Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_{1}, a_{2}, \cdots ,a_{n}$ números reales distintos. Sea $M$ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm a_{1} \pm a_{2} \cdots \pm a_{n}$ de manera que $m < s < M$
a que se refiere con escoger los sgnos??
ResponderBorrar@martin: con "escoger los signos" nos referimos a que puedes elegir uno de los dos signos, es decir, tu eliges si pones un $+$ o un $-$ entre cada $a_{i}$.
ResponderBorrar>_>
ResponderBorrarSuponiendo que $a_{1}, a{2}, \cdots , a_{n}$ están ordenados de menor a mayor, entonces $m=a_{1}$ y $M=a_{n}$. Si n=3, entonces se pueden escoger los signos $+a_{1}-a_{2}+a_{3}$, como $a_{2}$ está entre los otros dos entonces se cumple que $a_{1}<a_{1}-a_{2}+a_{3}<a_{3}$. Si n=5, se necesita escoger los signos de $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ para que queden entre $a_{1}, a_{5}$. Como se pueden escoger los signos de $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ para que quede entre $a_{2}, a_{4}$, entonces con los mismos signos queda entre $a_{1}, a_{5}$. Y se puede usar el mismo argumento para todos los impares mayores.
ResponderBorrar@alberto: <_<
ResponderBorrar@Luis Chacon: tu idea es la que resuelve el problema, solo con fines de formalidad... ¿podrias escribir nuevamente tu solucion de manera totalmente convincente? es decir, una demostracion formal del enunciado.
sabemos que si empesamos con el signo de + va a terminar en + ya que en un numero n impar
ResponderBorrardigamos que a1=m y a2=M
luego sabemos que si empezamos a1-a2=-a1,
a1-a2+a3=+a2
por cada par de numeros hay un -a1 y por cada par de numeros se ba sumando un -a1 por ejemplo
a1-a2+a3-a4=-a2
entonses como el ultimo numero par es an-1 entonses hasta ai se va a llevar una suma de
-an-1/2 y luego se le va sumar an y entonses
(-(an-1)/2)+an=(an-1/2)+1
entonces sabiamos que
(an-1/2)+1= s=a1-a2+a3-a4....-(an-1)+an
y como sabemos que a1<(an-1/2)+1 y tambien sabemos que (an-1/2)+1<an entonces se cumple que a1=m<(an-1/2)+1=s<an=M
qe significa el signo de "t" volteado con una linea atravesada?
ResponderBorrarMas menos, es decir que eliges un signo mas o signo menos
ResponderBorrar$\pm$ (se lee más/menos) significa, como dice Isai, la opcion de poder elegir uno y solo uno de esos dos signos. Es decir, $3\pm 2$ es $5$ si elijo el signo $+$ (mas), y es $1$ si elijo el signo $-$ (menos).
ResponderBorrarYo considere a1, a2, a3,...,an, una versión ordenada, entonces a1=m y an=M, y también a1<a2<a3.....<an, y como n es impar va a haber una cantidad par de numeros entre a1 y an, y si ponemos los signos de + y - alternadamente en la operación nos va a quedar la cantidad que este exactamente en medio de la operación, es decir:
ResponderBorrarpor ejemplo en el mínimo caso de an que es 3 entonces +a1-a2+a3=a2 o en dado caso que $a1<+a1-a2+a3<a3$ que es igual a $m<s<M$
aclaracion:al principio me equivoque qize decir an=M
ResponderBorrarNo se si así sea formal pero...
ResponderBorrarSegún lo que había escrito, la forma de escoger los signos será a1-(a2-(a3...-(a{i-1}-ai+a{i+1})+...+a{n-1})+an) que es igual a a1-a2+a3-...+an, que se puede ver como (a1-a2)+(a3-a4)...+(a{n-2}-a{n-1})+an, como están en orden ascendente, (a1-a2), (a3-a4)...(a{n-2}-a{n-1}) siempre serán negativos y su suma también, y cualquier negativo más M será menor a M. Si se ve como (an-a{n-1})+...+(a3-a2)+a1, (an-a{n-1}),(a{n-2}-a{n-3})...(a3-a2) siempre serán positivos y su suma también, entonces m más un positivo será mayor a m. Entonces m<+a1-a2+a3-...+an<M, como existe esta forma de escoger los signos es posible.
