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miércoles, 21 de septiembre de 2011
Problema del dia. Algebra.
Demostrar que todos los números de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos: $49$, $4489$, $444889$, $44448889$, $\cdots$
hata ahora en encontrado que los primeros 3 terminos se pueden escribir como $7^2, (70 - 3)^2, (700 - 33)^2$ pero aun no se como explicarlo o si cumpla para todos XD
Bueno hasta ahorita lo que e sacado es muy talachero pero ahi va: Saque las raices de los primeros 5 números que eran: 7 67 667 6667 66667 Me fije en que todos los números terminan en 7, por lo que todas las expresiones al elevar el primer número que será 7 al cuadrado nos saldra un 9 como ultimo termino que si cumple, luego haciendo la multiplicacion manualmente me fije en que al hacer la primera multiplicacion, que es la del 7, siempre saldra el ultimo termino 9, por lo ya mencionado, como al multiplicar 7*6 siempre me dara 42, y siempre se estara le estaran sumando 4 por el numero anterior, el termino quedara, dependiendo de los 6´s de la expresion, esos 6 y por ultimo cuando se llegue al primer 6 habra un 4, por lo que sera como 4666...69. Luego la multiplicación de los demas terminos dara el mismo producto ya que siempre estaras multiplicando 6* el mismo termino, ahi nos fijamos en que el ultimo termino sera 2, ya que 7*6=42, el 4 se pasa al numero anterior, y como seran, de ahi, puros 6's, entonces al multiplicar 6*6 siempre te dara 40, y como el desde el primer termino se le sumo 4, y se le seguira sumando 4 a 36, por el 40, entonces habrá, segun el número de 6's de la expresión, ese numero de 0's en medio del termino, hasta llegar al primer 6 que saldra un 4, por lo que quedará expresado como 4000...02, entonces por eso siempre, al sumarse, el ultimo termino siempre sera 9, el segundo será 8, ya que como desde el primer 4000...02, se estara moviendo a la izquierda siempre cuando la expresion sea 67 o mas, entonces, denominando como n al numero de digitos de la expresion, se movera n-1 veces los 4000...02 hacia la izquierda, y como hay n-1 6'2 en la expresion, y ya habiamos dicho que al multiplicar 7 por 666...67 habria n-1 6's, que quedaran ordenados con los 2's, entonces habrá siempre n-1 8's en la primera expresion, por lo que ya solo faltarian los 4's, como tenemos que. existen n-1 0's en la expresion 4000...02, que estaran antes del 2, entonces tenemos que, en la expresion 4666...69, el 4 esta en la posicion n-1 de derecha a izquierda, y a partir de el segundo termino estara en el lugar 4-2, 4-3 en el siguiente, y asi sucesivamente, y los 0'2 estaran colocados hasta la posicion n-1, con respecto a la expresion de arriva entonces siempre los 4's se sumaran a 0, por lo que las primeras cifras de la expresion al cuadrado seran n 4´2, entonces vemos que siempre, cada vez que se aumente un 6, al termino que se elevara, entonces habrá un 4 y un 8 más empezando desde 67, por lo que si cumple. La verdad esta demasiado talachera la solucion pero no se me ocurrio como expresarla mas corta o más algebraica jeje.
bueno primero me fije que la raiz de los numeros de la serie termina en 7 y va aumentando un 6 7,67,667,...pero no se si siempre sera asi, despues me fije que la diferencia de 2 numeros consecutivos al cuadrado sera (n)+(n+1)=2n+1 y despues lo trate de generalizar para dos numeros cualquiera y queda que es la suma de los numeros pares entres 2n y 2m+n+m siendo n y m los dos numeros al cuadrado porque por ejemplo entre 5^2 y 4^2 la diferencia es 5+4=9, entre 5^2 y 3^2 la diferencia es 5+4+4+3 que es 5+8+3 y es n+los numeros pares entre 2n y 2m+m y asi sera para todos los numeros luego el minimo numero en la serie es 49=7^2 y el que sigue es 67^2,nos fijamos que 67+66+65+...+7=67*68/2 pero la diferencia va a ser de 7 y 67 al cuadrado y va a haber 60 veces 74 que puede ser la suma de los pares y 67 y 7 y nos queda 74*60=(n+7)(n-7)=n^2-49 y si hacemos esto con todos los demas 667,6667,... que aun no sabemos si asi sera la serie de las raices cuadradas si quedara que si sera la serie de 49,4489,444889,......
