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martes, 19 de agosto de 2014

Martes 19 Agosto

Sean C y D puntos en un semicírculo. La tangente en C corta a la prolongación del diámetro del semicírculo en B, y la tangente en D lo corta en A, de tal forma que A y B quedan en lados opuestos del centro del circulo(uno queda del lado derecho y otro queda del lado izquierdo). Las líneas AC y BD se cortan en E. Sea F el pie de la perpendicular de E en AB.
Demuestra que EF es bisectriz del ángulo CFD.

2 comentarios:

  1. Solucion de Luis Carlos:
    https://www.dropbox.com/sh/tkguryhugghw5bk/AADB-5hwzKs0rYFZHHCrXcVia

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  2. Otra solución

    Sea O el centro del semicirculo, de entrada notemos PDOC es ciclico (circunferencia Γ con diametro OP). Algo importante tambien es PC=PD (tangentes)

    Ideas (que no son parte de la solucion tal cual, pero llevan a como se les puede ocurrir):
    -Sabemos EF perpendicular a AB, como que nos pudiera hacer pensar que si P,E,F son colineales entonces F esta en la circunferencia, lo cual nos sirve pues por los arcos los tendriamos los angulos buscados (iguales).
    -La idea de tener angulo recto y una bisectriz, grita armonicos, no?

    Solución (Les debo el dibujo, pero ahi les va)
    P=BCAD; Q=CDAB; R=PECD
    De entrada tenemos (CRDQ) armonicos por el tetrapuntalete ABCD

    Sea F proyeccion de P sobre AB, es facil ver que FΓ, PF es bisectriz de CFD con PF AB. (Basta demostrar F=F)
    Sea R=PFCD, por la propiedad 90/bisectriz los puntos (CRDQ) son armonicos.
    R=RF=F

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