@Alberto: Como ya hiciste este problema intenta este otro: http://ommch.blogspot.com/2011/01/problema-del-dia-3-de-ene.html
ResponderBorrarYo ordene los numeros de mayor a menor, siendo a1=M y an=m,despues de intentar sumando todos y restando todos, intente intercalando signos, y me di cuenta que:
ResponderBorrara1-a2+a3-a4...+(an-2)-(an-1)+an, siempre an va a estar sumandose ya que como n es impar, asi terminaria. Esto se pudiera expresar como:
(a1-a2)+(a3-a4)+...+((an-2)-(an-1))+an
an no restaria a nada ya que es el ultimo numero de una sucecion impar, y como esta ordenada de mayor a menor todas las restas daran un numero positivo mayor a 1, ya que son numeros distintos, y al sumarle an, siempre sera mayor a m, y M sera mayor ya que en la sucesion, nos podemos dar cuenta de que -a2+a3, saldra un numero negativo ya que a2 es mayor que a3, y asi en los siguientes numeros, hasta llegar a -(an-1)+an, y como solo quedara a1, que es m, y los demas valores negativos, S<M, y por lo demostrado anteriormente m<S<M
Aprovechando la clase de computación :D
ResponderBorrarTenemos que:
n es mayor a 1
m=n menor en la sucesión de números
M=n Mayor
S=La suma o resta de los números
m menor a S menor a M
Sin Perdida de Generalidad podemos acomodar los números de menor a mayor siendo m=n1
M=nn (ya va siendo hora de aprender a usar latex...)
S= suma de n1 hasta nn
entonces n1 menor a n2 menor a ...menor a nn
Ahora el número menor que podemos tener es 3, ya que n>1
Entonces lo acomodamos y nos queda:
1<+1-2+3<3 ... 1<2<3
Sabemos que es cierto, ahora los números al ser acomodados de menor a mayor y en la suma escoger el primer término como positivo, el segundo negativo...y asi sucecivamente hasta llegar a nuestro numero impar n, tenemos que por cada pareja de numeros, tenemos que nos da -1 ya que restamos el numero siguiente de la sucesion.
Asi, al tomar:
+n1-n2+n3-n4+...+nn=((n/2)*-1)+n
Como n es impar, tomamos su techo, y multiplicamos por -1, entonces sumamos n y nos queda que el numero dado es menor es a m, por lo tanto queda demostrado que si elegimos los signos de manera alterna:
m<S<M
@Martin contreras: he intentado entenderle a tu respuesta, Martin. Desgraciadamente no termino por lograrlo. Talvez si pudieras ser un poco mas claro con detalles como "a que te refieres con -an-1/2... a $-a_{n}$ le restas $\frac{1}{2}$? o como?" Te recomiento enormemente que aprendas a utilizar latex, esto te ayudara a mostrar una forma mas clara de tus soluciones, aparte de que mostraras un trabajo mas estetico. Si se te hace muy dificil aprenderlo, pues tambien tienes la opcion de utilizar los parentesis... es decir, si con -an-1/2 te referias a que a $-a_{n}$ le restas un medio, sin escribirlo con latex puedes ponerlo como -(a_n) -(1/2) que, como ves, es mucho mas claro y entendible.
ResponderBorrar@Antonio Lopez: podrias dar argumentos para poder sustentar tu afirmacion "nos va a quedar la cantidad que este exactamente en medio"?
ResponderBorrarTu dices: "+a1-a2+a3=a2", considera $a_{1}=1$, $a_{2}=2.5$ y $a_{3}=\pi$, la suma anterior es $1-2.5+\pi \neq 2.5 = a_{2}$, como ves, lo que anteriormente dijiste, no es cierto. Por favor trabaja un poco en ese detalle... la idea de ordenar la lista de las $a_{i}'s$ es muy buena.
@Luis Chacon: muy bien!, tu solucion ahora esta CASI completa, te falta solamente aclarar al principio que puedes ordenar, sin perdida de generalidad, todas las $a_{i}'s$ de la siguiente forma: $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$. Bien hecho.
