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viernes, 8 de agosto de 2014
PROBLEMA DEL DIA
Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal se puede leer de igual forma de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Ejemplos: 8, 23432, 6446. Sean x1<x2<…<xi<xi+1<... todos los números capicúas. Para cada i sea yi=xi+1−xi . ¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto {y1,y2,y3…} ?
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ResponderBorrarSolución.
ResponderBorrarPrimero fijemonos en los números capícua consecutivos que tienen el mismo número de dígitos.
Veamos que pasa si xi y xi+1 tienen el mismo dígito en las unidades. Entonces xi+1−xi≡0(mod10). Por lo tanto no puede ser un número primo.
Ahora, veamos que pasa cuando tienen diferente dígito en las unidades. Ya que son números capícuas consecutivos ⇒ los dígitos de las unidades tienen que ser consecutivos. Mas aun, xi tiene que ser de la forma n99...99n donde n es un dígito ya que xi es el capícua más grande que tienen a n como dígito de las unidades. Ahora, xi+1 es de la forma (n+1)00...00(n+1) donde n+1 es un dígito ya que el menor capícua con n+1 como dígito de las unidades tiene que tener solo ceros para ser el consecutivo de xi. Es fácil ver en este caso que xi+1−xi=1,11, dependiendo si xi es de 1 o más dígitos. Por ejemplo, 6−5=1 con capícuas de un dígito, y 66−55=11 con capícuas de al menos dos dígitos.
Solo falta ver dos números capícuas consecutivos que tienen diferente número de dígitos. Entonces xi tiene que ser de la forma 99...99 donde hay k 9′s. También, xi+1 es de la forma 100...001, donde hay k−1 0′s. Los números tienen esta forma para que sean consecutivos y con diferente número de dígitos. Entonces la diferencia es xi+1−xi=2.
En conclusión, los posibles valores para yi son un multiplo de 10, o los valores 1, 2 u 11.
⇒ Los únicos primos que aparecen en la lista son 2 y 11. Q.E.D.