$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\cdots+\frac{9}{a_9}$
donde $a_1, a_2, \cdots a_9$ son números enteros entre $1$ y $9$ que pueden repetir.
donde $a_1, a_2, \cdots a_9$ son números enteros entre $1$ y $9$ que pueden repetir.
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bueno lo que llevo ahorita es probando con a1,a2,a3...a9 son iguales si tenemos que todos los numeradores son iguales la suma nos da 45 y los numeradores para que nos de un nuemro positivo son los numeros que dividen a 45, el 1,3,5,9,15,45 pero como 15 y 45 son mayores a 9 entonces se descartan y nos queda en las sumas 45/1, 45/3, 45/5, 45/9, y son los numeros que e econtrado... seguire buscando mas numeros o un patron
ResponderBorrarBueno...se me ocurrio algo, a ver que sacamos de eso...
ResponderBorrarPrimero supuse que a1=a2=a3=...=a9
Entonces probe con los numeros del 1 al 9 y encontre que cumple siendo entero cuando hay puros denominadores: 1, 3 o 5. Que nos dan: 45, 15 y 9 respectivamente.
Oh, vaya sorpresa que los factores del 45 son estos números...entonces podemos decir que la suma de estas fracciones debe ser congruente con 3 o 5 para ser exacta...lo cual realmente no nos dice mucho.
Bueno...ahora, supongamos que ponemos todos los digitos, sin repeticion alguna...pues ninguna de las permutaciones nos da un numero entero debido a que toda permutacion tiene una identidad fraccionaria...y hasta ahi voy, realmente no se me ocurre mucho mas.
$n=\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\cdots+\frac{9}{a_9}$
ResponderBorrarTodos los numeros entre el $5$ y el $45$ se pueden.
Vemos que el numero mas chico posible es cuando el denominador es mas grande, que es cuando es $9$, y $n=5$. Y el mas grande es cuando el denominador es mas chico, cuando es $1$ y $n=45$. Entonces mas grande de 45 o mas chico de 5 no se puede.
Primero demuestro para los numeros del $9$ al $45$.
Solo le voy a dar dos valores a $a_i=i,1$.
Esto nos va a quedar una suma de numeros entre el 1 y el 9, cambiando algunos de ellos por 1. Todos del 9 al 45 se pueden siguiendo esto:
$n= b_1 + b_2 + \dots + b_9$
Donde ya sabemos que $b_i = i,1$.
$b_1 + b_2 + \dots + b_9 = 45 - ()$
Donde lo que va entre parentesis es la suma de las $i-1$ en que $b_i=1$.
$()= 45-(b_1 + b_2 + \dots + b_9)$
Que es un numero entre $0$ y $36$
Entonces tenemos que sumar con numeros entre 1 y 9 que no se repitan todos los numeros entre 0 y 36, y vamos a seguir el siguiente 'algoritmo':
Si $() \leq 9$ solo tomamos ese numero. Si es mayor, vamos tomando 8, luego 7, luego 6, asi hasta que al restarle esos numeros al parentesis te de un numero menor o igual al que sigue. Esto siempre pasara porque $() \leq 36 = 1+2+ \dots +8$.
Entonces tomamos estos numeros y van a ser $i-1$, y $b_1=1$, que implica que $a_i=i$.
Ahora falta ver si $n=5,6,7,8$ se puede, que lo hice por talacha, el 6 fue el que estuvo un poco mas dificil:
$8=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{3}+\frac{4}{4}+\frac{5}{5}+\frac{6}{6}+\frac{7}{7}+\frac{8}{8}+\frac{9}{9}$
$7=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{6}+\frac{4}{8}+\frac{5}{5}+\frac{6}{6}+\frac{7}{7}+\frac{8}{8}+\frac{9}{9}$
$6=\frac{1}{8}+\frac{2}{8}+\frac{3}{8}+\frac{4}{8}+\frac{5}{5}+\frac{6}{8}+\frac{7}{8}+\frac{8}{8}+\frac{9}{8}$
$5=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9}+\frac{4}{9}+\frac{5}{9}+\frac{6}{9}+\frac{7}{9}+\frac{8}{9}+\frac{9}{9}$
Todos los números del 5 al 45 se pueden escribir así. El 45 se forma cuando todas las fracciones tienen denominador 1, y al ser el menor denominador es el número mayor; el 5 se forma cuanto todas tienen denominador 9 y al ser el mayor denominador es el número menor.
