Hay $nk+k-1$ duendes. Al principio cada duende tiene exactamente $n$ amigos entre los demás duendes. Cada día cada duende se convierte en amigo de los amigos de sus amigos. Prueba que después de infinitos días no pueden existir $k$ o más grupos de amigos
En si, tengo que demostrar que despues de infinitos dias todos los dundes se conocen?
ResponderBorrarno que despues de infinitos dias no hay mas de k grupos donde los duendes de un grupo no conocen a los de otro
ResponderBorrarSupongamos que hay al menos $k$ grupos al final.
ResponderBorrarEl promedio de duendes por grupo es
$\leq \frac{nk+k-1}{k} = n+1- \frac{1}{k}$
Por casillas de promedio, uno de los grupos va a tener menor igual del promedio, entonces va a tener maximo $n$. Pero al principio cada duende era amigo de otros $n$, entonces su "grupo" de amigos inicial era de $n+1$, contandolo a el mismo, y en el grupo que mencionamos habia $n$.
Por lo tanto nuestra suposición de que si se puede es falsa, y no pueden existir $k$ o mas grupos.
El menor de los grupos de amigos que puede formarse es de n+1 duendes, en el que los n amigos de un duende serían todos amigos entre sí al inicio. Si hubiera k grupos, entonces tendrían que haber k(n+1)=nk+k duendes, pero solo hay nk+k-1 duendes, por lo que al menos un grupo debería ser de máximo n duendes para que hubiera k grupos, pero el mínimo de duendes por grupo es de n+1 por lo que hay menos de k grupos.
ResponderBorrarbueno lo primero que hize fue factorizar kn+k-1 en k(n+1)-1 entonces me di cuenta que al iniciar hay k-1 grupos de n+1 duendes y un grupo de n duendes por el -1 que hay en el numero de duendes entonces cuando pasen infinitos dias entonces cada que pase un dia el grupo de n va conocer n personas mas pero faltara 1 y cuando se conoscan los k-1 grupos mas habra k-1 duendes que el grupo de n no conocio
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ResponderBorrartenemos que al principio abrian menos de k grupos de n+1 duendes
ResponderBorrarenyonces tenemos que si existieran k grupos serian de n+1-(1/k) duendes que es menos de lo del principio y tiene que ser mas de lo del principio y entonces tenemos que si fueran k-1 que serian de n+1+ un numero x pero a lo que qiero llegar es que si fueran menos de k grupos la cantidad de duendes serian mas de n+1 y eso es aceptable
por lo tanto tenemos que no puede ser k omas grupos
yo supuse que si podrán haber K o mas grupos de amigos, y cada grupo sera de por lo menos n+1 duendes entonces sabemos que hay (K)(n+1) duendes lo que es igual a que hay NK+K duendes pero nos dicen que hay NK+K-1 duendes y aquí llegamos a una contradicción entonces no puede haber K o mas grupos de duendes
ResponderBorrardigamos que si se pueden obtener k grupos, entonces si al principio teniamos que cada duende conocia a n duendes, mas si mismo, serian n+1. si hay k grupos entonces tendriamos k(n+1)=kn+k, pero nos falta un duende que debemos restar, asi que al principio no se puede tener k grupos. si lo continuamos con el siquiente dia, tenemos que cada duende conoce a n amigos de sus n amigos, teniendo que conoce a n^2 duentes, si es que los n duendes no se conocen entre los mismos grupos, mas si mismo, y diciendo que hay k grupos seria k(n^2+1)=kn^2+k>kn+k. si hay duendes que se conocen entre si en los mismos grupos entonces conocera a n+r duendes y esto con lo anterior tambien sera mayor al primer dia. si en ningun momento se puede tener k grupos completos, entonces llegamos a la contradiccion.
ResponderBorrarCada duende tiene n amigos, los grupos por lo tanto van a ser de n+1, ya que el no se contaba entre los n, suponiendo que fueran k grupos, en algun momento, entonces el promedio de duendes por grupo seria de (nk+k-1)/k duendes que = n+1-1/k, por lo que como n+1-1/k<n+1, esto no será posible ya que cada día aumentara la cantidad de duendes por grupo o quedara igual si los amigos fueran amigos entre ellos mismos nomas, pero en ambos casos no disminuira para quedar en n+1-1/k, por lo tanto no pueden haber k grupos
ResponderBorrarsi lo hacemos por contradiccion y decimos que si hubiera un grupo al fin de infinitos dias
ResponderBorrartendriamos que el promedio de de duendes por grupo seria los duendes que hay al principio (nk+k-1)entre los grupos que serian (k)
y como dice que cada duende tiene a n amigos entonses quiere decir que no se cuenta el, por lo tanto serian n+1 duendes, entonses el promedio seria menor al total de duendes.
Como cada dia aumentaria la cantidad de duendes por grupo entonses no podria disminuir a tal grado de que los grupos queden con n duendes
la minima cantidad que esos grupos de duendes del final seria $n + 1$ ya que en ese grupo se cumple que cada duende es amigo de $n$ duendes y ya que todos son amigos entre si su numero no varia de principio a fin, ahora supongamos que al final existen $k + 1$ grupo de duendes entonces minimo deberia de haber $(n+1)(k+1) = nk + n +k +1$ duendes pero solo existen $nk + k - 1$ duendes por lo que no puede existir un numero mas grande a k
ResponderBorrarahora supongamos que hay k grupos $k(n+1) = kn + n$ sigue habiendo un duende de mas por lo que llegamos a una contradiccion y solo pueden existir un numero de grupos menores a k
En un principio cada duende conoce a $n$ otros, contándose a si mismo se obtienen $n+1$ duendes. Suponiendo existen $k$ o mas grupos de duendes.
ResponderBorrarSi existen más, suponiendo $k+1$, el total de duendes seria al menos igual a: $(k+1)(n+1)$ lo que nos da $nk + k + n + 1$. Pero solo se cuenta con $nk + k – 1$ duendes, por lo que se llega a que no es posible tener grupos más grandes a $k$.
Si fuesen exactamente $k$ grupos, donde cada uno contaría con al menos $n+1$ duendes, obtenemos: $nk + k$, un duende mas a los contados inicialmente. Queda demostrado que no es posible tener $k$ o mas grupos de amigos después de infinitos días.
**Fecha limite para la C: 21 de septiembre***
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