Otro IMO reciente de geometría.
Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el centro de su circunferencia inscrita. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo tal que
\[ \angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB\]
Demuestre que $AP \geq AI$ y que se da la igualdad si y sólo si $P=I$
Primero notemos que si el punto P se encuentra sobre I entonces se cumple lo que pide el problema.
ResponderBorrar$\angle IBA + \angle ICA = \angle IBC + \angle ICB$ ya que por bisectrices
$\angle IBA = \angle IBC$ y
$\angle ICA = \angle ICB$
Ahora consideremos algún otro punto P tal que se cumple lo que pide el problema
Sabemos que
$\angle PCB = \angle ICB - \angle ICP$
$\angle PBC = \angle IBC + \angle PBI$
$\angle ABP = \angle ABI - \angle IBP$
$\angle ACP = \angle ACI + \angle ICP$
y como queremos que
$\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB$
Sustituyendo y eliminando nos queda que
$2\angle ICP = 2\angle IBP$
$\angle ICP = \angle IBP$
por lo tanto el cuadrilátero IPBC es ciclico, sabemos que la circunferencia IBC está definida, así que P debe estar sobre ella.
Consideremos la cicunferencia con centro A y radio AI. Demostrar que AP es mayor que AI es igual a decir que P se encuentra fuera de esta circuferencia. Para ello y para que se de la igualdad la circunferencia de radio AI debe ser tangente a la que contiene a los puntos ICB.
Sea O el centro de la circunferencia que contiene los puntos ICB.
$\angle COI = 2\angle IBC$
$\angle CIO = \frac{\angle BAC + \angle ACB}{2}$
que es lo mismo que mide el angulo exterior del triangulo ACI por lo tanto AIO son colineales.
Sabemos que el segmento que une los centros de 2 circunferencias pasa por el punto medio del segmento que une los puntos donde se intersectan las circunferencias.
Tambien sabemos que el punto donde se da la igualdad AI = AP debe ser donde se intersectan las circunferencias (P debe estar en la circunferencia de radio AI). Entonces I debe ser el punto medio de un segmento IP, por lo tanto "el segmento es un punto", por lo tanto ambas circunferencias son tangentes y solo se tocan en I, por lo tanto se cumple el problema.
Muy bien Karina, ya te dije por facebook los detallitos, pero esta bien
ResponderBorrarGracias Isaí =)
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