Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día, geometría (15 de Septiembre).

jueves, 15 de septiembre de 2011

Problema del día, geometría (15 de Septiembre).

En el triangulo rectángulo

$ABC$ con angulo recto en

$A$ , sean

$D$ y

$E$ puntos en los lados

$AC$ y

$BC$ respectivamente, tales que

$AE$ y

$BC$ son perpendiculares, y

$BD=DC=EC=1$ . Determina la longitud del lado

$AC$ .

8 comentarios:

alberto15 de septiembre de 2011, 9:50 a.m.
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alberto15 de septiembre de 2011, 9:50 a.m.
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alberto15 de septiembre de 2011, 9:52 a.m.
Mi primer problema con trigonometria =P

Sea $F$ la proyeccion de $D$ sobre $BC$ . Como $BD=DC=1$ es punto medio de $BC$ . Llamamos $\angle ACB = \theta$ .

$\cos \theta = \frac{FC}{DC}$
$DC \cdot \cos \theta = FC$
$2DC \cdot \cos \theta = 2FC = BC$
$2 \cdot 1 \cdot \cos \theta = BC$
$2 \cdot \cos \theta = BC$

$\cos \tetha = \frac{AC}{BC} = \frac{EC}{AC}$

Sustituimos estos dos valores de $\cos \theta$
$2 \cdot \cos \theta = BC$
$2 \cdot \frac{AC}{BC} = BC$
$2AC=BC^2$
$\sqrt{2AC}=BC$

$2 \cdot \cos \theta = BC$
$2 \cdot \frac{EC}{AC} = BC$
$2EC=BC \cdot AC$
$2=BC \cdot AC$
$\frac{2}{AC}=BC$

Aqui tenemos dos ecuaciones con $AC$ y $BC$ y sacar $AC$ ya es facil.
$\sqrt{2AC}=BC=\frac{2}{AC}$

$2AC=(\frac{2}{AC})^2$
$2AC= \frac{4}{AC^2}$
$2AC \cdot AC^2 = 4$
$AC^3=2$
$AC= \root {3} \of {2}$
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Marco21 de septiembre de 2011, 4:44 p.m.
Ya que cualquier olímpico del mundo puede comentar, ahí va mi solución.
Sea N el punto medio de AC. Como EN=CN, tenemos que EN es paralela a BD. Entonces 1/BC=CE/BC=CN/CD=CN/1=AC/2. De aquí AC*BC=2.
Sea M el punto medio de BC. Como AM=CM, los triángulos AMC y BDC son semejantes, de dónde BC/2=AM/1=AM/BD=AC/BC. Entonces 2AC=BC^2.
Luego, BC=2/AC=2^(1/2)*AC^(1/2).
Por lo tanto AC^3=2
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alberto21 de septiembre de 2011, 8:42 p.m.
Hola Marco :)
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Marco22 de septiembre de 2011, 4:06 p.m.
Hola Loco (; está padre tu solución con trigo, por cierto
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IwakuraIsa22 de septiembre de 2011, 6:13 p.m.
**Fecha limite para la C: 22 de septiembre***
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Alejandro Reyes12 de octubre de 2011, 10:32 p.m.
Se tiene que:
$ABC \sim EAC$
$\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{AC}$
Como $EC = 1$
$AC^2 = BC$
Sea $Z$ un punto sobre $BC$ tal que $DZ$ es perpendicular a $BC$ . Teniendo $BD = DC$ , $BDC$ es isósceles y $DZ$ es su súper línea. Por lo tanto $BZ = ZC = \frac{BC}{2}$ .
También se obtiene:
$AEC \sim DZC$
$\frac{EC}{ZC} = \frac{AC}{DC}$
Al tener $EC = DC = 1$
$\frac{1}{ZC} = \frac{AC}{1}$
$AC*ZC = 1$
Se realiza un pequeño Sistema de Ecuaciones con esta última, $AC^2 = BC$ , y $BZ = ZC = \frac{BC}{2}$ .
$AC * \frac{BC}{2} = 1$
$AC * BC = 2$
$AC * AC^2 = 2$
$AC = \root{3} \of {2}$
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Problema del día, geometría (15 de Septiembre).

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