Observando el problema se encuentra que: $49 = 7^2$ $4489 = 67^2 = (70-3)^2$ $444889 = 667^2 = (700-33)^2$ $44448889 = 6667^2 = (7000-333)^2$ Lo que nos hace pensar que cada número en la sucesión, su raíz cuadrada tendrá por así decirlo, un $6$ más que el anterior. O, será $7* 10^k+1$ (donde k es el numero de ceros de la raíz cuadrada del número anterior) menos una cantidad de 3’s con uno más al anterior. Tengo la idea de que se podría resolver por inducción. Pero no encuentro la manera de representar esta sucesión, con variables (Sabiendo que en los primeros casos se cumple para $k$, ahora demostrarlo para $k+1$). Continuare trabajando.
@Jesus: continua con eso, fijarte que hay un patron es un paso importante para la solucion del problema. Intenta ver como generalizas la hipotesis.
@Padilla: lo que me dices es correcto, pero no es claro, intenta proceder con induccion sobre tus bases para que puedas realmente decir que sucede con todos los numeros candidatos.
@Antonio: lo mismo que a Padilla, decir, por ejemplo "que asi sera para todos los numeros" no es un argumento claro ni valido. Debes demostrar realmente que lo que sostienes es cierto. Ustedes ya vieron, por ejemplo, un metodo que les permite sustentar argumentos para todos los numeros que cumplen cierta propiedad (me refiero a induccion matematica). Intenta proceder con este metodo para explicar de una manera clara tu redaccion.
@Alex: Lo mismo que a Jesus, el patron que notaste es importante para llegar a la solucion, y en efecto, tu intuicion de utilizar induccion es buena.. sigue trabajando en ello para que descubras como trasladar el problema a uno resoluble con pasos inductivos.
Primero vi con los primeros casos que las raices son: 7, 67, 667, 6667, 66667, ... Lo que hice fue ver si al elevar los numeros en esta sucesion tenemos la que nos pide el problema: 49, 4489, 444889, ... Primero, vi como podemos crear cada nuevo termino de cada sucesion, para la primera cada termino se obtiene con $10x-3$, siendo $x$ el termino anterior. Para la segunda, vemos que la diferencia entre 100 veces un termino y el termino siguiente es de 40...011. Si elevamos $10x-3$ al cuadrado tenemos: $(10x-3)^2=100x^2-60x+9$ Y para que al elevar los elementos de la primera sucesion obtengamos los de la segunda, queremos que $60x-9= 40 \dots 011$ Vemos que $666 \dots 67 \times 60 = 40 \dots 020$, que al restarle 9 es lo que queriamos, por lo tanto todos los numeros del problema son cuadrados.
Se que le falta argumentar poquito pero no se como decirlo no tan largo, y creo que esto basta para una C jeje =P
Yo no pude llegar a una solución pero voy a decir lo que intente. Como todos note que para los primeros números las raíces son 7, 67, 667, 6667... y trate de demostrar que iba a seguir el mismo patrón en todos, lo que mas intente fue hacer una formula y comprobarla por inducción pero no pude llegar a nada. Escribí la sucesión como 4(10^2n+10^(2n-1)+...+10^1+10^0)+4(10^n+10^(n-1)+...+10^1+10^0)+1 y busque alguna forma de escribir la raiz, por ejemplo [6(10^n+10^(n-1)+...+10^1+10^0)+1]^2. Había intentado otras cosas pero no recuerdo exactamente.
$49$ a simple vista se ve que es cuadrado por lo que habria que demostrar que lo siguientes de las suceción tambien son cuadrados perfectos.
ahora llame a $n$ al numero de posicion de la sucecion despues de arriba suponiendo que inicia en el numero $4489$, donde se que cada termino (visto de derecha a izquierda) empieza con un 9, despues hay $n 8$'s y despues $n+1 4$'s, de esta observacion puedo concluir que los numeros de cualquiera $n$ natoral se pueden escribir de la siguiente manera: $4(\frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot10^{n+1} + 8(\frac{10^n-1}{10-1}\cdot10 +9 $
Ahora por el patron que vi en mi anterior comentario puedo suponer que cada termino con $n$ natural, la puedo sacar con la formula $a_n = (7\cdot10^n -3\ctot( \frac{10^n -1}{10-1}))^2$ donde $n$ es el numero de termino y $a_n$ es el termino en si.
