Considera el triangulo $ABC$ con circuncentro $O$. Sea $D$ la interseccion de la bisectriz del angulo $A$ con $BC$. Demuestra que $OA$, la mediatriz de $AD$ y la perpendicular a $BC$ que pasa por $D$ son concurrentes.
Suerte en este problema y Echenle ganas! recuerden lo que les dijo Isai, faltan 45 días para el nacional!, ya es muy poco tiempo y a estas alturas deben de estar poniendo todo su esfuerzo.
Saludos
Manuel.
Llamamos $P$ a la interseccion de la mediatriz de $AD$ con $AO$, y $Q$ la interseccion de la bisectriz con el circuncirculo.
ResponderBorrarQueremos que $P$ este sobre la perpendicular a $BC$ por $D$.
Como $P$ esta en la mediatriz, $\triangle APD$ es isosceles y $\angle DAP = \angle PDA$
$OA=OQ$ porque son radios, entonces $\triangle AOQ$ es isosceles y $\angle OAQ = \angle OQA$
Entonces $\angle OQA = \angle PDA$, por lo tanto $PD$ es paralela a $OQ$.
Como $Q$ es punto medio del arco $BC$, $OQ$ es perpendicular a $BC$. Como son paralelas, $PD$ tambien es perpendicular a $BC$.
Eso queriamos, entonces las 3 rectas si concurren.
suponiendo que las rectas que nos dicen no concurren en un mismo punto llamamos F la intersección de AO y la mediatriz de AD, y llamamos E la interseccion de la perpendicular a BC que pasa por D y la mediatriz a AD. entonces tenemos que el triangulo AGF es semejante con el triangulo AGE porque comparten un mismo lado y un mismo angulo enotnces GF/FA=GE/EA, FA/AG=EA/AG y como es obio que AG=AG entonces GF=GE pero F y E son colineales porque ambos estan sobre la mediatriz a AD entonces el punto F es igual al punto E y entonces las tres rectas si concurren en un mismo punto
ResponderBorraralberto...:)
ResponderBorrarantonio lopez... Cual es el punto G?
G es el punto medio de AD de donde parte la mediatriz
ResponderBorrarLlamé M al punto medio de AD, E a la intersección de AO y la mediatriz, y E' a la de la perpendicular a BC y la mediatriz. Primero trazé el circuncirculo de ABC y prolongué AO y AD hasta cortarlo en F y G respectivamente; como AD es bisectriz entonces <CAG=<GAB, los arcos CG y GB son iguales y por tanto tambien los segmentos CG y GB, con esto el triangulo CBG es isosceles y la mediatriz de BC pasa por O y G; como <FOG y <FAG abren el mismo arco FOG es el doble de FAG. Nombré H a la intersección de BC con OF, e I a la interseccion de BC con OG; como HOI es semejante a HJD (J=intersección de la perpendicular a BC con AE) por AA (comparten un angulo y ambos tieen un angulo recto), <HOI=<HJD=2<HAD; <DJA es igual a <AEM+<DE'M (con una paralela a CJ que pase por E se crea un triangulo semejante a DAJ y uno a DJM y ahi se aprecia esto), como los angulos de un triangulo suman 180, <DJA+<JAD+<ADJ=180, pero tambien <DJA+<DJH=180 por lo que <DJA+<JAD+<ADJ=<DJA+<DJH y <JAD+<ADJ=<DJH, pero como ya demostre <HJD=2<JAD, entonces (1/2)<DJH+<ADJ=<DJH y <ADJ=(1/2)<DJH=<JAD, por tanto DE'M y AEM son congruentes por ALA (<JDA=<JAD, DM=MA porque M es punto medio, <EMA=90=<E'MD), entonces como E y E' están sobre la mediatriz y ME=ME' por la congruencia en los triángulos, E=E' y por tanto las tres lineas concurren.
ResponderBorrarTrazando el circuncirculo, puse a M como la interceccion de AD con la circunferencia, R a la interseccion de la mediatriz de AD con la perpendicular a CB por D, y Q a la interseccion de la mediatriz con el circuncentro.
ResponderBorrarPrimero tenemos que el triangulo DQA es isoceles por ser la misma distancia de A y de D por ser su mediatriz, por lo que: <ADQ=<QAD.
El triangulo MOA tambien es isoseles por partir de O que es el centro del circulo y AO y OM ser radios, por lo que <OMA=<OAM, y como Q pasa por OA y D por MA, <OAM=<QAD por lo tanto, <OMA=<ADQ, y como los 2 angulos forman parte de la misma recta, las rectas OM y DQ son paralelas.
M divide el arco CB en 2 arcos iguales por lo que, partiendo del centro O, CB será perpendicular a OM, y como ya tenemos que OM es paralelo con DQ, DQ es perpendicular a CB, y como pasa por D, entonces el punto P y el punto R son el mismo punto, por lo que si concurren.
antonio lopez...Dices que 2 triangulos son semejantes por tener un lado y un angulo en comun, sin embargo LA no es un criterio de semejanza porque no es suficiente que 2 triangulos tengan eso en comun para ser semejantes.
ResponderBorrarLuis Chacon...:)
Padilla...:)