martes, 19 de agosto de 2014

Martes 19 Agosto

Sean $C$ y $D$ puntos en un semicírculo. La tangente en $C$ corta a la prolongación del diámetro del semicírculo en $B$, y la tangente en $D$ lo corta en $A$, de tal forma que $A$ y $B$ quedan en lados opuestos del centro del circulo(uno queda del lado derecho y otro queda del lado izquierdo). Las líneas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$. Sea $F$ el pie de la perpendicular de $E$ en $AB$.
Demuestra que $EF$ es bisectriz del ángulo $\angle CFD$.

2 comentarios:

  1. Solucion de Luis Carlos:
    https://www.dropbox.com/sh/tkguryhugghw5bk/AADB-5hwzKs0rYFZHHCrXcVia

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  2. Otra solución

    Sea $O$ el centro del semicirculo, de entrada notemos $PDOC$ es ciclico (circunferencia $\Gamma$ con diametro $OP$). Algo importante tambien es $PC=PD$ (tangentes)

    $\color{blue}{\text{Ideas}}$ (que no son parte de la solucion tal cual, pero llevan a como se les puede ocurrir):
    -Sabemos EF perpendicular a AB, como que nos pudiera hacer pensar que si P,E,F son colineales entonces F esta en la circunferencia, lo cual nos sirve pues por los arcos los tendriamos los angulos buscados (iguales).
    -La idea de tener angulo recto y una bisectriz, grita armonicos, no?

    $\color{blue}{ \text{Solución}}$ (Les debo el dibujo, pero ahi les va)
    $P=BC\cap AD$; $Q=CD\cap AB$; $R=PE\cap CD$
    De entrada tenemos $(CRDQ)\ armonicos$ por el tetrapuntalete $ABCD$

    Sea $F'$ proyeccion de $P$ sobre $AB$, es facil ver que $F'\in \Gamma$, $\Rightarrow PF'$ es bisectriz de $\angle CF'D$ con $PF'\bot\ AB$. (Basta demostrar $F=F'$)
    Sea $R'=PF'\cap CD$, por la propiedad 90/bisectriz los puntos $(CR'DQ)$ son $armonicos$.
    $\therefore R=R'\Rightarrow F=F'$

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