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domingo, 4 de septiembre de 2011
Problema del día, Teoría de números (05 de Septiembre)
Probar que para cada número natural $n$, el número $\left(n^3-n\right)\left(5^{8n+4}+3^{4n+2}\right)$ es múltiplo de $3804$
Nos fijamos que $n^3-n=n(n+1)(n-1)$ es divisible entre dos porque son tres numeros consecutivos y uno de ellos va a ser par, y 2 divide a par, y que uno de estos tres numeros es divisible entre 3,entonces es divisible entre 6. 3804/6=634, así que el problema se puede reducir a que $5^{8n+4}+3^{42+2}$ es multiplo de 634, eso es lo que llevo hasta ahorita, me falta demostrar esto ultimo lo cual llevo buen rato intentando
yo solo he llegado a que 5^8n+4 congruente a 1 mod 2 3^4n+2 congruente a 1 mod 2 la razon de esto es que como los dos son impares e impar por impar es impar pues por eso y luego con la n llege a dos casos: caso 1:n impar n^3 congruente a 1 mod 2 n congruente a 1 mod 2 n^3 es impar por lo mismo de ahorita. entonces n^3 -ncongruente a 1 mod 2. esto porque impar menos impar es par caso 2:n par n^3congruente a 0 mod 2 n congruente a 0 mod 2 n^3 es par porque par por par es par.entonces n^3 -n congruente a 0 mod 2. esto porque par menos par es par. como los dos casos dio que n^3 -n=par y tambien como anteriormente habiamos dicho que 5^8n+4 +3^4n+2 era par por lo tanto los dos son pares y par por par es igual a par. eso es todo a lo que he llegado pero lo seguire intentando.
$3804$ se puede factorizar en $ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 317 $ por lo que tenemos q encontrar q tiene esos factores para toda n
$n^3 + n = n(n+1)(n-1)$ al ser $n-1, n, n+1$ numeros consecutivos, tendran congruencias consecutivas por lo tanto esa parte tendra un factor $2$ y un factor $3$
por lo que falta encontrar otro factor 2 y un factor 317
$ 5 \equiv 1 mod 4 $ por lo que si 5 se eleva a cualquier potencia sguira siendo congruente a 1 modulo 4, $ 3 \equiv -1 mod 4$ la potencia de 3 se puede factorizar como $ 2(2n + 1 $ por lo q $ 3^2 \equiv 1 mod 4 $ por lo tanto $ 3^{2(2n+1)} + 5^{4(2n+1} \equiv 2 mod 4 $ por lo que aqui tenemos el segundo factor 2
ahora $ 5^{4(2+1)} + 3^{2(2n+1)} = (5^4 + 3^2)K$ donde $K$ es el otro factor que no me interesa
3804 tiene los factores 2, 2, 3, 317. $n^3-n$ es par ($n^3$ y n tienen la misma paridad, y al restarlos se obtiene par) y múltiplo de 3 (n tiene congruencia -1, 0, 1 mod 3, y $n^3-n$ con esos valores será 0). Un impar a cualquier potencia siempre serán impar, e impar + impar es par, por lo que $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es múltiplo de 2. Entonces sólo queda demostrar que $5^{8n+4}+3^{4n+2}]$ es múltiplo de 317. Como $5^{8n+4}=5^4^{2n+1}$ y $3^{4n+2}=3^2^{2n+1}$. En mod 317 $5 \equiv 5$ entonces $5^4 \equiv -9$, y $3 \equiv 3$ entonces $3^2 \equiv 9$. $-9^{2n+1}+9^{2n+1} \equiv 0 mod 317$ (como 2n+1 es impar entonces $-9^2n+1$ es negativo)por tanto $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es múltiplo de 317 y eso resuelve el problema
Pues yo a lo que pude llegar fue que 3804=2•2•3•317 Despues ví que (n^3•n)=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1) Al ser números consecutivos, si n es par todo es par, y si es impar ademas de ser par, todo es multiplo de 4. Además por ser tres números consecutivos alguno es múltiplo de 3. Por todo eso, ya eliminamos por lo menos un 6 de la factorización, por lo que nos queda el 2•317 lo cual hay que probar que divide a ((5^(8n+4))+(3^(4n+2))) Ya que ambas cosas son impares, su suma es par, por lo cual ya nadamas hay que probar que 317 divide a ((5^(8n+4))+(3^(4n+2))), y hasta ahi voy, por lo demas no he podido hacer mucho.
me quede en demostrar que $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es multiplo de 634, entonces $5^{8n+4}+3^{4n+2}$=5^{4(2n+1)}+3^{2(2n+1)}=625^{2n+1}+9^{2n+1}$ y ya esta porque si la potencia fuera uno seria 625+9=634, y si la potencia fuera 2 o mas seguiría siendo multiplo de 634, por lo tanto $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es multiplo de 634
Bueno, tenemos que demostrar que (n^3-n)(5^(8n+4)+3^(4n+2)) es multiplo de 3804.
