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domingo, 11 de septiembre de 2011
Problema del día Teoría de Números (12 de Septiembre)
Demostrar que un número de 9 cifras, en el que aparece cada dígito excepto 0 y termina en 5, no puede ser un cuadrado.
Yo llame al numero de 9 dígitos distintos sin 0 y que termina en 5 "N".si N fuera un cuadrado su raíz cuadrada (al cual voy a llamar X) debería terminar en 5, y X al elevarse al cuadrado terminaría en 25, entonces X terminaría en 25, el mínimo numero para X seria 10005 y el máximo 31515. La suma de los dígitos de N siempre va a ser 45 y va a ser un multiplo de 9, entonces X debe ser multiplo de 9, entonces sabemos que la máxima suma de dígitos seria la del numero 29995 que es igual a 2+9+9+9+5=34, entonces X debe sumar 9,18 o 27, y como todo X debe llevar 5 los otros 4 dígitos deben sumar 4,13 o 22. hasta ahorita llevo solo eso seguiré tratando de avanzar mas en el problema
primero, como tenemos todos los numeros excepto 0, entonces el numero debe ser multiplo de 9 porque sus digitos suman 45. luego, como termina en 5, entonces su raiz cuadrada debe terminar en 5. con lo anterior sabemos que la raiz cuadrada del numero de 9 digitos debe ser multiplo de 9 y 5, y por lo tanto de 45. y hasta ahi es lo que llevo. (:
primero llamare al numero de 9 cifras n y al numero que seria su raiz x n termina en 5 entonces x debe terminar en 5 como x termina en 5 entonces las ultimas dos cifras de n seran 25 como n tiene los numeros del 1 al 9 entonces va a ser multiplo de 9 porque 1+2+3...+9=45 como n es multiplo de 9 entonces x tambien va a ser multiplo de 9 como n es multiplo de 5 y de 9 entonces tambien va a ser multiplo de 45 y por consiguiente tambien x va a ser multiplo de 45 como n es de 9 cifrs entonces x no puede ser menor de 10005 y no mayor de 31615 como x deve ser multiplo de 9 y de 5 entonces x deve terminar en 5 y la suma de sus digitos debe ser multiplo de 9 tenemos que x podria ser 1_ _ _ 5 tambien podria ser 2_ _ _ 5 y tambien 3_ _ _ 5 eso es todo lo que he llegado pero lo seguire intentando
Bueno lo que nos dice el problema esque aparecen todos los numeros del 1-9 en un numero de 9 cifras y que el numero termina en 5, Supongamos los contrario a lo que nos dice para llegar a una contradiccion, si suponemos que si existe un numero de 9 cifras que termine en 5 y aparescan todos los numeros del 1-9 y sea un cuadrado tendremos que, por criterios de divisibilidad, tiene que ser divisible entre 9 y entre 5, entonces tenemos que sera divisible entre 45 que es el MCM que hay entre el 5 y el 9, entonces tambien tenemos que para que termine en 5 debe ser una potencia del algun numero que termine en 5, viendo desde que numero elevado hasta que numero elevado al cuadrado nos da un numero de 9 digitos, nos daremos cuenta que tendremos un rango entre, 10005 y 31615 y se toma apartir del 5 por lo que explico aqui arriba, dpues de buscar un patron cuando se multiplican numeros que terminan en 5 me di cuenta de que si el ultimo dígito de un numero es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56 con esto podemos descartar que si le precede 0 pues no cumple lo que decimos porque nos dice que el numero no contiene el digito 0 igualemente cuando precede el 06 y cuando cuando precede el 56 el 5 se repite entonces deben aparecer todos los numeros y para que todos los numeros del 1-9 se encuentren en el numero de 9 digitos ningun digito se debe repetir y nos damos cuenta que el 5 se repite porque el numero termina con 5 y luego le precede el 56 y nos quedaria algo como 565, solo nos queda el caso en donde el 2 le precede al 5, entonces y por lo que ya explique tendremos que encontrar un multiplo de 45 que termine en 25 en este caso seria 225 y al elevarlo al cuadrado nos daremos cuenta que aparecen uno que otro 0 y por eso ya esta demostrado...
Un número de 9 cifras, significa que estamos hablando de 123,467,895 por lo menos (como el mas chico posible). ahora por casos tenemos los otros 8 números (1-8) pueden acomodarse para formar 34 números distintos, ahora, la raíz del último dígito tendría que ser 5 para que al final del número grandote, acabe en 5, si se acomoda otro 5 en la penúltima cifra de la raíz, para que al final, el numerote acabe en 25, de ahí sobra 1, pero no se que hacer ahora, con esos datos...
Hasta ahora e sacado que, el número de 9 cifras sera X^2, la suma de los digitos de X^2 siempre dara 45, por lo que X≡0(mod3), por lo que para que esto de X, que es la raíz de X^2, solo puede tener 3 congruencias con modulo 3 solo puede ser X≡0(mod3) X≡1(mod3) X≡2(mod3) Como las X se multiplican en el numero de 9 cifras, entonces para que sea congruente con 0 modulo 3, X tambien tiene que ser congruente con 0 modulo 3. Tambien e sacado que X tiene que ser de 5 cifras, ya que saque la raíz del maximo X^2 posible y del menor, espero que estas ideas me sirvan de algo jeje, más tarde publico si llego a algo mas..