si aplicamos induccion encontramos que $P_1: (7\cdot10^{(1)-1} -3\ctot( \frac{10^{(1)} -1}{10-1}))^2 = (70 - 3)^2 = 4900 +9 - 420 = 4489 $ entonces cumple
**Fecha limite para la C: 26 de septiembre***
ResponderBorrarhata ahora en encontrado que los primeros 3 terminos se pueden escribir como
ResponderBorrar$7^2, (70 - 3)^2, (700 - 33)^2$
pero aun no se como explicarlo o si cumpla para todos XD
Bueno hasta ahorita lo que e sacado es muy talachero pero ahi va:
ResponderBorrarSaque las raices de los primeros 5 números que eran:
7
67
667
6667
66667
Me fije en que todos los números terminan en 7, por lo que todas las expresiones al elevar el primer número que será 7 al cuadrado nos saldra un 9 como ultimo termino que si cumple, luego haciendo la multiplicacion manualmente me fije en que al hacer la primera multiplicacion, que es la del 7, siempre saldra el ultimo termino 9, por lo ya mencionado, como al multiplicar 7*6 siempre me dara 42, y siempre se estara le estaran sumando 4 por el numero anterior, el termino quedara, dependiendo de los 6´s de la expresion, esos 6 y por ultimo cuando se llegue al primer 6 habra un 4, por lo que sera como 4666...69. Luego la multiplicación de los demas terminos dara el mismo producto ya que siempre estaras multiplicando 6* el mismo termino, ahi nos fijamos en que el ultimo termino sera 2, ya que 7*6=42, el 4 se pasa al numero anterior, y como seran, de ahi, puros 6's, entonces al multiplicar 6*6 siempre te dara 40, y como el desde el primer termino se le sumo 4, y se le seguira sumando 4 a 36, por el 40, entonces habrá, segun el número de 6's de la expresión, ese numero de 0's en medio del termino, hasta llegar al primer 6 que saldra un 4, por lo que quedará expresado como 4000...02, entonces por eso siempre, al sumarse, el ultimo termino siempre sera 9, el segundo será 8, ya que como desde el primer 4000...02, se estara moviendo a la izquierda siempre cuando la expresion sea 67 o mas, entonces, denominando como n al numero de digitos de la expresion, se movera n-1 veces los 4000...02 hacia la izquierda, y como hay n-1 6'2 en la expresion, y ya habiamos dicho que al multiplicar 7 por 666...67 habria n-1 6's, que quedaran ordenados con los 2's, entonces habrá siempre n-1 8's en la primera expresion, por lo que ya solo faltarian los 4's, como tenemos que. existen n-1 0's en la expresion 4000...02, que estaran antes del 2, entonces tenemos que, en la expresion 4666...69, el 4 esta en la posicion n-1 de derecha a izquierda, y a partir de el segundo termino estara en el lugar 4-2, 4-3 en el siguiente, y asi sucesivamente, y los 0'2 estaran colocados hasta la posicion n-1, con respecto a la expresion de arriva entonces siempre los 4's se sumaran a 0, por lo que las primeras cifras de la expresion al cuadrado seran n 4´2, entonces vemos que siempre, cada vez que se aumente un 6, al termino que se elevara, entonces habrá un 4 y un 8 más empezando desde 67, por lo que si cumple.
La verdad esta demasiado talachera la solucion pero no se me ocurrio como expresarla mas corta o más algebraica jeje.
bueno primero me fije que la raiz de los numeros de la serie termina en 7 y va aumentando un 6 7,67,667,...pero no se si siempre sera asi, despues me fije que la diferencia de 2 numeros consecutivos al cuadrado sera (n)+(n+1)=2n+1 y despues lo trate de generalizar para dos numeros cualquiera y queda que es la suma de los numeros pares entres 2n y 2m+n+m siendo n y m los dos numeros al cuadrado porque por ejemplo entre 5^2 y 4^2 la diferencia es 5+4=9, entre 5^2 y 3^2 la diferencia es 5+4+4+3 que es 5+8+3 y es n+los numeros pares entre 2n y 2m+m y asi sera para todos los numeros luego el minimo numero en la serie es 49=7^2 y el que sigue es 67^2,nos fijamos que 67+66+65+...+7=67*68/2 pero la diferencia va a ser de 7 y 67 al cuadrado y va a haber 60 veces 74 que puede ser la suma de los pares y 67 y 7 y nos queda 74*60=(n+7)(n-7)=n^2-49 y si hacemos esto con todos los demas 667,6667,... que aun no sabemos si asi sera la serie de las raices cuadradas si quedara que si sera la serie de 49,4489,444889,......
ResponderBorrarObservando el problema se encuentra que:
ResponderBorrar$49 = 7^2$
$4489 = 67^2 = (70-3)^2$
$444889 = 667^2 = (700-33)^2$
$44448889 = 6667^2 = (7000-333)^2$
Lo que nos hace pensar que cada número en la sucesión, su raíz cuadrada tendrá por así decirlo, un $6$ más que el anterior.
O, será $7* 10^k+1$ (donde k es el numero de ceros de la raíz cuadrada del número anterior) menos una cantidad de 3’s con uno más al anterior.
Tengo la idea de que se podría resolver por inducción. Pero no encuentro la manera de representar esta sucesión, con variables (Sabiendo que en los primeros casos se cumple para $k$, ahora demostrarlo para $k+1$). Continuare trabajando.
