viernes, 8 de agosto de 2014
PROBLEMA DEL DIA
Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal se puede leer de igual forma de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplos: 8, 23432, 6446. Sean x1<x2<…<xi<xi+1<... todos los números capicúas. Para cada i sea yi=xi+1−xi . ¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto {y1,y2,y3…} ?
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ResponderBorrarSolución.
ResponderBorrarPrimero fijemonos en los números capícua consecutivos que tienen el mismo número de dígitos.
Veamos que pasa si $x_i$ y $x_{i+1}$ tienen el mismo dígito en las unidades. Entonces $x_{i+1} - x_{i} \equiv 0 (mod 10)$. Por lo tanto no puede ser un número primo.
Ahora, veamos que pasa cuando tienen diferente dígito en las unidades. Ya que son números capícuas consecutivos $\Rightarrow$ los dígitos de las unidades tienen que ser consecutivos. Mas aun, $x_{i}$ tiene que ser de la forma $n99...99n$ donde n es un dígito ya que $x_{i}$ es el capícua más grande que tienen a $n$ como dígito de las unidades. Ahora, $x_{i+1}$ es de la forma $(n+1)00...00(n+1)$ donde $n+1$ es un dígito ya que el menor capícua con $n+1$ como dígito de las unidades tiene que tener solo ceros para ser el consecutivo de $x_{i}$. Es fácil ver en este caso que $x_{i+1} - x_{i} = 1, 11$, dependiendo si $x_{i}$ es de 1 o más dígitos. Por ejemplo, $6-5 = 1$ con capícuas de un dígito, y $66 - 55 = 11$ con capícuas de al menos dos dígitos.
Solo falta ver dos números capícuas consecutivos que tienen diferente número de dígitos. Entonces $x_{i}$ tiene que ser de la forma $99...99$ donde hay $k$ $9's$. También, $x_{i+1}$ es de la forma $100...001$, donde hay $k-1$ $0's$. Los números tienen esta forma para que sean consecutivos y con diferente número de dígitos. Entonces la diferencia es $x_{i+1} - x_{i} = 2$.
En conclusión, los posibles valores para $y_{i}$ son un multiplo de $10$, o los valores $1$, $2$ u $11$.
$\Rightarrow$ Los únicos primos que aparecen en la lista son $2$ y $11$. $Q.E.D.$