Llamo $N$ el numero de 9 digitos, y $M$ a su raiz cuadrada. Como $N$ termina en 5, $M$ tambien debe terminar en 5: $N=M^2=(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$ Vemos que los ultimos dos digitos de $N$ van a ser 2 y 5, y el antepenultimo va a ser la congruencia modulo 10 de $a(a+1)$ $a(a+1) \equiv 0 \cdot 1,1 \cdot 2,2\cdot 3,3 \cdot 4, 4 \cdot 5,5 \cdot 6, 6 \cdot 7, 7 \cdot 8, 8 \cdot 9, 9 \cdot 0 \equiv 0,2,6,2,0,0,2,6,2,0 \pmod{10}$ Ya tenemos el 2, y no puede ser 0, entonces solo se puede que $a \equiv 2,7$.
a) M termina en 25. $N=M^2=(100b+25)^2 =10000b^2+5000b+625 =1000(10b^2+5b)+625$ El 6to digito de $N$ va a ser $10b^2+5b \pmod{10}$ $10b^2+5b \equiv 5b \pmod{10}$ Entonces va a ser 5 o 0, pero no puede ser ninguno de los dos. En este caso no se puede.
b) M termina en 75 $N=M^2=(100b+75)^2 =10000b^2+15000b+5625 =1000(10b^2+15b+5)+625$ Y el sexto digito de $N$ va a ser $10b^2+15b+5 \pmod{10}$ $10b^2+15b+5 \equiv 5b+5 \pmod{10}$ En este caso eso tambien va a ser 5 o 0, por lo tanto no se puede formar $N$.
No estoy seguro de mi solución pero espero esté bien. Al número de 9 dígitos lo llamé N, y a la raiz, X. Como N termina en 5, entonces X también debe terminar en 5, y como la suma de dígitos de N es 45 es múltiplo de 9. Como X termina en 5, entonces X=10x+5 (x es un entero) y por tanto N=(10x+5)^2=100x^2+100x+25. 100x^2+100x+25≡25(4x^2+4x+1)≡0 mod 9, como 9 y 25 no comparten factores, entonces 9|4x^2+4x+1=4(x^2+x+1/4), y como 9 y 4 no comparten factores entonces 9|x^2+x+1/4 pero no es entero y 9 no lo puede dividir, que es una contradicción por lo que no puede ser un cuadrado.
Bueno...no he avanzado mucho, pero tengo algunas ideas:
Nuestro número de 9 cifras=n será a lo menos 123467895=m a lo más 987643215=M, entonces tenemos que m mayor o igual a n y n menor o igual a M. Tenemos que por criterios de divisibilidad es mùltiplo del 5 y del 9. Entonces es mùltiplo del 45. Buscamos la raíz de nuestro número n, este debe ser mayor a 10005 y menor a 31435. Como n termina en 5 su raíz tambien terminara en 5. Ahora...quiero saber cual es el segundo digito para ver si algun numero cumple...entonces se que es 2, ya que todo número terminado en 5, su elevación al cuadrado es a25, siendo a todos los digitos anteriores a este. Entonces...ahora vamos por el tercer digito...si, haremos talacha, ok no...hasta ahi llevo la solucion, pero no se me ocurre nada mas.
@Antonio López: ¿Cómo determinas el mínimo y máximo N? el mínimo parece claro, el máximo no tanto, y aun siendo así debes explicar… sigue intentándolo n_n
@Alberto Ponce: Trabaja más en eso, yo se que puedes llegar más lejos en este problema con un poco más de tiempo n_n
@Martín Contreras Carrera: Si n es múltiplo de 9 entonces x es múltiplo de 3 (no necesariamente de 9). Si tienes que n es múltiplo de 5, aquí si puedes decir que x es múltiplo de 5 (porque 5 no es cuadrado y si x no fuera múltiplo de x llegaríamos a una contradicción), incluso puedes decir que N es múltiplo de 25. Entonces no puedes asegurar que x es múltiplo de 45, solo de 15. Entiendo los rangos de x, pero podrías ser más explicito en tus argumentos para que no existan confusiones. Tu método de ir viendo que dígitos funcionan es una buena, sigue trabajando en eso n_n
@Irving Hernández: Muy bonita (¡excelente!) explicación al comienzo, todo muy claro… pero luego ¿Por qué los números precedentes deben ser 0, 2, 06 o 56?, de ahí ya no entendí nada xD
@Missael Hernández: ¿Cómo sacas el 34? Jeje xD
@Padilla: … sigue trabajando xD
@Alberto: excelente!! xD … :) … y gracias por corregir :P
@Luis Chacón: Tus argumentos son buenos… pero como escribió Alberto no puedes factorizar el 4 si no es factor común de “Todos” los términos, porfa intenta de nuevo el problema con lo que tenías antes de eso, vas bien n_n
@Ricardo G: Vas bien sigue trabajando n_n