Bueno, primero se me ocurrio factorizar: 3804=2·2·3·317 Luego factorice la ecuacion dada...entonces me da: (n)(n+1)(n-1)(5^(2(4n+2))+3^(2(2n+1))), entonces sabemos que son 3 números consecutivos en la primer parte de la ecuacion, por lo cual esto nos indica que es multiplo de 3, entonces tachamos el primer factor, ya nos vamos acercando :D Y nos fijamos que si n es par o impar, es un múltiplo de 4, entonces tachamos un factor 2 del 3804, ya vamos a la mitad :D Luego, sin perdida de generalidad sabemos que independientemente del valor de n, la elevacion al cuadrado de ambos terminos en la segunda parte de la ecuacion es par, lo cual no nos dice nada... Bueno, si tomamos la factorizacion de la segunda parte de la ecuacion, tenemos que si la elevacion que esta en parentesis...(2^n+4) y (2^n+1) respectivamente da 1 como resultado, entonces tenemos: (5^3+3^2)=625+9=634=317·2 entonces sea cual sea la elevacion va a ser multiplo de 634 o 317·2 Por lo cual demostramos que: (n^3-n)(5^(8n+4)+3^(4n+2)) es multiplo de 3804.
Luego notamos que:(n^3-n)=(n(n^2-1))= n(n-1)(n+1) por lo tanto es una multiplicacion de tres numeros consecutivos y por consiguiente encontramos que esos tres numeros pueden ser divididos entre 2 y 3 ... asi que de la factorizacion 2x2x3x317 podemos quitar un dos y un tres que sabemos que si divide y quedaria por demostrar 2x317...
625 es congruente a 1 mod 4 9 es congruente a 1 mod 4
625+9=634 634 es congruente a 2 mod 4 y es dos veces 317 entonces eliminamos el siguiente dos y queda PD múltiplo de 317 317 es congruente a 2 mod 4
625^x + 9^x es congruente a 2 mod 4 ("X" es cualquier exponente) Entonces 625^(2n+1) + 9^(2n+1)es congruente a 2 mod 4 ENTONCES 317 también divide y hemos terminado por comprobar que (n^3-n){(5^(8n+4))+(3^(4n+2))} es múltiplo de 3804..
Perdón por la hora pero no podía abrir la pagina estuve a punto de reportarme con mi solución directamente con Isaí pero finalmente abrió.. Espero no tener problemas así frecuentemente porque las publicaciones de los demás no aparecen, aunque dice que hay 10 comentarios no sale mas que el problema. En fin, ojala que no sea cotidiano. Saludos.
Comence sacando el producto de la ecuacion, y empece a sacar valores que luego me di cuenta de que no me servian de nada, luego comence a descomponer valores, en el que descompuce el (n^3-n) en (n(n+1)(n-1)), suponiendo que le damos un valor a cada uno, nos quedan tres numeros consecutivos tales que, uno sera congruente con 0(mod3), otra con 1(mod3) y otra con 2(mod3), al sacar el producto de los valores saldra que (n(n+1)(n-1))≡0(mod3), por lo que tenemos que (n^3-n) es multiplo de 3. Luego descompuse el valor ((5^8n+4)+(3^4n+2)) en varios valores hasta darme cueta de que en(5^4(2n+1))+(3^2(2n+1)coincidian los exponentes, y creí que me seria de utilidad, al tener (625^(2n+1))+(9^(2n+1) me quede atorado un rato, no sabia de que me servirian estos valores, ya que no los podia juntar ya que eran numeros distintos aunque tenian igual exponente, pero eso no me serviria de nada. Pero recorde el paso anterior en el que saque multiplo, entonces llegue a que (5^4+3^9) por un valor X, en el que X es igual cada uno de estos valores a la n, ya que 5^4 y 3^9, estan elevaros a la 1, y pide que esten elevados a la n+1, por lo que el 1 se elimina y tienen que estar elevados a la n, esto es igual a (625^(2n+1))+(9^(2n+1), y como queremos sacar multiplo de esto, tenemos que 5^4+3^9=634, el valor X lo ignoramos por lo que tenemos, con lo de la ecuacion anterior, 634*3=Y, realmente me quede trabado un rato, ya que no supe de que me servia esto, pero me daba cuenta de que 634*3=1902, que si lo multiplicamos por 2 sale a 3804, por lo que sabia que todo esto me habia servido de algo y que el 2 me debia servir, pero no sabia como hasta que decidi ayudarme un poco por las demas respuestas y me di cuenta de que en el primer termino que saque, (n(n-1)(n+1) no solo es multiplo de 3, tambien de 6, ya que como ya sabemos que es de 3, si es par tambien sera de 6, y como son 3 numeros consecutivos los unicos casos posibles serian PAR*IMPAR*PAR o IMPAR*PAR*IMPAR, en ambas el produco sera par, por lo que es multiplo de 6, y ahi tenemos el 2 que buscabamos, ya que 2*3*634, que son puros multiplos de la ecuacion (n^3-n)((5^8n+4)+(3^4n+2)), y como estos multiplos tienen como producto el 3804, entonces 3804 es multiplo de esta ecuacion.