ResponderBorrar@Padilla: tu solucion esta muy bien! Tambien solo un detalle, lo que dices acerca de que las primeras diferencias son positivas mayores a 1 no es cierto siempre... solo puedes afirmar que son positivas. Te digo que tu solucion es correcta porque no utilizaste el hecho (no necesariamente correcto) de que fueran mayores a 1. Bien hecho.
ResponderBorrar@Ricardo G. : ten cuidado con las operaciones que estas haciendo, Ricardo. Ten MUY presente el hecho de que tus $a_{i}'s$ son REALES, es decir, no necesariamente son números naturales. Checa por favor tu conclusion y ve que te esta fallando. Espero tu respuesta.
ResponderBorrar@luis Chacon: veo que en tu primer aportacion si ordenaste los elementos... el comentario anterior solo aplica para tu ultimo comentario. Un saludo.
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ResponderBorrarbueno aqui te dejo el link con mi slucion aver si le entiendes http://www.facebook.com/photo.php?fbid=218311641560239&set=a.218311488226921.55464.100001442144670&type=1&theater
ResponderBorrarPrimero ordene los volores de menor a mayor de tal manera que m=a1 y M=an
ResponderBorrarDespues Comence viendo que pasaba cuando ¨an¨ tenia el menor valor posible, que es a3 entonses:
s=±(a1)±(a2)±(a3) sabemos que a1<a2<a3
Sabia que M tenia que ser positivo para que fuera el numero mayor
Pero si a1 y a2 tambien fueran positivos ¨s¨ iba a ser mayor que m y M
Por lo tanto uno tendria que ser negativo, si a1 fuera el negativo ¨s¨ seria mayor que m y M
Asi que la unica opcion era que a2 fuera el negativo, de esta manera tenemos que los signos quedaron intercalado, es decir, + - + ... - +an
Todas las ¨a¨ con numero impar tendran signo positivo y las ¨a¨ con numero par signo negativo
De esta manera la ecuacion siempre quedara asi:
s=(+a1-a2+a3-a4...-an-1)+an
como estan ordenas de menor a mayor lo del parentesis dara un resultado negativo, ese resultado se lo restamos a an y claro que eso sera menor a an
s<an cumple
Y por ultimo como a s le estamos sumando a1 s tiene que ser mayor a a1
asi se cumple lo que pedia el problema m<s<M
S.P.D.G. podemos decir que las $a$'s estan acomodadas, por lo tanto $m = a_1$ y $M = a_n$, ahora yo alterne el signo empezando con menos de esta manera:
ResponderBorrar$ +a_1 -a_2 +a_3 - \cdots + a_n $
podemos asumir que $a_n$ es positivo devido a que es un impar y en este acomodo los impares suman y los pares restan, ahora podemos agrupar los positivos y los negativos de esta manera:
$a_1 + (a_3 - a_2) + (a_5 - a_4) + \cdots + (a_n - a_{n-1}) $
cada pareja dara un numero positivo y al sumarse todas las diferencias garantizamos que seran mayores a $m$
Ahora para que la suma de las diferencias fuera igual a $M$ se tendrian que sumar todas las diferencias positivas de $a$'s consecutivas, como este no es el caso entonces la suma sera menor a $M$
Sin pérdida de generalidad, decimos que:
ResponderBorrar$a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdots < a_{n-1} < a_{n}$
Segun el valor de $n$. Entonces, entre una $a$ y otra consecutiva habrá al menos $1$ de diferencia.
Siendo asi obtenemos que:
$a_{1} = m$
$a_{n} = M$
Para que $m < s < M$ se cumpla tiene que cumplir las siguientes condiciones:
$m + 1 \le s$
$s \le M-1$
Sabiendo que tenemos $n$ a’s, asignamos a cada a la secuencia de signos $+,-,+,-, \cdots, -,+,-,+$
Como nuestras a’s son impares, podemos comenzar con un signo positivo y terminar igual.
Observando nuestra ecuación, $ m - a_{2} + a_{3} -, \cdots, - a_{n-1} + M$, sabemos que de $- a_{2}$ hasta $M$, nos quedara un numero positivo, siendo que son números reales distintos.
Por lo tanto al sumar $m$ se cumple que $m < s$.
Ahora, si observamos de $m$ hasta $- a_{n-1}$ sabremos que tendremos un numero negativo. Que, al sumar $M$ se cumplirá que $s < M$.