Y por cierto, sería buena idea que revisaran los comentarios de los demás (si es que no lo están haciendo ya) para que vean ideas o para darse cuenta de errorcitos y no los cometan después ustedes mismos... sigan trabajando, hasta ahorita muy bien!!! :D (los que comentan claro jeje)
determine el minimo y maximo de X porque no puede ser de 4 digitos, entonces debe ser de 5 digitos y como termina en 5 el minimo es 10005 y el maximo sabemos que debe empezar en 3 y fui multiplicando y me salio que el maximo es 31615. una disculpa xq habia puesto que este ultimo era era 31515
Espero ahora si esté bien. N=número de 9 dígitos. X=raíz del número. N termina en 5, por lo que X termina en 5. X se puede escribir como (10x+5) con lo que N=100x^2+100x+25, entonces N termina en 25 y el 7° dígito de N es el último de x^2+x. Considerando x mod 10 a partir del 0, los posibles valores de x^2+x son 0,2,6,2,0,0,2,6,2,0 en ese orden, pero no puede ser 0 ni repetirse y ya habia un 2, por lo que los únicos valores posibles de x mod 10 son 2,7. Hay dos casos: 1) X=(100y+25) entonces N=10000y^2+5000y+625 y el 6° número de N sería 10y^2+5y=5y(2y+1) mod 10, aquí 2y+1 siempre será impar, si y es par entonces 5y≡0 y 5y(2y+1)≡0 mod 10; si y es impar entonces 5y≡5 y 5y(2y+1)≡5 mod 10 y ambas son contradicciones pues no puede haber 0 y ya hay un 5. 2) X=(100y+75) entonces N=10000y^2+15000y+5625 y el 6° número de N sería 10y^2+15y+5=5y(2y+3)+5 mod 10 donde 2y+3 siempre será impar y pasa lo mismo que en el caso 1 con un paso mas, si y es par entonces 5y(2y+3)≡0 y 0+5≡5 mod 10; si y es impar 5y(2y+3)≡5 y 5+5≡0 mod 10 que tambien son ambas contradicciones al problema por lo que no puede ser un cuadrado.
como termina en $5$ debe de tener dos factores $5$ para que tenga raiz por lo que el numero debe de ser divisible entre 25 y no debe tener ningun factor dos, ya que entonces terminaria en 0 y no en 5.
como $25 \cdot 4 = 100$ lo importante de la divisibilidad aqui son los ultimos 2 digitos, para que sea dibisible entre $25$ y termine en $5$ debe terminar entre $25$ ó $75$, a cualquier factor que acompañe al $25$ los nombrare $a$ donde $a \equiv 1, -1 mod 4$, $a^2 \equiv 1 mod 4$ por lo que el numero debe de terminar en $25$
si es un cuadrado se puede representar como $ b^2 + 2bc + c^2$ para allar lo que buscamos $b^2 = 25$ y $2bc + c^2 | 100$ para no afectar la suma, entonces $25 + 2(5)(10)x + (10^2)(x^2)$ entonces $100x + 100x^2$ representaría los digitos que todabia no sabemos cuales son $100x(x+1)$ por la factorizacion el siguiente digito debe de ser par y por lo que puede ser $4,6,8$ y ademas debe de ser producto de 2 numeros consecutivos, el unico numero que cumple es el 6.
en el trinomo cuadrado perfecto pongamos el $625$ $625 + 2(25)y + y^2$, $y$ para cumplir debe de tener un factor $z$ tal que $y = 4 \cdot 5^2 \cdot z$, replazamos $y$ por lo que vale y obtenemos que $625 + 5000z + 2000z^2$
como la suma de los digitos del numero que buscamos sabemos que da 45, entonces es divisible entre 9 por lo que se puede ver tambien de esta manera $625 + 5000z + 2000z^2 \equiv 0 mod 9$ y como $625 \equiv 4 mod 9$ entonces $5000z + 2000z^2$ debe de ser congruente a $5 mod 4$
$5000z + 2000z^2 \equiv 2z^2 + 5z mod 9 $
$2(0)^2 + 5(0) = 0 \equiv 0 mod 9$ $2(1)^2 + 5(1) = 7 \equiv -2 mod 9$ $2(2)^2 + 5(2) = 18 \equiv 0 mod 9$ $2(3)^2 + 5(3) = 33 \equiv -3 mod 9$ $2(4)^2 + 5(4) = 52 \equiv -2 mod 9$ $2(-4)^2 + 5(-4) = 12 \equiv 3 mod 9$ $2(-3)^2 + 5(-3) = 3 \equiv 3 mod 9$ $2(-2)^2 + 5(-2) = -2 \equiv -2 mod 9$ $2(-1)^2 + 5(-1) = -3 \equiv -3 mod 9$
ningun numero da como congruencia $5$ ó $-4$ por lo que no existe tal numero $z$ y por ende no existira raiz cuadrada para los numero que cumplan las condiciones que plantea el problema
