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jueves, 15 de septiembre de 2011
Problema del día, geometría (15 de Septiembre).
En el triangulo rectángulo $ABC$ con angulo recto en $A$, sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AC$ y $BC$ respectivamente, tales que $AE$ y $BC$ son perpendiculares, y $BD=DC=EC=1$. Determina la longitud del lado $AC$.
Ya que cualquier olímpico del mundo puede comentar, ahí va mi solución. Sea N el punto medio de AC. Como EN=CN, tenemos que EN es paralela a BD. Entonces 1/BC=CE/BC=CN/CD=CN/1=AC/2. De aquí AC*BC=2. Sea M el punto medio de BC. Como AM=CM, los triángulos AMC y BDC son semejantes, de dónde BC/2=AM/1=AM/BD=AC/BC. Entonces 2AC=BC^2. Luego, BC=2/AC=2^(1/2)*AC^(1/2). Por lo tanto AC^3=2
Se tiene que: $ABC \sim EAC$ $\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{AC}$ Como $EC = 1$ $AC^2 = BC$ Sea $Z$ un punto sobre $BC$ tal que $DZ$ es perpendicular a $BC$. Teniendo $BD = DC$, $BDC$ es isósceles y $DZ$ es su súper línea. Por lo tanto $BZ = ZC = \frac{BC}{2}$. También se obtiene: $AEC \sim DZC$ $\frac{EC}{ZC} = \frac{AC}{DC}$ Al tener $EC = DC = 1$ $\frac{1}{ZC} = \frac{AC}{1}$ $AC*ZC = 1$ Se realiza un pequeño Sistema de Ecuaciones con esta última, $AC^2 = BC$, y $BZ = ZC = \frac{BC}{2}$. $AC * \frac{BC}{2} = 1$ $AC * BC = 2$ $AC * AC^2 = 2$ $AC = \root{3} \of {2}$
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ResponderBorrarMi primer problema con trigonometria =P
ResponderBorrarSea $F$ la proyeccion de $D$ sobre $BC$. Como $BD=DC=1$ es punto medio de $BC$. Llamamos $\angle ACB = \theta$.
$\cos \theta = \frac{FC}{DC}$
$DC \cdot \cos \theta = FC$
$2DC \cdot \cos \theta = 2FC = BC$
$2 \cdot 1 \cdot \cos \theta = BC$
$2 \cdot \cos \theta = BC$
$\cos \tetha = \frac{AC}{BC} = \frac{EC}{AC}$
Sustituimos estos dos valores de $\cos \theta$
$2 \cdot \cos \theta = BC$
$2 \cdot \frac{AC}{BC} = BC$
$2AC=BC^2$
$\sqrt{2AC}=BC$
$2 \cdot \cos \theta = BC$
$2 \cdot \frac{EC}{AC} = BC$
$2EC=BC \cdot AC$
$2=BC \cdot AC$
$\frac{2}{AC}=BC$
Aqui tenemos dos ecuaciones con $AC$ y $BC$ y sacar $AC$ ya es facil.
$\sqrt{2AC}=BC=\frac{2}{AC}$
$2AC=(\frac{2}{AC})^2$
$2AC= \frac{4}{AC^2}$
$2AC \cdot AC^2 = 4$
$AC^3=2$
$AC= \root {3} \of {2}$
Ya que cualquier olímpico del mundo puede comentar, ahí va mi solución.
ResponderBorrarSea N el punto medio de AC. Como EN=CN, tenemos que EN es paralela a BD. Entonces 1/BC=CE/BC=CN/CD=CN/1=AC/2. De aquí AC*BC=2.
Sea M el punto medio de BC. Como AM=CM, los triángulos AMC y BDC son semejantes, de dónde BC/2=AM/1=AM/BD=AC/BC. Entonces 2AC=BC^2.
Luego, BC=2/AC=2^(1/2)*AC^(1/2).
Por lo tanto AC^3=2
Hola Marco :)
ResponderBorrarHola Loco (; está padre tu solución con trigo, por cierto
ResponderBorrar**Fecha limite para la C: 22 de septiembre***
ResponderBorrarSe tiene que:
ResponderBorrar$ABC \sim EAC$
$\frac{AC}{EC} = \frac{BC}{AC}$
Como $EC = 1$
$AC^2 = BC$
Sea $Z$ un punto sobre $BC$ tal que $DZ$ es perpendicular a $BC$. Teniendo $BD = DC$, $BDC$ es isósceles y $DZ$ es su súper línea. Por lo tanto $BZ = ZC = \frac{BC}{2}$.
También se obtiene:
$AEC \sim DZC$
$\frac{EC}{ZC} = \frac{AC}{DC}$
Al tener $EC = DC = 1$
$\frac{1}{ZC} = \frac{AC}{1}$
$AC*ZC = 1$
Se realiza un pequeño Sistema de Ecuaciones con esta última, $AC^2 = BC$, y $BZ = ZC = \frac{BC}{2}$.
$AC * \frac{BC}{2} = 1$
$AC * BC = 2$
$AC * AC^2 = 2$
$AC = \root{3} \of {2}$