En mi comentario una correcion.
ResponderBorrarEs 7* 10^(k+1).
@Jesus: continua con eso, fijarte que hay un patron es un paso importante para la solucion del problema. Intenta ver como generalizas la hipotesis.
ResponderBorrar@Padilla: lo que me dices es correcto, pero no es claro, intenta proceder con induccion sobre tus bases para que puedas realmente decir que sucede con todos los numeros candidatos.
@Antonio: lo mismo que a Padilla, decir, por ejemplo "que asi sera para todos los numeros" no es un argumento claro ni valido. Debes demostrar realmente que lo que sostienes es cierto. Ustedes ya vieron, por ejemplo, un metodo que les permite sustentar argumentos para todos los numeros que cumplen cierta propiedad (me refiero a induccion matematica). Intenta proceder con este metodo para explicar de una manera clara tu redaccion.
@Alex: Lo mismo que a Jesus, el patron que notaste es importante para llegar a la solucion, y en efecto, tu intuicion de utilizar induccion es buena.. sigue trabajando en ello para que descubras como trasladar el problema a uno resoluble con pasos inductivos.
Un saludo.
Primero vi con los primeros casos que las raices son: 7, 67, 667, 6667, 66667, ...
ResponderBorrarLo que hice fue ver si al elevar los numeros en esta sucesion tenemos la que nos pide el problema: 49, 4489, 444889, ...
Primero, vi como podemos crear cada nuevo termino de cada sucesion, para la primera cada termino se obtiene con $10x-3$, siendo $x$ el termino anterior. Para la segunda, vemos que la diferencia entre 100 veces un termino y el termino siguiente es de 40...011.
Si elevamos $10x-3$ al cuadrado tenemos:
$(10x-3)^2=100x^2-60x+9$
Y para que al elevar los elementos de la primera sucesion obtengamos los de la segunda, queremos que $60x-9= 40 \dots 011$
Vemos que $666 \dots 67 \times 60 = 40 \dots 020$, que al restarle 9 es lo que queriamos, por lo tanto todos los numeros del problema son cuadrados.
Se que le falta argumentar poquito pero no se como decirlo no tan largo, y creo que esto basta para una C jeje =P
Yo no pude llegar a una solución pero voy a decir lo que intente. Como todos note que para los primeros números las raíces son 7, 67, 667, 6667... y trate de demostrar que iba a seguir el mismo patrón en todos, lo que mas intente fue hacer una formula y comprobarla por inducción pero no pude llegar a nada. Escribí la sucesión como 4(10^2n+10^(2n-1)+...+10^1+10^0)+4(10^n+10^(n-1)+...+10^1+10^0)+1 y busque alguna forma de escribir la raiz, por ejemplo [6(10^n+10^(n-1)+...+10^1+10^0)+1]^2. Había intentado otras cosas pero no recuerdo exactamente.
ResponderBorrar$49$ a simple vista se ve que es cuadrado por lo que habria que demostrar que lo siguientes de las suceción tambien son cuadrados perfectos.
ResponderBorrarahora llame a $n$ al numero de posicion de la sucecion despues de arriba suponiendo que inicia en el numero $4489$, donde se que cada termino (visto de derecha a izquierda) empieza con un 9, despues hay $n 8$'s y despues $n+1 4$'s, de esta observacion puedo concluir que los numeros de cualquiera $n$ natoral se pueden escribir de la siguiente manera:
$4(\frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot10^{n+1} + 8(\frac{10^n-1}{10-1}\cdot10 +9 $
Ahora por el patron que vi en mi anterior comentario puedo suponer que cada termino con $n$ natural, la puedo sacar con la formula
$a_n = (7\cdot10^n -3\ctot( \frac{10^n -1}{10-1}))^2$ donde $n$ es el numero de termino y $a_n$ es el termino en si.
si aplicamos induccion encontramos que
$P_1: (7\cdot10^{(1)-1} -3\ctot( \frac{10^{(1)} -1}{10-1}))^2 = (70 - 3)^2 = 4900 +9 - 420 = 4489 $ entonces cumple
$P_k: 4(\frac{10^{k+1}-1}{9}\cdot10^{k+1} + 8(\frac{10^k -1}{10-1}\cdot10 +9 = (7\cdot10^k -3\ctot( \frac{10^k -1}{10-1}))^2$
$P_{k+1}: 4(\frac{10^{k+2}-1}{9}\cdot10^{k+2} + 8(\frac{10^{k+1} -1}{10-1}\cdot10 +9 = (7\cdot10^{k+1} -3\ctot( \frac{10^{k+1}-1}{10-1}))^2$
hasta ahora es lo que llevo