Nombraremos al número de 9 cifras como $K$. Se conoce que en $K$ aparecen todos los dígitos excepto el 0, entonces, contiene los dígitos del 1 al 9. Si sumamos estos dígitos (1 + 2 + 3 + … + 8 + 9), obtenemos $45$, por lo que en base al Criterio de Divisibilidad del numero 9, 9 divide a $K$; ($K \equiv 0 \pmod{9}$). Ahora, también se conoce que $K$ termina en 5, por lo que base al Criterio de Divisibilidad del numero 5, 5 divide a $K$; ($K \equiv 0 \pmod{5}$). Si $K$ fuese un cuadrado (llamaremos $x$ a la raíz de $K$, tal que $x^2 = K$), y es posible dividirlo entre 9 y 5; $x$ debe cumplir con: $x \equiv 0 \pmod{3}$ y, $x \equiv 0 \pmod{5}$. Entonces tenemos que, $x^2 = K$. Se expresa $x$ de tal manera que, $x = 3*5*z$, donde $z$ es resultado de dividir $x$ entre $3*5$. Por lo tanto, al sustituir este valor de $x$ se obtiene: $(3*5*z)^2 = (15*z)^2 = K$. $(15*z)^2 = 225 + 30z + z^2 = K$ Se sabe que $K$ termina en 5, por lo que 30z y $z^2$ deben terminar en 0, para que, al realizar la suma antes expuesta, el ultimo digito de $K$ siga siendo 5. Los únicos cuadrados que terminan en 0 son aquellos que sus raíces son múltiplos de 10. (Ya que si un numero termina en 1 su cuadrado lo hará también en 1, cuando es 2 su cuadrado lo hará en 4, cuando es 3 será 9, 4 - 6, 5 - 5, … , 8 - 4 y 9 - 1.) Y con esto asegurar que $K$ siga terminando en 5. Entonces, $z$ debe ser múltiplo de 1. Se expresará ahora a $z$, como $y*10^m$. (Donde $y$ es el valor entero de $z$ de tal manera que $y$ no es múltiplo de 10, y $m$ es cualquier numero natural). Entonces sustituyendo el valor de z obtenemos: $225 + 30*y*10^m + (y*10^m)^2 = K$ Supongamos $m=2$, obtenemos: $225 + 30y*10^2 + y^2*10^4 = 225 + 3000y + y^2*10000 = K$. En este caso, sabiendo que $K$ contiene todos los dígitos excepto 0, cada digito debe aparecer solo una vez. Por lo tanto, en la ecuación $225 + 3000y + y^2*10000 = K$ debemos sumar de alguna manera una centena para que en $K$ no aparezcan dos números 2 (Refiriéndose al 2 de las centenas que aparece en 225). Y si $y$ es entero, esto antes mencionado no es posible. Por lo tanto, $m$ no debe ser mayor o igual a 2. El único caso disponible seria $m=1$, y con esto se obtiene: $225 + 30y*10^1 + y^2*100 = 25 + 300y + y^2*100 = K$. Sabiendo nuevamente que $K$ contiene todos los dígitos excepto 0, cada digito debe aparecer solo una vez. Por lo tanto, en la ecuación $225 + 300y + y^2*100 = K$, debemos sumar de alguna manera una centena para que en $K$ no aparezcan dos números 2 y que tampoco aparezcan dos números 5. Se conoce entonces que $y$ no puede terminar en 2 ya que al multiplicar $y$ por 300 en la ecuación tendríamos que sumar un 6 en las centenas, y al hacer $y^2*100$ se tendría que sumar un 4 en las centenas, lo cual que al sumarlo con el 2 que ya existe en la centenas nos daría de nuevo un 2 y se repetiría con el 2 de las decenas. Análogamente se realiza lo mismo con los demás dígitos, y se obtiene que todos los números que terminen en cada digito harían que en las centenas de $K$ hubiese un 2, que se repetiría como antes mencionado, o un 0, que esto no es permitido ya que K no contiene ni un 0. Menos con los números que terminen en 1 o en 6, en estos dos casos, en las centenas de $K$ se obtiene un 6. Por lo tanto, si $K$ es cuadrado debe terminar con 625. Regresando a lo antes demostrado, $y$ solo puede terminar en 1 o en 6. Si se comprueba que $y$ no puede terminar ni en 1 ni en 6, o que se encuentre alguna restricción el problema queda resuelto.
@Chuyito_ito: El número si termina en 25, pero no entendí el análisis que haces. Más adelante tienes que el numero de 9 cifras se puede expresar como (b+c)^2 y que para que termine en 25 b^2=25 , pero en realidad con b=17 y a=18 también termina en 25, entonces no entiendo porque sucede lo que dices… y pues de ahí según yo te basas en cosas que no son verdad producto de la suposición rara que ya te mencioné. Revisalo cuidadosamente, y si crees que está bien lo que hiciste vuélvelo a escribir de una manera más clara n_n
Yo llame al numero de 9 dígitos distintos sin 0 y que termina en 5 "N".si N fuera un cuadrado su raíz cuadrada (al cual voy a llamar X) debería terminar en 5, y X al elevarse al cuadrado terminaría en 25, entonces X terminaría en 25, el mínimo numero para X seria 10005 y el máximo 31515.
