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miércoles, 28 de septiembre de 2011
Problema del dia. Algebra.
Uno fácil:
Sea $\frac{x}{y}$ una fraccion que satisface $\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$, con $x,y$ números naturales. Encuentre la fracción que tiene menor denominador.
bueno yo digo que el que tiene menor denominador es 1/49 porque digamos que la fraccion x/y es la que tiene menor denominador si tuviera el menor denominador esta seria mayor que 1/49 porque como dice que x,y son naturales pues entonces seria mayor, porque y seria menor que 49 y x el menor numero que puede ser es 1 porque debe ser natural y al ser mayor que 1/49 no se cumpliria que 41/20101/49 y esto seria igual a X/Y>1/49 y aqui no estaria cumpliendo la relacion
multiplique 49*2010 y dio 98490 y 41*49=2009 entonces: (2009/98490)<(X/Y)<(2010/98490) etonces debemos encontrar una fraccion entre las anteriores. al multiplicar por 2/2 tenemos (4018/196980)<(X/Y)<(4020/196980) y 4019/196980 cumple, pero no se sabe si es el menor denominador. debemos encontrar un x entre 2009k y 2010k que pueda dividirce entre el mayor numero de factores de 98490. 98490=2*3*5*7*7*67 y a esto de le agrega k esto es lo que llevo hasta ahora.
la fracion 41/2010 ya no se puede simplificar mas ya que 41 es primo y 41 no divide a 2010 y entonces 41 y 2010 son primos relativos. y tambien nos fijamos que 1/49=41/2009 y tenemos que 41/2010 < x/y < 41/2009 y debemos encontrar una fraccion entre las anteriores entonces le seguimos aumentando y lo multiplique por 2 y queda 82/4020 < x/y < 82/4018 y la fraccion que queda entre estas dos es 82/4019 sabiendo que va a ser la menor porque ya habia dicho que 41/2010 no se podia simplificar y luego solo la multiplique por 2 entonces ya nada mas nos fijamos si se puede simplificar mas la fraccion de 82/2019 y no se va a poder porque el MCD(82,4019)= MCD(41,1)=1 enotnces la fraciion menor para x/y es 82/2019
Vemos que $\frac{41}{2010}$ no se puede factorizar por ser $41$ y $2010$ primos relativos. Además, $\frac{1}{49} = \frac{41}{2009}$. Entonces, $(\frac{41}{2010} = \frac{82}{4020}) < \frac{x}{y} < (\frac{41}{2009} = \frac{82}{4018}) $. Se nos facilita un poco el trabajo al tener numeradores iguales, ya que obtenemos que la fracción $\frac{x}{y}$ debe ser igual a $\frac{82}{4019}$. El menor numerador posible será $4019$, ya que no es posible factorizar esta última fracción.
Yo primero vi casos chicos que son similares. por ejemplo 2/5<x/y<1/2 donde el menor valor posible de y es 7 con x=2; también vi el ejemplo de 1/3<x/y<1/2 donde la menor y es 5 con x=2. Vi que en ambos casos x es igual a la suma de los dos numeradores e y la suma de los denominadores y ademas es el menor denominador posible. Entonces vi si se cumple con todos, lo escribí a/b<(a+1)/(b+y)<1/y que es la forma de la desigualdad que dan, tomé a/b<1/y y saqué que ay<b, luego tomé a/b<(a+1)/(b+y) y saqué que ab+ay<ab+b se cancelan los ab y tenemos ay<b que es cierto, tomé (a+1)/(b+y)<1/y y saqué que ya+y<b+y se cancelan las y y queda ay<b que es cierto, por tanto la desigualdad es cierta, entonces un posible valor de x/y es 42/2059 donde es cierto que 41/2010<42/2059<1/49. Sólo queda demostrar que 2059 es el menor denominador posible pero no se bien como hacerlo. Hasta ahora llevo que y debe ser mayor a 49 porque si fuera menor, como x es mayor o igual a 1 x/y seria mayor a 1/49, y obviamente "y" no puede ser igual a 49 porque entonces x/y seria igual o mayor a 1/49. Pero no se como seguir.
No se si tengo bien interpretado el problema pero yo llegue a que como nos pide un numero entre 41/2010 y 1/49 entonces: Como 41/2010 no puede simplificarse en una expresion con denominador mas pequeño porque 41 es primo y no es divisor de 2010, entonces trate de poner el denominador de 1/49 lo mas aproximado posible a 2010, por lo que me salio que; 49*41=2009, por lo que tenemos que buscar una expresion que cumpla con 41/2010<x/y<41/2009 Luego para sacar un valor entre estos 2 numeros lo que hice fue multiplicar ambos valores por 2, por lo que me salio que: 82/4020<x/y<82/4018, por lo que x/y expresado con numeros naturales seria 82/4019, que si cumple con la relacion, pero no se como desmostrar que 4019 es el minimo denominador posible, por ahora jeje
@martin: quise encontrarle algo a tu comentario, pero practicamente lo que mencionas es dar un candidato.. y luego decir que no cumple... sigue trabajando en algo mas concreto.