3804=2*2*3*317=2*3*634 N^3-N se puede expresar como N(N+1)(N-1) y eso nos dice que N^3-N es multiplo de 2 y 3. luego se puede factorizar 5^(8N+4)+3^(4N+2) como (5^4(2N+1)+3^2(2N+1)) y eso da 625^(2N+1)+9^(2n+1). con cualquier elevacion que se haga, como ambos numeros estan elevados a la misma potencia, se pueden sumar a 634. y es el ultmo factor que necesitabamos para demostrar que se cumplia.
Por induccion tenemos que: para el numero 1 se cumple porque 1^3-1=0 y como 0 por cualquier numero es 0 y 0 entre cualquier numero es 0 entonses para n debe cumplir al demostrar que para n+1 cumplia obtube: ((n+1)^3-(n+1))(5^{8(n+1)+4}+3^{4(n+1)+2}) lo desarrolle, (n^3+3n^2+2n)(5^{8n+12}+3^{4n+6} (n^3+3n^2+2n)(5^{4(2n+3)}+3^{2(2n+3)}) (n^3+3n^2+2n)(625^{2n+3}+9^{2n+3}) (n^3+3n^2+2n)(634^{2n+3}) despues le por descomposicion canonica me quedo que 3408=634*3*2 como 634 elevado a cualquier potencia va a ser divisible entre 634 solo me falta probar que n^3+3n^2+2n es divisible entre 3*2
n^3≡3n^2 (mod 2) 3n^2≡2n (mod 2) 3n^2≡2n (mod 3) con eso tenemos que n^3+3n^2+2n es divisible entre 6
@Antonio López: Bien! , aunque no está bien terminado (o explicado) porque si la potencia de lo que te queda al final es 2, "eso" te queda congruente con 162 mod 625, pero por ahí va.
@Martín Contreras Carrera: Está bien, como ayuda, si ya tienes que 2 divide al primer “factor” y también al segundo, entonces 4 divide a todo!! :D … y no olvides utilizar descomposición en primos en los problemas de este tipo n_n
@Alberto: Yeah! … pero tienes un errorcito (de dedo supongo) en el tercer igual del segundo párrafo… :)
@Chuyito_ito: Super, lo de la k sirve porque supongo que estamos pensando en la misma factorización pero procura especificar… pd: tu nickname me encanta, se me hace muy chistoso xD.. :)
@Luis Chacón: :)
@Luis Carlos García: Vas bien, intenta jugar con los numeritos de lo de la izquierda n_n @Ricardo G: No entendí por qué es múltiplo de 4, y siendo así porque solo quitas un factor 2, tampoco la parte de por qué es múltiplo de 317, si pudieras intentar escribirlo un poco más detallado por favor n_n
@Santos Armando: No entendí la parte de que 317 divide a todo eso, podrías revizar? @Padilla: Quiero suponer que utilizaste la misma factorización que Alberto para concluir que es múltiplo de 634, pero creo que la explicación en esto está un poco floja, te recomiendo ser lo más específico que puedas para evitar confusiones … por cierto me encantó tu solución a manera de historia, muy divertida de leer xD
@Alberto Ponce: Lo último que pusiste se cumple para cualquier valor de n pero no para cualquier exponente, y no está claro por qué pasa, que estén elevados a la misma potencia no quiere decir que se puedan sumar, si te refieres a la factorización que han utilizado más arriba (creo que usaron) solo es posible si el exponente es impar y hace falta especificar.
