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miércoles, 6 de agosto de 2014
PROBLEMA SENCILLO PARA EMPEZAR LA MAÑANA
Sea ABC un triángulo con . El punto P en el lado AB es tal que PC = BC y el punto Q en el lado BC es tal que . El segmento CP pasa por el punto medio del segmento AQ. Hallar los ángulos del triángulo ABC.
tenemos que angulo AQB= angulo CAQ + 90 ya que angulo AQB = 6CAQ entonces Angulo 5CAQ=90 entonces angulo CAQ= 18 llamamos m la interseccion de CP con AQ entonces ya que ACQ es recto entonces CM=AM=MQ entonces angulo CMQ es 36 Y angulo MQC es 72 entonce angulo MCQ es 180-72-36= 72 y ya que CP=BC entonces angulo CBP es (180-72)/2 entonces CBP=54 y ya que Angulo CAB es 90-CBA entonces Angulo CAB es 36 y angulo CBA es 54 y angulo ACB 90
. El punto P en el lado AB es tal que PC = BC y el punto Q en el lado BC es tal que 
. El segmento CP pasa por el punto medio del segmento AQ. Hallar los ángulos del triángulo ABC.
tenemos que angulo AQB= angulo CAQ + 90 ya que angulo AQB = 6CAQ entonces Angulo 5CAQ=90 entonces angulo CAQ= 18 llamamos m la interseccion de CP con AQ entonces ya que ACQ es recto entonces CM=AM=MQ entonces angulo CMQ es 36 Y angulo MQC es 72 entonce angulo MCQ es 180-72-36= 72 y ya que CP=BC entonces angulo CBP es (180-72)/2 entonces CBP=54 y ya que Angulo CAB es 90-CBA entonces Angulo CAB es 36 y angulo CBA es 54 y angulo ACB 90
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ResponderBorrarSea $\angle CAQ = \alpha \Rightarrow \angle BAQ = 6\alpha$.
ResponderBorrar$\Rightarrow \angle CAB = 7\alpha \Rightarrow \angle ABC = 90 - 7\alpha$
Como $PC = BC \Rightarrow \angle CPB = 90 - 7\alpha$
$\Rightarrow \angle BCP = 14\alpha \Rightarrow \angle ACP = 90 - 14\alpha$
Sea $O = AQ \cap CP$.
Fijemonos en $\triangle ACQ$, como el ángulo en $C$ es recto y $O$ es punto medio de $AQ \Rightarrow O$ el circuncentro $\Rightarrow AO = CO = OQ$
$\Rightarrow \triangle AOC$ es isósceles $\Rightarrow \angle OAC = \angle OCA$
$\Rightarrow \alpha = 90 - 14\alpha$
$\Rightarrow 15\alpha = 90$
$\Rightarrow \alpha = \frac{90}{15} = 6$
Como teníamos $\angle CAB = 7\alpha \Rightarrow \angle CAB = 7(6) = 42$
$\Rightarrow \angle ABC = 90 – 42 = 48$
$\therefore$ Los ángulos del $\triangle ABC$ son $90$, $42$ y $48$.
Este problema está fácil y puede ser que ya pusieron la solución que hice, pero sirve para calentar. Que bueno que andas por acá en el blog Diego.
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