@alberto ponce: tu metodo para encontrar una fraccion que cumple es interesante, pero como te daras luego cuenta, hace que tanto tu numerador como tu denominador crezcan de una manera rapidisima, lo que nos aleja de cierta forma cada vez mas de la respuesta. Considera las formas mas simples de tus fracciones iniciales y trabaja en ello, o si ya llevas buen avance con lo que habias comenzado, te invito a que lo publiques en este espacio.
@Antonio: los argumentos que das no son suficientes para decir que ese es tu menor denominador (que es lo que realmente te pide el problema). Continua considerando una prueba un poco mas convincente de que realmente no hay uno mas chico.
@Alex: lo mismo que a Antonio. Porqué lo que dices deberia ser suficiente para afirmar que la fraccion que proporcionas contiene al minimo denominador posible?
@Alberto Astiazaran: muy bien.
@Padilla: vas por buen camino, continua intentando pruebas concretas para argumentar totalmente que alguna fraccion que tengas sea la menor.
@Luis chacon: vas por muy buen camino, uno de los metodos para demostrar que alguna cantidad es la menor es suponer que existe alguna mas chica y llegar al final a una contradiccion, en el peor de los casos podrias atacar al problema por esa via para poder concluir de manera satisfactoria.
yo cuando vi el problema se me hizo muy simple pensar en que pudiera ser 1/50 lo que nos pedian, pero despues de un buen rato de tratar de encontrarle forma me di cuenta que eso era mucho menor que 41/2010 despues, lo que hice fue sacar comun denominador y me dio 2009/98490<x/y<2010/98490, lo cual es irreducible ya que 49 y 2010 son primos relativos, asi que su producto es su mínimo comun múltiplo. despues lo que trate de hacer fu encontrar una fracción similar con la que fuera mas facil trabajar. no se si vaya por buen camino pero es lo que llevo, despues seguire intentandolo
@luis carlos: mas que tratar de encontrar una fraccion e intentar ver si es la mas chica (proceso exhaustivamente largo), te recomiendo que procedas de manera algebraica (vaya, al fin y al cabo el problema es de algebra). Utiliza las cotas que ya tienes para poder proceder.
bueno yo digo que el que tiene menor denominador es 1/49 porque digamos que la fraccion x/y es la que tiene menor denominador
ResponderBorrarsi tuviera el menor denominador esta seria mayor que 1/49 porque como dice que x,y son naturales pues entonces seria mayor, porque y seria menor que 49 y x el menor numero que puede ser es 1 porque debe ser natural
y al ser mayor que 1/49 no se cumpliria que 41/20101/49 y esto seria igual a X/Y>1/49 y aqui no estaria cumpliendo la relacion
multiplique 49*2010 y dio 98490 y 41*49=2009 entonces:
ResponderBorrar(2009/98490)<(X/Y)<(2010/98490)
etonces debemos encontrar una fraccion entre las anteriores. al multiplicar por 2/2 tenemos
(4018/196980)<(X/Y)<(4020/196980)
y 4019/196980 cumple, pero no se sabe si es el menor denominador. debemos encontrar un x entre 2009k y 2010k que pueda dividirce entre el mayor numero de factores de 98490.
98490=2*3*5*7*7*67 y a esto de le agrega k
esto es lo que llevo hasta ahora.
la fracion 41/2010 ya no se puede simplificar mas ya que 41 es primo y 41 no divide a 2010 y entonces 41 y 2010 son primos relativos. y tambien nos fijamos que 1/49=41/2009 y tenemos que
ResponderBorrar41/2010 < x/y < 41/2009 y debemos encontrar una fraccion entre las anteriores entonces le seguimos aumentando y lo multiplique por 2 y queda 82/4020 < x/y < 82/4018 y la fraccion que queda entre estas dos es 82/4019 sabiendo que va a ser la menor porque ya habia dicho que 41/2010 no se podia simplificar y luego solo la multiplique por 2 entonces ya nada mas nos fijamos si se puede simplificar mas la fraccion de 82/2019 y no se va a poder porque el MCD(82,4019)= MCD(41,1)=1 enotnces la fraciion menor para x/y es 82/2019
Vemos que $\frac{41}{2010}$ no se puede factorizar por ser $41$ y $2010$ primos relativos. Además, $\frac{1}{49} = \frac{41}{2009}$. Entonces, $(\frac{41}{2010} = \frac{82}{4020}) < \frac{x}{y} < (\frac{41}{2009} = \frac{82}{4018}) $. Se nos facilita un poco el trabajo al tener numeradores iguales, ya que obtenemos que la fracción $\frac{x}{y}$ debe ser igual a $\frac{82}{4019}$.