@Alan Salcido: Interesante que hayas utilizado inducción jaja, en efecto al parecer este problema se termina con ello pero en tu solución hay varios errores, no quiero ahondar en términos generados por usar inducción así que solo te pido que revises donde pudiste usar las siguientes cosas falsas: a^x + b^x = (a+b)^x , 3n^2 no necesariamente es congruente a 2n mod2, ni tampoco mod3, sigue intentando, si no con inducción con cualquier otra cosa n_n
Estoy teniendo problemas con Latex y mis comentarios no están luciendo de manera correcta. Disculpen las molestias.
Tenemos que: 3804 = 6*634 n^3–n congruente a 0 mod2 y, n^3–n congruente a 0 mod3.
Por lo tanto n^3–n es múltiplo de 6. Y para resolver el problema, 5^{8n+4} + 3^{4n+2} debe ser múltiplo de 634.
Al desarrollar la ecuación obtenemos: 5^{8n+4} + 3^{4n+2} = 5^4{2n+1} + 3^2{2n+1} = (5^4)^{2n+1} + (3^2)^{2n+1} = 625^{2n+1} + 9^{2n+1}
Este 625^{2n+1} + 9^{2n+1} debe ser múltiplo de 634.
Al estar estos dos valores elevados a la misma potencia, y ser 2n+1 impar podemos igualar esa ecuación a: (625+9)*(625^{2n} – 625^{2n-1}*9 + … - 625*9^{2n-1} + 9^{2n}) Por lo tanto 634 divide a 5^{8n+4} + 3^{4n+2}, que multiplicado por n^3–n, se prueba que para cada numero natural n se cumple que la ecuación inicial es múltiplo de 3804.
No se si esta otra solución sea de valor. Al saber que:
3804 congruente a 0 mod3 y, n^3–n congruente a 0 mod3
Al multiplicar n^3-n, por 5^{8n+4} y 3^{4n+2}. Ambos productos serán equivalentes a 0 mod3. Al sumarlos seguirán siendo equivalentes a 0 mod3, al igual que 3804. Y con esto quedaría resuelto el problema.
@Alejandro Reyes: Está bien tu primera solución, sin embargo te faltó explicar por qué $n^3-n$ es divisible por 2 y 3, lo mencionas y seguramente sabes porque (espero :P ) pero igual es necesario que expliques esa parte... y lo último que pusiste lo único que se demuestra es que el producto es múltiplo de 3, ammm ... creo (quizá no entiendo y me equivoco) que es como decir que 4 es congruente a 0 mod2 y también 6, por lo tanto 4 divide a 6, que claramente no es cierto, y luego no se que quisiste decir con "sumarlos", ... pero bueno.. lo primero sí está bien xD ... espero que corrijas los detallitos que te mencioné para ponerte tu carita feliz :P
Nos fijamos que $n^3-n=n(n+1)(n-1)$ es divisible entre dos porque son tres numeros consecutivos y uno de ellos va a ser par, y 2 divide a par, y que uno de estos tres numeros es divisible entre 3,entonces es divisible entre 6.
ResponderBorrar3804/6=634, así que el problema se puede reducir a que $5^{8n+4}+3^{42+2}$ es multiplo de 634, eso es lo que llevo hasta ahorita, me falta demostrar esto ultimo lo cual llevo buen rato intentando
yo solo he llegado a que
ResponderBorrar5^8n+4 congruente a 1 mod 2
3^4n+2 congruente a 1 mod 2
la razon de esto es que como los dos son impares e impar por impar es impar pues por eso
y luego con la n llege a dos casos:
caso 1:n impar
n^3 congruente a 1 mod 2
n congruente a 1 mod 2
n^3 es impar por lo mismo de ahorita. entonces n^3 -ncongruente a 1 mod 2. esto porque impar menos impar es par
caso 2:n par
n^3congruente a 0 mod 2
n congruente a 0 mod 2
n^3 es par porque par por par es par.entonces n^3 -n congruente a 0 mod 2. esto porque par menos par es par.
como los dos casos dio que n^3 -n=par y tambien como anteriormente habiamos dicho que 5^8n+4 +3^4n+2 era par por lo tanto los dos son pares y par por par es igual a par.
eso es todo a lo que he llegado pero lo seguire intentando.
