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Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
jueves, 23 de diciembre de 2010
Solucion P6 OMM 24
Para los que todavia no saben como se hace el 6 :P Este es el primer nacional en que se como se hacen los 6 problemas. Del 2008 no se como hacer el 3,4,5 y del 2009 el 2 y 6
Juntamos esas tres cosas para ver que pqr divide a pq+qr+rp−1 Entonces pqr≤pq+qr+rp−1<pq+qr+rp
Pasamos pqr dividiendo y queda que 1<1p+1q+1r
spdg p<q<r suponemos que p≥3
p≥3 entonces 1p≤13 q≥5 entonces 1q≤15 r≥7 entonces 1r≤17
Sumamos eso y obtenemos
1p+1q+1r≤13+15+17=71105<1
Y eso va a ser menor a uno, pero queriamos que fuera mayor, contradiccion. Entonces p=2 Ahora suponemos que q≥5, entonces r≥7 1q≤15 1r≤17
1p+1q+1r≤12+15+17=5970<1
Contradiccion. Entonces q=3
1<1p+1q+1r 1<12+13+1r 16<1r r<6
Y el unico primero menor a 6 diferente de 2 y 3 es el 5, entonces r=5
Y ya tenemos la unica posible solucion, asi que solo queda ver si cumple el problema. (pq)r+(qr)p+(rp)q−1=(2⋅3)5+(3⋅5)2+(5⋅2)3−1=9000 Que si cumple la condicion del problema, y lo que nos pide demostrar.
Gracias Isaí. Yo batalle en encontrar los problemas, como quiera vale la pena reescribirlos aqui:
Problema 2: En cajas marcadas con los números 0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:
* si p es un número primo, éste se coloca en la caja con el número 1. * si el número a se coloca en la caja con el número ma y b se coloca en la caja con el número mb, entonces el producto de a y b, es decir, ab, se coloca en la caja con el número amb+bma.
Encuentra todos los enteros positivos n que cuando se coloquen queden en la caja con el número n.
Problema 6
En una fiesta con n personas se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro salón no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota: conocerse se considera una relación mutua.
Si pqr divide esa cosa, tambien p, q y r
ResponderBorrar(pq)r+(qr)p+(rp)q−1≡0(modp)
0+(qr)p+0−1≡0(modp)
(qr)p≡1(modp)
por fermat
(qr)p≡qr≡1(modp)
qr−1≡0(modp)
Analogamente
rp−1≡0(modq)
pq−1≡0(modr)
Juntamos esas tres cosas para ver que pqr divide a pq+qr+rp−1
Entonces
pqr≤pq+qr+rp−1<pq+qr+rp
Pasamos pqr dividiendo y queda que
1<1p+1q+1r
spdg p<q<r
suponemos que p≥3
p≥3 entonces 1p≤13
q≥5 entonces 1q≤15
r≥7 entonces 1r≤17
Sumamos eso y obtenemos
1p+1q+1r≤13+15+17=71105<1
Y eso va a ser menor a uno, pero queriamos que fuera mayor, contradiccion.
Entonces p=2
Ahora suponemos que q≥5, entonces r≥7
1q≤15
1r≤17
1p+1q+1r≤12+15+17=5970<1
Contradiccion.
Entonces q=3
1<1p+1q+1r
1<12+13+1r
16<1r
r<6
Y el unico primero menor a 6 diferente de 2 y 3 es el 5, entonces r=5
Y ya tenemos la unica posible solucion, asi que solo queda ver si cumple el problema.
(pq)r+(qr)p+(rp)q−1=(2⋅3)5+(3⋅5)2+(5⋅2)3−1=9000
Que si cumple la condicion del problema, y lo que nos pide demostrar.
Muy bien.
ResponderBorrarIntenta el 2 y el 6 del año pasado, el 2 no estaba mas dificil que este. En el 6 la pista es intentar el principio extremo.
Tienes los enunciados?
ResponderBorrarhttp://www.matetam.com/problemas/combinatoria/xxiiiomm-problema-2
ResponderBorrarhttp://www.matetam.com/problemas/combinatoria/xxiiiomm-problema-6
Gracias Isaí. Yo batalle en encontrar los problemas, como quiera vale la pena reescribirlos aqui:
ResponderBorrarProblema 2:
En cajas marcadas con los números 0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:
* si p es un número primo, éste se coloca en la caja con el número 1.
* si el número a se coloca en la caja con el número ma y b se coloca en la caja con el número mb, entonces el producto de a y b, es decir, ab, se coloca en la caja con el número amb+bma.
Encuentra todos los enteros positivos n que cuando se coloquen queden en la caja con el número n.
Problema 6
En una fiesta con n personas se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro salón no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota: conocerse se considera una relación mutua.