ResponderBorrarLa suma de los dígitos de N siempre va a ser 45 y va a ser un multiplo de 9, entonces X debe ser multiplo de 9, entonces sabemos que la máxima suma de dígitos seria la del numero 29995 que es igual a 2+9+9+9+5=34, entonces X debe sumar 9,18 o 27, y como todo X debe llevar 5 los otros 4 dígitos deben sumar 4,13 o 22.
hasta ahorita llevo solo eso seguiré tratando de avanzar mas en el problema
primero, como tenemos todos los numeros excepto 0, entonces el numero debe ser multiplo de 9 porque sus digitos suman 45. luego, como termina en 5, entonces su raiz cuadrada debe terminar en 5. con lo anterior sabemos que la raiz cuadrada del numero de 9 digitos debe ser multiplo de 9 y 5, y por lo tanto de 45. y hasta ahi es lo que llevo. (:
ResponderBorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarprimero llamare al numero de 9 cifras n y al numero que seria su raiz x
ResponderBorrarn termina en 5 entonces x debe terminar en 5
como x termina en 5 entonces las ultimas dos cifras de n seran 25
como n tiene los numeros del 1 al 9 entonces va a ser multiplo de 9 porque 1+2+3...+9=45
como n es multiplo de 9 entonces x tambien va a ser multiplo de 9
como n es multiplo de 5 y de 9 entonces tambien va a ser multiplo de 45 y por consiguiente tambien x va a ser multiplo de 45
como n es de 9 cifrs entonces x no puede ser menor de 10005 y no mayor de 31615
como x deve ser multiplo de 9 y de 5 entonces x deve terminar en 5 y la suma de sus digitos debe ser multiplo de 9
tenemos que x podria ser 1_ _ _ 5 tambien podria ser 2_ _ _ 5 y tambien 3_ _ _ 5
eso es todo lo que he llegado pero lo seguire intentando
Bueno lo que nos dice el problema esque aparecen todos los numeros del 1-9 en un numero de 9 cifras y que el numero termina en 5, Supongamos los contrario a lo que nos dice para llegar a una contradiccion, si suponemos que si existe un numero de 9 cifras que termine en 5 y aparescan todos los numeros del 1-9 y sea un cuadrado tendremos que, por criterios de divisibilidad, tiene que ser divisible entre 9 y entre 5, entonces tenemos que sera divisible entre 45 que es el MCM que hay entre el 5 y el 9, entonces tambien tenemos que para que termine en 5 debe ser una potencia del algun numero que termine en 5, viendo desde que numero elevado hasta que numero elevado al cuadrado nos da un numero de 9 digitos, nos daremos cuenta que tendremos un rango entre, 10005 y 31615 y se toma apartir del 5 por lo que explico aqui arriba, dpues de buscar un patron cuando se multiplican numeros que terminan en 5 me di cuenta de que si el ultimo dígito de un numero es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56 con esto podemos descartar que si le precede 0 pues no cumple lo que decimos porque nos dice que el numero no contiene el digito 0 igualemente cuando precede el 06 y cuando cuando precede el 56 el 5 se repite entonces deben aparecer todos los numeros y para que todos los numeros del 1-9 se encuentren en el numero de 9 digitos ningun digito se debe repetir y nos damos cuenta que el 5 se repite porque el numero termina con 5 y luego le precede el 56 y nos quedaria algo como 565, solo nos queda el caso en donde el 2 le precede al 5, entonces y por lo que ya explique tendremos que encontrar un multiplo de 45 que termine en 25 en este caso seria 225 y al elevarlo al cuadrado nos daremos cuenta que aparecen uno que otro 0 y por eso ya esta demostrado...
ResponderBorrarUn número de 9 cifras, significa que estamos hablando de 123,467,895 por lo menos (como el mas chico posible). ahora por casos tenemos los otros 8 números (1-8) pueden acomodarse para formar 34 números distintos, ahora, la raíz del último dígito tendría que ser 5 para que al final del número grandote, acabe en 5, si se acomoda otro 5 en la penúltima cifra de la raíz, para que al final, el numerote acabe en 25, de ahí sobra 1, pero no se que hacer ahora, con esos datos...
ResponderBorrarHasta ahora e sacado que, el número de 9 cifras sera X^2, la suma de los digitos de X^2 siempre dara 45, por lo que X≡0(mod3), por lo que para que esto de X, que es la raíz de X^2, solo puede tener 3 congruencias con modulo 3
ResponderBorrarsolo puede ser
X≡0(mod3)
X≡1(mod3)
X≡2(mod3)
Como las X se multiplican en el numero de 9 cifras, entonces para que sea congruente con 0 modulo 3, X tambien tiene que ser congruente con 0 modulo 3. Tambien e sacado que X tiene que ser de 5 cifras, ya que saque la raíz del maximo X^2 posible y del menor, espero que estas ideas me sirvan de algo jeje, más tarde publico si llego a algo mas..