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ResponderBorrar$3804= 2 \times 3 \times 634$
ResponderBorrarVemos que $n^3 \equiv n \pmod{3}$
Entonces $n^3 - n \equiv 0 \pmod{3}$
Tambien $n^3 - n \equiv 0 \pmod{2}$
Con esto tenemos que $6$ divide a $n^3 - n$
Y necesitamos que $634$ divida a $5^{8n+4} +3^{4n+2}$.
$5^{8n+4} +3^{4n+2}$
$= 5^{4(2n+1)} +3^{2(2n+1)}$
$= (5^4)^{2n+1} +(3^2)^{2n+1}$
$= 625^{2n+1} +625^{2n+1}$
$= (625+9)(625^{2n} - 625^{2n-1} \cdot 9 + \dots - 625 \cdot 9^{2n-1} + 9^{2n})$
$= (634)(625^{2n} - 625^{2n-1} \cdot 9 + \dots - 625 \cdot 9^{2n-1} + 9^{2n})$
Entonces $634$ divide a $5^{8n+4} +3^{4n+2}$ y con eso queda resuelto el problema.
$3804$ se puede factorizar en $ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 317 $ por lo que tenemos q encontrar q tiene esos factores para toda n
ResponderBorrar$n^3 + n = n(n+1)(n-1)$ al ser $n-1, n, n+1$ numeros consecutivos, tendran congruencias consecutivas por lo tanto esa parte tendra un factor $2$ y un factor $3$
por lo que falta encontrar otro factor 2 y un factor 317
$ 5 \equiv 1 mod 4 $ por lo que si 5 se eleva a cualquier potencia sguira siendo congruente a 1 modulo 4, $ 3 \equiv -1 mod 4$ la potencia de 3 se puede factorizar como $ 2(2n + 1 $ por lo q $ 3^2 \equiv 1 mod 4 $ por lo tanto
$ 3^{2(2n+1)} + 5^{4(2n+1} \equiv 2 mod 4 $ por lo que aqui tenemos el segundo factor 2
ahora $ 5^{4(2+1)} + 3^{2(2n+1)} = (5^4 + 3^2)K$ donde $K$ es el otro factor que no me interesa
$5^{4(2+1)} + 3^{2(2n+1)} = 625 + 9 = 634 = 317 \cdot 2$
encontramos el ultimo factor por lo que $3804$ divide a la ecuacion
3804 tiene los factores 2, 2, 3, 317. $n^3-n$ es par ($n^3$ y n tienen la misma paridad, y al restarlos se obtiene par) y múltiplo de 3 (n tiene congruencia -1, 0, 1 mod 3, y $n^3-n$ con esos valores será 0). Un impar a cualquier potencia siempre serán impar, e impar + impar es par, por lo que $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es múltiplo de 2. Entonces sólo queda demostrar que $5^{8n+4}+3^{4n+2}]$ es múltiplo de 317. Como $5^{8n+4}=5^4^{2n+1}$ y $3^{4n+2}=3^2^{2n+1}$. En mod 317 $5 \equiv 5$ entonces $5^4 \equiv -9$, y $3 \equiv 3$ entonces $3^2 \equiv 9$. $-9^{2n+1}+9^{2n+1} \equiv 0 mod 317$ (como 2n+1 es impar entonces $-9^2n+1$ es negativo)por tanto $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es múltiplo de 317 y eso resuelve el problema
ResponderBorrarPues yo a lo que pude llegar fue que 3804=2•2•3•317
ResponderBorrarDespues ví que (n^3•n)=n(n^2-1)=n(n+1)(n-1)
Al ser números consecutivos, si n es par todo es par, y si es impar ademas de ser par, todo es multiplo de 4.
Además por ser tres números consecutivos alguno es múltiplo de 3.
