que supusimos que $y$ es positivo) y $2^{x-2}$ tambien,

    entonces $k\geq 0$.

    Si $k=0$ entonces $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero.
    Entonces $k \geq 1$, por lo que $8 \geq k^2$, entonces tenemos que $k=1,2$, pero tambien para

    $k=1$ sustituyendo en $(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k+1)k$ llegamos a una contradicción. Para $k=2$

    tenemos que $\frac{k-1}{8-k^2}$ no es entero.
    Por lo tanto no hay mas soluciones en este caso.

    -Caso $2^{x-2}|n+1$
    Muy parecido al anterior
    $n+1=2^{x-2}k$
    \[2^{x-2}(1+2^{x+1})=(2^{x-2}k)(2^{x-2}k-1)\]
    \[(1+2^{x+1})=k(2^{x-2}k-1)\]
    \[2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8} \geq 1\]

    Nos fijamos que ninguna $k=0,1,2$ funciona, y entonces $k^2-8\geq0$ por lo que $k+1\geq k^2-8$, resolviendo la desigualdad cuadrática nos fijamos que $k\leq \frac{1+\sqrt{37}}{2}$ y el entero mas cercano es $3$ por lo que $0\leq k \leq 3$, ya habiamos probado $0,1,2$ y para $k=3$ tenemos que
    \[2^{x-2}=\frac{k+1}{k^2-8}=4=2^2\]
    Por lo que la unica posibilidad es:
    \[x-2=2\]
    \[x=4\]
    Comprobando en la ecuacion original tenemos que $1+16+512=529=23^2$
    Por lo que las unicas soluciones son $(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)$

    Cualquier error haganmelo saber, igual le doy una checada, pero uno nunca sabe jeje

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