La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
jueves, 23 de diciembre de 2010
Solucion P6 OMM 24
Para los que todavia no saben como se hace el 6 :P Este es el primer nacional en que se como se hacen los 6 problemas. Del 2008 no se como hacer el 3,4,5 y del 2009 el 2 y 6
Y eso va a ser menor a uno, pero queriamos que fuera mayor, contradiccion. Entonces $p=2$ Ahora suponemos que $q \geq 5$, entonces $r \geq 7$ $\frac{1}{q} \leq \frac{1}{5}$ $\frac{1}{r} \leq \frac{1}{7}$
Y el unico primero menor a 6 diferente de 2 y 3 es el 5, entonces $r=5$
Y ya tenemos la unica posible solucion, asi que solo queda ver si cumple el problema. $(pq)^r + (qr)^p + (rp)^q -1= (2 \cdot 3)^5 + (3\cdot 5)^2 + (5 \cdot 2)^3 -1 = 9000$ Que si cumple la condicion del problema, y lo que nos pide demostrar.
Gracias Isaí. Yo batalle en encontrar los problemas, como quiera vale la pena reescribirlos aqui:
Problema 2: En cajas marcadas con los números 0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:
* si $ p $ es un número primo, éste se coloca en la caja con el número 1. * si el número $ a $ se coloca en la caja con el número $ m_a $ y $ b $ se coloca en la caja con el número $ m_b $, entonces el producto de $ a $ y $ b $, es decir, $ ab $, se coloca en la caja con el número $ am_b+bm_a $.
Encuentra todos los enteros positivos $ n $ que cuando se coloquen queden en la caja con el número $ n $.
Problema 6
En una fiesta con n personas se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro salón no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota: conocerse se considera una relación mutua.
Si $pqr$ divide esa cosa, tambien $p$, $q$ y $r$
ResponderBorrar$(pq)^r + (qr)^p + (rp)^q -1 \equiv 0 \pmod{p}$
$0 + (qr)^p + 0 -1 \equiv 0 \pmod{p}$
$(qr)^p \equiv 1 \pmod{p}$
por fermat
$(qr)^p \equiv qr \equiv 1 \pmod{p}$
$qr-1 \equiv 0 \pmod{p}$
Analogamente
$rp-1 \equiv 0 \pmod{q}$
$pq-1 \equiv 0 \pmod{r}$
Juntamos esas tres cosas para ver que $pqr$ divide a $pq+qr+rp-1$
Entonces
$pqr \leq pq+qr+rp-1 < pq+qr+rp$
Pasamos $pqr$ dividiendo y queda que
$1 < \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}$
spdg $p < q < r$
suponemos que $p \geq 3$
$p \geq 3$ entonces $\frac{1}{p} \leq \frac{1}{3}$
$q \geq 5$ entonces $\frac{1}{q} \leq \frac{1}{5}$
$r \geq 7$ entonces $\frac{1}{r} \leq \frac{1}{7}$
Sumamos eso y obtenemos
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} \leq \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{71}{105} <1$
Y eso va a ser menor a uno, pero queriamos que fuera mayor, contradiccion.
Entonces $p=2$
Ahora suponemos que $q \geq 5$, entonces $r \geq 7$
$\frac{1}{q} \leq \frac{1}{5}$
$\frac{1}{r} \leq \frac{1}{7}$
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} \leq \frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{59}{70} <1$
Contradiccion.
Entonces $q=3$
$1 < \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}$
$1 < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{r}$
$\frac{1}{6} < \frac{1}{r}$
$r<6$
Y el unico primero menor a 6 diferente de 2 y 3 es el 5, entonces $r=5$
Y ya tenemos la unica posible solucion, asi que solo queda ver si cumple el problema.
$(pq)^r + (qr)^p + (rp)^q -1= (2 \cdot 3)^5 + (3\cdot 5)^2 + (5 \cdot 2)^3 -1 = 9000$
Que si cumple la condicion del problema, y lo que nos pide demostrar.
Muy bien.
ResponderBorrarIntenta el 2 y el 6 del año pasado, el 2 no estaba mas dificil que este. En el 6 la pista es intentar el principio extremo.
Tienes los enunciados?
ResponderBorrarhttp://www.matetam.com/problemas/combinatoria/xxiiiomm-problema-2
ResponderBorrarhttp://www.matetam.com/problemas/combinatoria/xxiiiomm-problema-6
Gracias Isaí. Yo batalle en encontrar los problemas, como quiera vale la pena reescribirlos aqui:
ResponderBorrarProblema 2:
En cajas marcadas con los números 0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:
* si $ p $ es un número primo, éste se coloca en la caja con el número 1.
* si el número $ a $ se coloca en la caja con el número $ m_a $ y $ b $ se coloca en la caja con el número $ m_b $, entonces el producto de $ a $ y $ b $, es decir, $ ab $, se coloca en la caja con el número $ am_b+bm_a $.
Encuentra todos los enteros positivos $ n $ que cuando se coloquen queden en la caja con el número $ n $.
Problema 6
En una fiesta con n personas se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro salón no hay dos personas que se conozcan entre sí. Nota: conocerse se considera una relación mutua.