Por todo eso, ya eliminamos por lo menos un 6 de la factorización, por lo que nos queda el 2•317 lo cual hay que probar que divide a ((5^(8n+4))+(3^(4n+2)))
Ya que ambas cosas son impares, su suma es par, por lo cual ya nadamas hay que probar que 317 divide a ((5^(8n+4))+(3^(4n+2))), y hasta ahi voy, por lo demas no he podido hacer mucho.
me quede en demostrar que $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es multiplo de 634, entonces
ResponderBorrar$5^{8n+4}+3^{4n+2}$=5^{4(2n+1)}+3^{2(2n+1)}=625^{2n+1}+9^{2n+1}$
y ya esta porque si la potencia fuera uno seria 625+9=634, y si la potencia fuera 2 o mas seguiría siendo multiplo de 634, por lo tanto $5^{8n+4}+3^{4n+2}$ es multiplo de 634
Bueno, tenemos que demostrar que (n^3-n)(5^(8n+4)+3^(4n+2)) es multiplo de 3804.
ResponderBorrarBueno, primero se me ocurrio factorizar:
3804=2·2·3·317
Luego factorice la ecuacion dada...entonces me da: (n)(n+1)(n-1)(5^(2(4n+2))+3^(2(2n+1))), entonces sabemos que son 3 números consecutivos en la primer parte de la ecuacion, por lo cual esto nos indica que es multiplo de 3, entonces tachamos el primer factor, ya nos vamos acercando :D
Y nos fijamos que si n es par o impar, es un múltiplo de 4, entonces tachamos un factor 2 del 3804, ya vamos a la mitad :D
Luego, sin perdida de generalidad sabemos que independientemente del valor de n, la elevacion al cuadrado de ambos terminos en la segunda parte de la ecuacion es par, lo cual no nos dice nada...
Bueno, si tomamos la factorizacion de la segunda parte de la ecuacion, tenemos que si la elevacion que esta en parentesis...(2^n+4) y (2^n+1) respectivamente da 1 como resultado, entonces tenemos: (5^3+3^2)=625+9=634=317·2 entonces sea cual sea la elevacion va a ser multiplo de 634 o 317·2
Por lo cual demostramos que:
(n^3-n)(5^(8n+4)+3^(4n+2)) es multiplo de 3804.
(n^3-n){(5^(8n+4))+(3^(4n+2))}
ResponderBorrarPrimero podemos factorizar 3804 en: 2x2x3x317 .
Luego notamos que:(n^3-n)=(n(n^2-1))= n(n-1)(n+1) por lo tanto es una multiplicacion de tres numeros consecutivos y por consiguiente encontramos que esos tres numeros pueden ser divididos entre 2 y 3 ... asi que de la factorizacion 2x2x3x317 podemos quitar un dos y un tres que sabemos que si divide y quedaria por demostrar 2x317...
((5^(8n+4))+(3^(4n+2))) = ((5^4(2n+1))+(3^(4n+2))) = 625^(2n+1) + 9^(2n+1)
625 es congruente a 1 mod 4
9 es congruente a 1 mod 4
625+9=634
634 es congruente a 2 mod 4
y es dos veces 317 entonces eliminamos el siguiente dos y queda PD múltiplo de 317
317 es congruente a 2 mod 4
625^x + 9^x es congruente a 2 mod 4 ("X" es cualquier exponente)
Entonces 625^(2n+1) + 9^(2n+1)es congruente a 2 mod 4
ENTONCES 317 también divide y hemos terminado por comprobar que (n^3-n){(5^(8n+4))+(3^(4n+2))} es múltiplo de 3804..
Perdón por la hora pero no podía abrir la pagina estuve a punto de reportarme con mi solución directamente con Isaí pero finalmente abrió.. Espero no tener problemas así frecuentemente porque las publicaciones de los demás no aparecen, aunque dice que hay 10 comentarios no sale mas que el problema. En fin, ojala que no sea cotidiano. Saludos.
Santos Armando Castillo Márquez
Comence sacando el producto de la ecuacion, y empece a sacar valores que luego me di cuenta de que no me servian de nada, luego comence a descomponer valores, en el que descompuce el (n^3-n) en (n(n+1)(n-1)), suponiendo que le damos un valor a cada uno, nos quedan tres numeros consecutivos tales que, uno sera congruente con 0(mod3), otra con 1(mod3) y otra con 2(mod3), al sacar el producto de los valores saldra que (n(n+1)(n-1))≡0(mod3), por lo que tenemos que (n^3-n) es multiplo de 3.