ResponderBorrarEl menor numerador posible será $4019$, ya que no es posible factorizar esta última fracción.
perdon pero me equivoque en mi comentario puse al final 82/2019 2019 en vez de 82/4019
ResponderBorrarYo primero vi casos chicos que son similares. por ejemplo 2/5<x/y<1/2 donde el menor valor posible de y es 7 con x=2; también vi el ejemplo de 1/3<x/y<1/2 donde la menor y es 5 con x=2. Vi que en ambos casos x es igual a la suma de los dos numeradores e y la suma de los denominadores y ademas es el menor denominador posible. Entonces vi si se cumple con todos, lo escribí a/b<(a+1)/(b+y)<1/y que es la forma de la desigualdad que dan, tomé a/b<1/y y saqué que ay<b, luego tomé a/b<(a+1)/(b+y) y saqué que ab+ay<ab+b se cancelan los ab y tenemos ay<b que es cierto, tomé (a+1)/(b+y)<1/y y saqué que ya+y<b+y se cancelan las y y queda ay<b que es cierto, por tanto la desigualdad es cierta, entonces un posible valor de x/y es 42/2059 donde es cierto que 41/2010<42/2059<1/49.
ResponderBorrarSólo queda demostrar que 2059 es el menor denominador posible pero no se bien como hacerlo. Hasta ahora llevo que y debe ser mayor a 49 porque si fuera menor, como x es mayor o igual a 1 x/y seria mayor a 1/49, y obviamente "y" no puede ser igual a 49 porque entonces x/y seria igual o mayor a 1/49. Pero no se como seguir.
No se si tengo bien interpretado el problema pero yo llegue a que como nos pide un numero entre 41/2010 y 1/49 entonces:
ResponderBorrarComo 41/2010 no puede simplificarse en una expresion con denominador mas pequeño porque 41 es primo y no es divisor de 2010, entonces trate de poner el denominador de 1/49 lo mas aproximado posible a 2010, por lo que me salio que; 49*41=2009, por lo que tenemos que buscar una expresion que cumpla con 41/2010<x/y<41/2009
Luego para sacar un valor entre estos 2 numeros lo que hice fue multiplicar ambos valores por 2, por lo que me salio que:
82/4020<x/y<82/4018, por lo que x/y expresado con numeros naturales seria 82/4019, que si cumple con la relacion, pero no se como desmostrar que 4019 es el minimo denominador posible, por ahora jeje
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ResponderBorrar$\frac{x}{y} \textless \frac{1}{49}$
ResponderBorrarEntonces $49x \textless y$
Expresamos $y=49x+a$, donde $a \in \mathbb{N}$ y $a \geq 1$.
$\frac{41}{2010} \textless \frac{x}{y}$
$\frac{41}{2010} \textless \frac{x}{49x+a}$
$41 \cdot (49x+a) \textless 2010x$
$2009x + 41a \textless 2010x$
$41a \textless x$
Como $a \geq 1$
$x > 41a \geq 41 \cdot 1= 41$
Entonces $x \geq 42$
Y como $y > 49x$
$y > 49x \geq 49 \cdot 42 = 2058$
Entonces $y \geq 2059$, que es cuando $\frac{x}{y} = \frac{42}{2059}$
@martin: quise encontrarle algo a tu comentario, pero practicamente lo que mencionas es dar un candidato.. y luego decir que no cumple... sigue trabajando en algo mas concreto.
ResponderBorrar@alberto ponce: tu metodo para encontrar una fraccion que cumple es interesante, pero como te daras luego cuenta, hace que tanto tu numerador como tu denominador crezcan de una manera rapidisima, lo que nos aleja de cierta forma cada vez mas de la respuesta. Considera las formas mas simples de tus fracciones iniciales y trabaja en ello, o si ya llevas buen avance con lo que habias comenzado, te invito a que lo publiques en este espacio.
@Antonio: los argumentos que das no son suficientes para decir que ese es tu menor denominador (que es lo que realmente te pide el problema). Continua considerando una prueba un poco mas convincente de que realmente no hay uno mas chico.
@Alex: lo mismo que a Antonio. Porqué lo que dices deberia ser suficiente para afirmar que la fraccion que proporcionas contiene al minimo denominador posible?
@Alberto Astiazaran: muy bien.
@Padilla: vas por buen camino, continua intentando pruebas concretas para argumentar totalmente que alguna fraccion que tengas sea la menor.
@Luis chacon: vas por muy buen camino, uno de los metodos para demostrar que alguna cantidad es la menor es suponer que existe alguna mas chica y llegar al final a una contradiccion, en el peor de los casos podrias atacar al problema por esa via para poder concluir de manera satisfactoria.
ResponderBorrarUn saludo.
yo cuando vi el problema se me hizo muy simple pensar en que pudiera ser 1/50 lo que nos pedian, pero despues de un buen rato de tratar de encontrarle forma me di cuenta que eso era mucho menor que 41/2010
ResponderBorrardespues, lo que hice fue sacar comun denominador y me dio 2009/98490<x/y<2010/98490, lo cual es irreducible ya que 49 y 2010 son primos relativos, asi que su producto es su mínimo comun múltiplo. despues lo que trate de hacer fu encontrar una fracción similar con la que fuera mas facil trabajar. no se si vaya por buen camino pero es lo que llevo, despues seguire intentandolo
@luis carlos: mas que tratar de encontrar una fraccion e intentar ver si es la mas chica (proceso exhaustivamente largo), te recomiendo que procedas de manera algebraica (vaya, al fin y al cabo el problema es de algebra). Utiliza las cotas que ya tienes para poder proceder.
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