viernes, 23 de septiembre de 2011
Problema del día, geometría (23 de Septiembre).
El triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo. Dos cuerdas se dibujan desde el vértice $A$, intersectando al lado $BC$ y al arco $BC$ en los puntos $K$,$L$ y $M$,$N$ respectivamente. Prueba que si el cuadrilátero $KLNM$ es cíclico, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.
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$KLNM$ ciclico, entonces $\angle KMN = \angle KLA$
ResponderBorrar$ABMN$ ciclico, entonces $\angle ABN = \angle AMN$
Con esto tenemos que $\angle ABN = \angle ALB$
Sabemos que $\angle BAN = \angle LAB$
Por AA $\triangle ABN \sim \triangle ALB$
Y $\angle ABL = \angle ANB$
Como $ACNB$ ciclico, $\angle ANB = \angle ACB$
Por lo tanto $\angle ABC = \angle ACB$
Y $\triangle ABC$ es isosceles.
Si KLNM es cíclico entonces <MKL+<LNM=180°, como <BKA=<MKL por ser opuestos y <BKA+<KAB+<ABK=180°, entonces <KAB+<ABK=<LNM. <MCA y <MNA abren el mismo arco del círculo y por tanto son iguales; también <BAM=<BCM por abrir el mismo arco. <ABK=<LNM-<KAB y <BCA=<MCA-<MCB, como <MCA=<MNA que es el mismo ángulo que <LNM, y <MCB=<BAM que es el mismo ángulo que <BAK entonces <BCA=<LNM-<BAK=<ABK que es el mismo ánglo que <ABC. Como <ABC=<BCA entonces ABC es isósceles si KLNM es cíclico.
ResponderBorrarDisculpen por dejar de trabajar un tiempo en el blog, tratare de resolver los que no e hecho.
ResponderBorrarBueno tenemos que:
Si <MKL=α, como KLMN es ciclico, <MNA=180-α, y como <CKM=180-α, <MNA=<CLA, temenos que <MNA es igual al arco AM/2, y <CKM= Arco CM + Arco BA/2, entonces eliminando el 2 tenemos que ARCO AM=Arco CM + Arco BA, el arco AM Arco CM y AC, por los cuales esta compuesto por lo que si en las 2 igualdades de AM tenemos CM entonces tenemos que, Arco BA= Arco AC, y si <ACB= Arco BA/2, y <CBA=AC/2, entonces, igualando, <BCA=<CBA por lo que el triangulo ACB es isoseles.
sabemos que <ABK+<BKA+<KAB=180° por ser los 3 angulos del triangulo ABK, y KLMN es cíclico entonces <MNL+<MKL=180° y <AKB=<LKM por ser angulos opuestos por el vertice entonces
ResponderBorrar<ABK+<KAB=<MNL.
tenemos que <BCA=<MCA-<MCB porque <MCA abre el arco MA y <MCB abre el arco MB y arco MA-arco MB=arco BA el cual lo abre el angulo BCA y tambien vamos a tener que <ABK=<MNL-<KAB=ABC y <MNL va a ser igual al <MCA porque <MCA abre el mismo arco que <MNA y <MNA=<MNL por lo tanto <MNL=<MCA y <KAB va a ser igual que <MCB porque <MAB=<MCB por abrir el mismo arco y <MAB=<KAB entonces <KAB=<MCB y como ya tenemos que
<MNL-<KAB=MCA-MCB entonces <ABK=<BCA pero <ABK es igual que ABC y ABC=BCA por lo tanto el triangulo ABC es isoceles
una disculpa porque me falto poner el signo de < en <ABK=<ABC y
ResponderBorrar<ABC=<BCA
alberto...:)
ResponderBorrarLuis Chacon...:)
Padilla... muy buenas ideas, pero porque dices que <MNA=<CLA, podrias hacer un dibujo para entenderle mejor, porfas...
Antonio Lopez...:)
Perdon me equivoque era <MNA=<CKM
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