ResponderBorrarLuego descompuse el valor ((5^8n+4)+(3^4n+2)) en varios valores hasta darme cueta de que en(5^4(2n+1))+(3^2(2n+1)coincidian los exponentes, y creí que me seria de utilidad, al tener (625^(2n+1))+(9^(2n+1) me quede atorado un rato, no sabia de que me servirian estos valores, ya que no los podia juntar ya que eran numeros distintos aunque tenian igual exponente, pero eso no me serviria de nada. Pero recorde el paso anterior en el que saque multiplo, entonces llegue a que (5^4+3^9) por un valor X, en el que X es igual cada uno de estos valores a la n, ya que 5^4 y 3^9, estan elevaros a la 1, y pide que esten elevados a la n+1, por lo que el 1 se elimina y tienen que estar elevados a la n, esto es igual a (625^(2n+1))+(9^(2n+1), y como queremos sacar multiplo de esto, tenemos que 5^4+3^9=634, el valor X lo ignoramos por lo que tenemos, con lo de la ecuacion anterior, 634*3=Y, realmente me quede trabado un rato, ya que no supe de que me servia esto, pero me daba cuenta de que 634*3=1902, que si lo multiplicamos por 2 sale a 3804, por lo que sabia que todo esto me habia servido de algo y que el 2 me debia servir, pero no sabia como hasta que decidi ayudarme un poco por las demas respuestas y me di cuenta de que en el primer termino que saque, (n(n-1)(n+1) no solo es multiplo de 3, tambien de 6, ya que como ya sabemos que es de 3, si es par tambien sera de 6, y como son 3 numeros consecutivos los unicos casos posibles serian PAR*IMPAR*PAR o IMPAR*PAR*IMPAR, en ambas el produco sera par, por lo que es multiplo de 6, y ahi tenemos el 2 que buscabamos, ya que 2*3*634, que son puros multiplos de la ecuacion (n^3-n)((5^8n+4)+(3^4n+2)), y como estos multiplos tienen como producto el 3804, entonces 3804 es multiplo de esta ecuacion.
3804=2*2*3*317=2*3*634
ResponderBorrarN^3-N se puede expresar como N(N+1)(N-1) y eso nos dice que N^3-N es multiplo de 2 y 3. luego se puede factorizar 5^(8N+4)+3^(4N+2) como (5^4(2N+1)+3^2(2N+1)) y eso da 625^(2N+1)+9^(2n+1). con cualquier elevacion que se haga, como ambos numeros estan elevados a la misma potencia, se pueden sumar a 634. y es el ultmo factor que necesitabamos para demostrar que se cumplia.
Por induccion tenemos que:
ResponderBorrarpara el numero 1 se cumple porque 1^3-1=0
y como 0 por cualquier numero es 0 y 0 entre cualquier numero es 0
entonses para n debe cumplir
al demostrar que para n+1 cumplia obtube:
((n+1)^3-(n+1))(5^{8(n+1)+4}+3^{4(n+1)+2})
lo desarrolle,
(n^3+3n^2+2n)(5^{8n+12}+3^{4n+6}
(n^3+3n^2+2n)(5^{4(2n+3)}+3^{2(2n+3)})
(n^3+3n^2+2n)(625^{2n+3}+9^{2n+3})
(n^3+3n^2+2n)(634^{2n+3})
despues le por descomposicion canonica me quedo que 3408=634*3*2
como 634 elevado a cualquier potencia va a ser divisible entre 634 solo me falta probar que n^3+3n^2+2n es divisible entre 3*2
n^3≡3n^2 (mod 2)
3n^2≡2n (mod 2)
3n^2≡2n (mod 3)
con eso tenemos que n^3+3n^2+2n es divisible entre 6
@Antonio López: Bien! , aunque no está bien terminado (o explicado) porque si la potencia de lo que te queda al final es 2, "eso" te queda congruente con 162 mod 625, pero por ahí va.
ResponderBorrar@Martín Contreras Carrera: Está bien, como ayuda, si ya tienes que 2 divide al primer “factor” y también al segundo, entonces 4 divide a todo!! :D … y no olvides utilizar descomposición en primos en los problemas de este tipo n_n
@Alberto: Yeah! … pero tienes un errorcito (de dedo supongo) en el tercer igual del segundo párrafo… :)
@Chuyito_ito: Super, lo de la k sirve porque supongo que estamos pensando en la misma factorización pero procura especificar… pd: tu nickname me encanta, se me hace muy chistoso xD.. :)
@Luis Chacón: :)
@Luis Carlos García: Vas bien, intenta jugar con los numeritos de lo de la izquierda n_n
@Ricardo G: No entendí por qué es múltiplo de 4, y siendo así porque solo quitas un factor 2, tampoco la parte de por qué es múltiplo de 317, si pudieras intentar escribirlo un poco más detallado por favor n_n
@Santos Armando: No entendí la parte de que 317 divide a todo eso, podrías revizar?