Llamo $N$ el numero de 9 digitos, y $M$ a su raiz cuadrada. Como $N$ termina en 5, $M$ tambien debe terminar en 5:
ResponderBorrar$N=M^2=(10a+5)^2=100a^2+100a+25=100a(a+1)+25$
Vemos que los ultimos dos digitos de $N$ van a ser 2 y 5, y el antepenultimo va a ser la congruencia modulo 10 de $a(a+1)$
$a(a+1) \equiv 0 \cdot 1,1 \cdot 2,2\cdot 3,3 \cdot 4, 4 \cdot 5,5 \cdot 6, 6 \cdot 7, 7 \cdot 8, 8 \cdot 9, 9 \cdot 0 \equiv 0,2,6,2,0,0,2,6,2,0 \pmod{10}$
Ya tenemos el 2, y no puede ser 0, entonces solo se puede que $a \equiv 2,7$.
a) M termina en 25.
$N=M^2=(100b+25)^2 =10000b^2+5000b+625 =1000(10b^2+5b)+625$
El 6to digito de $N$ va a ser $10b^2+5b \pmod{10}$
$10b^2+5b \equiv 5b \pmod{10}$ Entonces va a ser 5 o 0, pero no puede ser ninguno de los dos. En este caso no se puede.
b) M termina en 75
$N=M^2=(100b+75)^2 =10000b^2+15000b+5625 =1000(10b^2+15b+5)+625$
Y el sexto digito de $N$ va a ser $10b^2+15b+5 \pmod{10}$
$10b^2+15b+5 \equiv 5b+5 \pmod{10}$
En este caso eso tambien va a ser 5 o 0, por lo tanto no se puede formar $N$.
No estoy seguro de mi solución pero espero esté bien. Al número de 9 dígitos lo llamé N, y a la raiz, X. Como N termina en 5, entonces X también debe terminar en 5, y como la suma de dígitos de N es 45 es múltiplo de 9. Como X termina en 5, entonces X=10x+5 (x es un entero) y por tanto N=(10x+5)^2=100x^2+100x+25. 100x^2+100x+25≡25(4x^2+4x+1)≡0 mod 9, como 9 y 25 no comparten factores, entonces 9|4x^2+4x+1=4(x^2+x+1/4), y como 9 y 4 no comparten factores entonces 9|x^2+x+1/4 pero no es entero y 9 no lo puede dividir, que es una contradicción por lo que no puede ser un cuadrado.
ResponderBorrarNo puedes hacer eso luis, es como si dijeras que
ResponderBorrar9|8+1
9|4(2+1/4)
Por tu argumento no se puede, pero 9 si divide a 9.
Bueno...no he avanzado mucho, pero tengo algunas ideas:
ResponderBorrarNuestro número de 9 cifras=n será a lo menos 123467895=m a lo más 987643215=M, entonces tenemos que m mayor o igual a n y n menor o igual a M.
Tenemos que por criterios de divisibilidad es mùltiplo del 5 y del 9. Entonces es mùltiplo del 45.
Buscamos la raíz de nuestro número n, este debe ser mayor a 10005 y menor a 31435.
Como n termina en 5 su raíz tambien terminara en 5. Ahora...quiero saber cual es el segundo digito para ver si algun numero cumple...entonces se que es 2, ya que todo número terminado en 5, su elevación al cuadrado es a25, siendo a todos los digitos anteriores a este.
Entonces...ahora vamos por el tercer digito...si, haremos talacha, ok no...hasta ahi llevo la solucion, pero no se me ocurre nada mas.
@Antonio López: ¿Cómo determinas el mínimo y máximo N? el mínimo parece claro, el máximo no tanto, y aun siendo así debes explicar… sigue intentándolo n_n
ResponderBorrar@Alberto Ponce: Trabaja más en eso, yo se que puedes llegar más lejos en este problema con un poco más de tiempo n_n
@Martín Contreras Carrera: Si n es múltiplo de 9 entonces x es múltiplo de 3 (no necesariamente de 9). Si tienes que n es múltiplo de 5, aquí si puedes decir que x es múltiplo de 5 (porque 5 no es cuadrado y si x no fuera múltiplo de x llegaríamos a una contradicción), incluso puedes decir que N es múltiplo de 25. Entonces no puedes asegurar que x es múltiplo de 45, solo de 15. Entiendo los rangos de x, pero podrías ser más explicito en tus argumentos para que no existan confusiones. Tu método de ir viendo que dígitos funcionan es una buena, sigue trabajando en eso n_n
@Irving Hernández: Muy bonita (¡excelente!) explicación al comienzo, todo muy claro… pero luego ¿Por qué los números precedentes deben ser 0, 2, 06 o 56?, de ahí ya no entendí nada xD
@Missael Hernández: ¿Cómo sacas el 34? Jeje xD
@Padilla: … sigue trabajando xD
@Alberto: excelente!! xD … :) … y gracias por corregir :P
@Luis Chacón: Tus argumentos son buenos… pero como escribió Alberto no puedes factorizar el 4 si no es factor común de “Todos” los términos, porfa intenta de nuevo el problema con lo que tenías antes de eso, vas bien n_n
@Ricardo G: Vas bien sigue trabajando n_n
Y por cierto, sería buena idea que revisaran los comentarios de los demás (si es que no lo están haciendo ya) para que vean ideas o para darse cuenta de errorcitos y no los cometan después ustedes mismos... sigan trabajando, hasta ahorita muy bien!!! :D (los que comentan claro jeje)
