Sean C y D puntos en un semicírculo. La tangente en C corta a la prolongación del diámetro del semicírculo en B, y la tangente en D lo corta en A, de tal forma que A y B quedan en lados opuestos del centro del circulo(uno queda del lado derecho y otro queda del lado izquierdo). Las líneas AC y BD se cortan en E. Sea F el pie de la perpendicular de E en AB.
Demuestra que EF es bisectriz del ángulo ∠CFD.
Solucion de Luis Carlos:
ResponderBorrarhttps://www.dropbox.com/sh/tkguryhugghw5bk/AADB-5hwzKs0rYFZHHCrXcVia
Otra solución
ResponderBorrarSea O el centro del semicirculo, de entrada notemos PDOC es ciclico (circunferencia Γ con diametro OP). Algo importante tambien es PC=PD (tangentes)
Ideas (que no son parte de la solucion tal cual, pero llevan a como se les puede ocurrir):
-Sabemos EF perpendicular a AB, como que nos pudiera hacer pensar que si P,E,F son colineales entonces F esta en la circunferencia, lo cual nos sirve pues por los arcos los tendriamos los angulos buscados (iguales).
-La idea de tener angulo recto y una bisectriz, grita armonicos, no?
Solución (Les debo el dibujo, pero ahi les va)
P=BC∩AD; Q=CD∩AB; R=PE∩CD
De entrada tenemos (CRDQ) armonicos por el tetrapuntalete ABCD
Sea F′ proyeccion de P sobre AB, es facil ver que F′∈Γ, ⇒PF′ es bisectriz de ∠CF′D con PF′⊥ AB. (Basta demostrar F=F′)
Sea R′=PF′∩CD, por la propiedad 90/bisectriz los puntos (CR′DQ) son armonicos.
∴R=R′⇒F=F′