Con esto queda demostrado que es posible escoger los signos de la expresión tal que, $m < s< M$.
Correcion al decir que nos quedara un numero positivo o negativo de nuestras operaciones. (Al realizar $ m - a_{2} + a_{3} -, \cdots, - a_{n-1} + M$).
ResponderBorrarNo podemos decir esto ya que estamos trabajando con números reales. Mejor dicho:
Al observar $- a_{2}$ hasta $M$, sabemos que obtendremos un valor que al sumarle $m$ nos dará un valor mayor a $m$. Con lo que se cumple $m < s$.
Y al observar $m$ hasta $- a_{n-1}$, sabemos que tendremos un valor que al sumarle $M$ nos dará un valor menos a $M$ con lo que se cumple $s < M$.
Todo esto teniendo como referencia que cada dos números consecutivos su valor absoluto tiene una diferencia de al menos $1$.
@Martín: Al decir que $a_1-a_2=-a_1$ ya te estas refiriendo a una elección especifica de a's, cuando lo único que puedes escoger son los signos.
ResponderBorrar@Alan: Estas muy muy cerca, ese acomodo de signos si te va a servir, y es correcta tu demostración de que $s \textless M$, pero no por el hecho de que $s$ tenga de suma a $a_1$ quiere decir que $m \textless s$. Tendrías que garantizar que $-a_2+a_3- \cdots + a)n$ es positivo.
@Chuy: No entiendo tu último parrafo D:
@Alejandro Reyes: No necesariamente entre a's hay al menos uno de diferencia, ya que estamos hablando de números reales. Fuera de eso tu solución es casi correcta. No me queda claro porque, o mas bien nunca dijiste porque desde $m-\cdots -a_{n-1}$ es negativo y $-a_2+\cdots +M$ es positivo.
Dato interesante de este problema:
ResponderBorrarEs un problema del nacional del 2009 y muchos lo pudieron atacar sin problema.
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ResponderBorrarEstoy al tanto de cuales fueron mis errores en este problema, trataré de explicarlos de la mejor manera esta vez.
ResponderBorrarSin pérdida de generalidad se dice que:
$a_1 < a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n$
De esta forma de obtienen las igualdades:
$a_1=m$
$a_n=M$
Teniendo una cantidad impar de a’s, es posible asignar la siguiente secuencia de signos, $+,-,+, \cdots , +,-,+$ ,y hacer que $m$ y $M$ tenga signo positivo ($+$).
Entonces tendremos:
$s= m- a_2+ \cdots - a_{n-1} + M$
Se puede observar la solución del problema de la siguiente manera.
Para cumplir con $m<s$:
Desde $- a_2$ hasta $M$, tendremos $n-1$ a’s cada una con un signo especifico de la manera antes mencionada ($-,+, \cdots , +,-,+$), el valor de esta suma ($s-m$) tendrá un valor, que al ser sumado $m$ es posible decir que $s$ es mayor a $m$.
Para cumplir con $s<M$:
Análogamente, se toma desde $m$ hasta $- a_{n-1}$, tendremos $n-1$ a’s cada una con un signo especifico de la manera antes mencionada ($+,-,+, \cdots , +,-$), el valor de esta suma ($s-M$) tendrá un valor, que al ser sumado $M$ es posible decir que $s$ es menor a $M$.
$m<m- a_2+ a_3 - \cdots +a_{n-2}+ -a_{n-1}+M<M$
Supongamos el siguiente ejemplo donde tenemos los números reales, $-3, -2, 1, 3, 5$. Donde $m=-3$ y $M=5$. Aplicando la secuencia de signos mencionado obtenemos $s= -3+2+1-1+5= 4$.
Para cumplir con $m<s$
$s-m= 4 +3 = 7$
Al ser sumado $m$, $s=4$. Cumple la desigualdad.
Para cumplir con $s<M$:
$s-M= 4 - 5 = -1$
Al ser sumado $M$, $s=4$. Cumple con la desigualdad.
$m= -3 <s= -3+2+1-1+5= 4<M=5$
Espero sea correcta mi apreciación, si no es así o no me basta como para una carita feliz estaré muy agradecido que se me sea informado, para complementar mi solución.