determine el minimo y maximo de X porque no puede ser de 4 digitos, entonces debe ser de 5 digitos y como termina en 5 el minimo es 10005 y el maximo sabemos que debe empezar en 3 y fui multiplicando y me salio que el maximo es 31615. una disculpa xq habia puesto que este ultimo era era 31515
ResponderBorrar@Antonio López: oki, así está más claro xD ... igual, sigue trabajando n_n
ResponderBorrarEspero ahora si esté bien. N=número de 9 dígitos. X=raíz del número. N termina en 5, por lo que X termina en 5. X se puede escribir como (10x+5) con lo que N=100x^2+100x+25, entonces N termina en 25 y el 7° dígito de N es el último de x^2+x. Considerando x mod 10 a partir del 0, los posibles valores de x^2+x son 0,2,6,2,0,0,2,6,2,0 en ese orden, pero no puede ser 0 ni repetirse y ya habia un 2, por lo que los únicos valores posibles de x mod 10 son 2,7. Hay dos casos: 1) X=(100y+25) entonces N=10000y^2+5000y+625 y el 6° número de N sería 10y^2+5y=5y(2y+1) mod 10, aquí 2y+1 siempre será impar, si y es par entonces 5y≡0 y 5y(2y+1)≡0 mod 10; si y es impar entonces 5y≡5 y 5y(2y+1)≡5 mod 10 y ambas son contradicciones pues no puede haber 0 y ya hay un 5. 2) X=(100y+75) entonces N=10000y^2+15000y+5625 y el 6° número de N sería 10y^2+15y+5=5y(2y+3)+5 mod 10 donde 2y+3 siempre será impar y pasa lo mismo que en el caso 1 con un paso mas, si y es par entonces 5y(2y+3)≡0 y 0+5≡5 mod 10; si y es impar 5y(2y+3)≡5 y 5+5≡0 mod 10 que tambien son ambas contradicciones al problema por lo que no puede ser un cuadrado.
ResponderBorrarasumamos que existe tal numero que cumpla
ResponderBorrarcomo termina en $5$ debe de tener dos factores $5$ para que tenga raiz por lo que el numero debe de ser divisible entre 25 y no debe tener ningun factor dos, ya que entonces terminaria en 0 y no en 5.
como $25 \cdot 4 = 100$ lo importante de la divisibilidad aqui son los ultimos 2 digitos, para que sea dibisible entre $25$ y termine en $5$ debe terminar entre $25$ ó $75$, a cualquier factor que acompañe al $25$ los nombrare $a$ donde $a \equiv 1, -1 mod 4$, $a^2 \equiv 1 mod 4$ por lo que el numero debe de terminar en $25$
si es un cuadrado se puede representar como $ b^2 + 2bc + c^2$ para allar lo que buscamos $b^2 = 25$ y $2bc + c^2 | 100$ para no afectar la suma, entonces $25 + 2(5)(10)x + (10^2)(x^2)$
entonces $100x + 100x^2$ representaría los digitos que todabia no sabemos cuales son $100x(x+1)$ por la factorizacion el siguiente digito debe de ser par y por lo que puede ser $4,6,8$ y ademas debe de ser producto de 2 numeros consecutivos, el unico numero que cumple es el 6.
en el trinomo cuadrado perfecto pongamos el $625$
$625 + 2(25)y + y^2$, $y$ para cumplir debe de tener un factor $z$ tal que $y = 4 \cdot 5^2 \cdot z$, replazamos $y$ por lo que vale y obtenemos que $625 + 5000z + 2000z^2$
como la suma de los digitos del numero que buscamos sabemos que da 45, entonces es divisible entre 9 por lo que se puede ver tambien de esta manera $625 + 5000z + 2000z^2 \equiv 0 mod 9$ y como $625 \equiv 4 mod 9$ entonces $5000z + 2000z^2$ debe de ser congruente a $5 mod 4$
$5000z + 2000z^2 \equiv 2z^2 + 5z mod 9 $
$2(0)^2 + 5(0) = 0 \equiv 0 mod 9$
$2(1)^2 + 5(1) = 7 \equiv -2 mod 9$
$2(2)^2 + 5(2) = 18 \equiv 0 mod 9$
$2(3)^2 + 5(3) = 33 \equiv -3 mod 9$
$2(4)^2 + 5(4) = 52 \equiv -2 mod 9$
$2(-4)^2 + 5(-4) = 12 \equiv 3 mod 9$
$2(-3)^2 + 5(-3) = 3 \equiv 3 mod 9$
$2(-2)^2 + 5(-2) = -2 \equiv -2 mod 9$
$2(-1)^2 + 5(-1) = -3 \equiv -3 mod 9$
ningun numero da como congruencia $5$ ó $-4$ por lo que no existe tal numero $z$ y por ende no existira raiz cuadrada para los numero que cumplan las condiciones que plantea el problema
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ResponderBorrarNombraremos al número de 9 cifras como $K$. Se conoce que en $K$ aparecen todos los dígitos excepto el 0, entonces, contiene los dígitos del 1 al 9. Si sumamos estos dígitos (1 + 2 + 3 + … + 8 + 9), obtenemos $45$, por lo que en base al Criterio de Divisibilidad del numero 9, 9 divide a $K$; ($K \equiv 0 \pmod{9}$). Ahora, también se conoce que $K$ termina en 5, por lo que base al Criterio de Divisibilidad del numero 5, 5 divide a $K$; ($K \equiv 0 \pmod{5}$).