@Padilla: Quiero suponer que utilizaste la misma factorización que Alberto para concluir que es múltiplo de 634, pero creo que la explicación en esto está un poco floja, te recomiendo ser lo más específico que puedas para evitar confusiones … por cierto me encantó tu solución a manera de historia, muy divertida de leer xD
@Alberto Ponce: Lo último que pusiste se cumple para cualquier valor de n pero no para cualquier exponente, y no está claro por qué pasa, que estén elevados a la misma potencia no quiere decir que se puedan sumar, si te refieres a la factorización que han utilizado más arriba (creo que usaron) solo es posible si el exponente es impar y hace falta especificar.
@Alan Salcido: Interesante que hayas utilizado inducción jaja, en efecto al parecer este problema se termina con ello pero en tu solución hay varios errores, no quiero ahondar en términos generados por usar inducción así que solo te pido que revises donde pudiste usar las siguientes cosas falsas: a^x + b^x = (a+b)^x , 3n^2 no necesariamente es congruente a 2n mod2, ni tampoco mod3, sigue intentando, si no con inducción con cualquier otra cosa n_n
Sigan con el trabajo duro, muy bien!!! n_n
Error de dedo =P
ResponderBorrar$= 625^{2n+1} + 9^{2n+1}$
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ResponderBorrarEstoy teniendo problemas con Latex y mis comentarios no están luciendo de manera correcta. Disculpen las molestias.
ResponderBorrarTenemos que:
3804 = 6*634
n^3–n congruente a 0 mod2 y,
n^3–n congruente a 0 mod3.
Por lo tanto n^3–n es múltiplo de 6. Y para resolver el problema, 5^{8n+4} + 3^{4n+2} debe ser múltiplo de 634.
Al desarrollar la ecuación obtenemos:
5^{8n+4} + 3^{4n+2}
= 5^4{2n+1} + 3^2{2n+1}
= (5^4)^{2n+1} + (3^2)^{2n+1}
= 625^{2n+1} + 9^{2n+1}
Este 625^{2n+1} + 9^{2n+1} debe ser múltiplo de 634.
Al estar estos dos valores elevados a la misma potencia, y ser 2n+1 impar podemos igualar esa ecuación a:
(625+9)*(625^{2n} – 625^{2n-1}*9 + … - 625*9^{2n-1} + 9^{2n})
Por lo tanto 634 divide a 5^{8n+4} + 3^{4n+2}, que multiplicado por n^3–n, se prueba que para cada numero natural n se cumple que la ecuación inicial es múltiplo de 3804.
No se si esta otra solución sea de valor.
Al saber que:
3804 congruente a 0 mod3 y,
n^3–n congruente a 0 mod3
Al multiplicar n^3-n, por 5^{8n+4} y 3^{4n+2}. Ambos productos serán equivalentes a 0 mod3. Al sumarlos seguirán siendo equivalentes a 0 mod3, al igual que 3804. Y con esto quedaría resuelto el problema.
@Alejandro Reyes: Está bien tu primera solución, sin embargo te faltó explicar por qué $n^3-n$ es divisible por 2 y 3, lo mencionas y seguramente sabes porque (espero :P ) pero igual es necesario que expliques esa parte... y lo último que pusiste lo único que se demuestra es que el producto es múltiplo de 3, ammm ... creo (quizá no entiendo y me equivoco) que es como decir que 4 es congruente a 0 mod2 y también 6, por lo tanto 4 divide a 6, que claramente no es cierto, y luego no se que quisiste decir con "sumarlos", ... pero bueno.. lo primero sí está bien xD ... espero que corrijas los detallitos que te mencioné para ponerte tu carita feliz :P
ResponderBorrarPor el Pequeño Teorema de Fermat:
ResponderBorrar$n^3 \equiv n \pmod{3}$
$\Rightarrow$ $n^3 - n \equiv 0 \pmod{3}$
Y por paridad:
Si $n$ es par, $n^3$ también sera par.
Si $n$ es impar, $n^3$ también sera impar.
$\Rightarrow$ $n^3 - n \equiv 0 \pmod{2}$
Por Teorema de Fermat, una disculpa.
ResponderBorrar@Jaja muy bien, ya te pongo tu carita feliz.... :)
ResponderBorrarEste problema es de la primera OMM :P
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