ResponderBorrarPara los demás números encontré una forma de encontrar como se escriben, y por tanto se pueden escribir como esa suma de fracciones, empezando de que 5=(1/9+2/9+3/9+4/9+5/9+6/9+7/9+8/9+9/9), para los números del 6 al 13 se toman dos fracciones cuyos numeradores sumen 9 (por lo que su suma es 1) y sus denominadores se modifican: uno por el mismo numerador y el otro por uno, por ejemplo 1/9, 8/9 se cambian por 1/1, 8/1 o se toma la fracción 9/9 cambiando el denominador de 9 a 1, así el resultado de estos sería 1,x y su suma 1+x, por lo que la suma total sería 5+x y x puede ser entre 1 y 8 (si se toma la fracción 9/9, x=8). Para los demás números se toman desde 2 hasta 5 parejas y se aplica lo mismo a cada pareja(considerando al 9 como una pareja). Doy 2 ejemplos por si no se entiende bien:
Para el 12, la diferencia con el 5 es 7 por lo que se toma la pareja de 7,2 y se modifican sus denominadores a 7/1, 2/2 quedando 1/9+2/2+3/9+4/9+5/9+6/9+7/1+8/9+9/9=12
Para el 34, la diferencia con el 5 es 29 por lo que se toman números que sumen 29 por ejemplo 9,8,7,6 y sus parejas: 9; 8,1; 7,2; 6,3 y se modifican sus denominadores a 9/1, 8/1 1/1, 7/1 2/2, 6/1 3/3 y queda 1/1+2/2+3/1+4/4+5/1+6/1+7/1+8/1+9/1=34
bueno se me ha ocurrido , llamando a la suma de las fracciones 1/a1,2/a2,.....9/a9 x y sabemos que la mínima suma de x es 5 cuando todos los a's son 9 y la máxima suma es 45 cuando los a's son 1 y tambien saque que el minimo comun multiplo de 1,2,....,9 es 2520 porque 9 es multiplo de 3,8 es multiplo de 4 y 2, 7no tiene divisores,6 es multiplo de 3 y 2 y 5 tampoco tiene divisores enonces como el numero debe ser par y divisible entre 9 podemos omitir el 6 y nos queda 9x8x7x5=2520 entonces sin importar el acomodo de las a's siempre se podra cambiar al denominador 2520 pero aun no he sacado mucho con eso
ResponderBorrarNo se si todabia valga y, de hecho, creo que ya no pero igual aqui va mi solucion:
ResponderBorrarel mayor numero posible es cuando el denominador es igual a 1, y el menor cuando vale 9, por lo que segun la expresion el menor valor posible es 5 y el mayor 45.
Hasta ahora e encontrado que los numeros del 9 al 45 se pueden, ya que si tomas el denominador solo con el valor del nominador o con valor 1, entonces lo que estaras sumando enteros, por lo que primero usas como denominador 1, por lo que se llegara al maximo numero, luego vas convirtiendo los denominadores con el valor de los numeradores, por lo que se podra expresar como 1+2+3+4+...+9-(n-1), poniendo como n el valor del numerador, podiendo haber varias n's dependiendo de cuantas expresiones se representaran con el mismo numerador y denominador, y siempre se le restara 1 ya que esta bien que estamos restando el numero completo, pero a su vez siendo igual denominador y numerador se le suma 1, ya que ese sera su valor. Por lo que el minimo numero de esta forma posible es 9 ya que al restar 8,7,6,...,1 de esta expresion dara 36, y al restarlo de 45 nos da 9. Ahora solo me falta demostrar para 6,7 y 8.
@alberto y Luis: bien!
ResponderBorrar@Antonio:lo que tienes es interesante, no se que tan lejos se pueda llegar con ese enfoque. Dejame trabajar un poco con lo que tienes... igual te aconsejo que sigas trabajando en ello tu tambien (mas que yo).
@Padilla: lei tu solucion un par de veces, pero no logre entenderle del todo, podrias ser un poco mas claro en la redaccion? te sugiero respetar algunos signos de puntuacion y acentos.. eso hace mucho mas clara la intencion de tu texto... hay ambiguedades en las palabras que utilizas.. si de plano se te dificulta mucho escribir con buena ortografia, entonces trata de exponerlo de una manera clara, de tal forma que cualquiera que lea la solucion, y tenga conocimientos minimos de matematicas, pueda entenderla.
Saludos.