ResponderBorrarSi $K$ fuese un cuadrado (llamaremos $x$ a la raíz de $K$, tal que $x^2 = K$), y es posible dividirlo entre 9 y 5; $x$ debe cumplir con: $x \equiv 0 \pmod{3}$ y, $x \equiv 0 \pmod{5}$.
Entonces tenemos que, $x^2 = K$.
Se expresa $x$ de tal manera que, $x = 3*5*z$, donde $z$ es resultado de dividir $x$ entre $3*5$. Por lo tanto, al sustituir este valor de $x$ se obtiene:
$(3*5*z)^2 = (15*z)^2 = K$.
$(15*z)^2 = 225 + 30z + z^2 = K$
Se sabe que $K$ termina en 5, por lo que 30z y $z^2$ deben terminar en 0, para que, al realizar la suma antes expuesta, el ultimo digito de $K$ siga siendo 5. Los únicos cuadrados que terminan en 0 son aquellos que sus raíces son múltiplos de 10. (Ya que si un numero termina en 1 su cuadrado lo hará también en 1, cuando es 2 su cuadrado lo hará en 4, cuando es 3 será 9, 4 - 6, 5 - 5, … , 8 - 4 y 9 - 1.) Y con esto asegurar que $K$ siga terminando en 5.
Entonces, $z$ debe ser múltiplo de 1. Se expresará ahora a $z$, como $y*10^m$. (Donde $y$ es el valor entero de $z$ de tal manera que $y$ no es múltiplo de 10, y $m$ es cualquier numero natural). Entonces sustituyendo el valor de z obtenemos: $225 + 30*y*10^m + (y*10^m)^2 = K$
Supongamos $m=2$, obtenemos: $225 + 30y*10^2 + y^2*10^4 = 225 + 3000y + y^2*10000 = K$. En este caso, sabiendo que $K$ contiene todos los dígitos excepto 0, cada digito debe aparecer solo una vez. Por lo tanto, en la ecuación $225 + 3000y + y^2*10000 = K$ debemos sumar de alguna manera una centena para que en $K$ no aparezcan dos números 2 (Refiriéndose al 2 de las centenas que aparece en 225). Y si $y$ es entero, esto antes mencionado no es posible.
Por lo tanto, $m$ no debe ser mayor o igual a 2. El único caso disponible seria $m=1$, y con esto se obtiene: $225 + 30y*10^1 + y^2*100 = 25 + 300y + y^2*100 = K$. Sabiendo nuevamente que $K$ contiene todos los dígitos excepto 0, cada digito debe aparecer solo una vez. Por lo tanto, en la ecuación $225 + 300y + y^2*100 = K$, debemos sumar de alguna manera una centena para que en $K$ no aparezcan dos números 2 y que tampoco aparezcan dos números 5. Se conoce entonces que $y$ no puede terminar en 2 ya que al multiplicar $y$ por 300 en la ecuación tendríamos que sumar un 6 en las centenas, y al hacer $y^2*100$ se tendría que sumar un 4 en las centenas, lo cual que al sumarlo con el 2 que ya existe en la centenas nos daría de nuevo un 2 y se repetiría con el 2 de las decenas. Análogamente se realiza lo mismo con los demás dígitos, y se obtiene que todos los números que terminen en cada digito harían que en las centenas de $K$ hubiese un 2, que se repetiría como antes mencionado, o un 0, que esto no es permitido ya que K no contiene ni un 0. Menos con los números que terminen en 1 o en 6, en estos dos casos, en las centenas de $K$ se obtiene un 6.
Por lo tanto, si $K$ es cuadrado debe terminar con 625. Regresando a lo antes demostrado, $y$ solo puede terminar en 1 o en 6. Si se comprueba que $y$ no puede terminar ni en 1 ni en 6, o que se encuentre alguna restricción el problema queda resuelto.
Me he dado cuenta que la mitad de mi comentario no es correcto, existe un error algebraico al inicio. Seguiré trabajando.
ResponderBorrar**Fecha limite para la C: 20 de septiembre***
ResponderBorrar@Luis Chacón: :)
ResponderBorrar@Chuyito_ito: El número si termina en 25, pero no entendí el análisis que haces. Más adelante tienes que el numero de 9 cifras se puede expresar como (b+c)^2 y que para que termine en 25 b^2=25 , pero en realidad con b=17 y a=18 también termina en 25, entonces no entiendo porque sucede lo que dices… y pues de ahí según yo te basas en cosas que no son verdad producto de la suposición rara que ya te mencioné. Revisalo cuidadosamente, y si crees que está bien lo que hiciste vuélvelo a escribir de una manera más clara n_n
@Alejandro Reyes: Ok xD