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martes, 5 de agosto de 2014
Para entrar en calor, les dejo este problemin
Encontrar todas las parejas de enteros positivos $\left(x,y\right)$ que satisfacen:
nos fijamos que si Y es mayor que 7 entonce y! es divisible por 7 entonces supongamos que y mayor igual a 7 entonces x al cuadrado es congruente a 2001 mod 7 pero 2001 es igual a 285(7) + 6 entonces x^2 es congruente a 6 mod 7 pero veamos que los residuos cuadraticos mod 7 son 1^2=1 2^2=4 3^2=2 4^2=1 5^2=4 6^2=1 por lo tanto eso no es posible entonces y=<6 entonces hagamos los casitos x^2= 2002, x^2= 2003 x^2= 2007 x^2=2025 x^2= 2121 x^2=2721 y el unico que cumple es es 2025= 45^2
Se ve bien. Sólo un pequeño detalle (que en este problema es obvio que no afecta, pero técnicamente te faltaría ponerlo) Dices: "veamos que los residuos cuadraticos mod 7 son 1^2=1 2^2=4 3^2=2 4^2=1 5^2=4 6^2=1" Que pasa con la congruencia x^2=0^2
nos fijamos que si Y es mayor que 7 entonce y! es divisible por 7 entonces supongamos que y mayor igual a 7 entonces x al cuadrado es congruente a 2001 mod 7 pero 2001 es igual a 285(7) + 6 entonces x^2 es congruente a 6 mod 7 pero veamos que los residuos cuadraticos mod 7 son 1^2=1 2^2=4 3^2=2 4^2=1 5^2=4 6^2=1 por lo tanto eso no es posible entonces y=<6 entonces hagamos los casitos x^2= 2002, x^2= 2003 x^2= 2007 x^2=2025 x^2= 2121 x^2=2721 y el unico que cumple es es 2025= 45^2
ResponderBorrarSe ve bien. Sólo un pequeño detalle (que en este problema es obvio que no afecta, pero técnicamente te faltaría ponerlo)
BorrarDices: "veamos que los residuos cuadraticos mod 7 son 1^2=1 2^2=4 3^2=2 4^2=1 5^2=4 6^2=1"
Que pasa con la congruencia x^2=0^2
se me paso escribirla si esta en la hoja:p pero pues si
ResponderBorrarPor que se te ocurrió modulo 7?
Borrary no 3 ó 5,
o si los intentaste y nomas no sirvieron de nada?
si los intente pero no funcionaro
BorrarEse problema ya lo habian hecho Alonso y Antonio hace 2 semanas
ResponderBorraryo no lo habi hecho solo lo lei:p
Borrarx^2 ≡ 0,1,2,4 (mod 7)
ResponderBorrar2001 ≡ 6 (mod 7)
=> y! ≡ 1,2,3,5 (mod 7)
Si y >= 7 => y! ≡ 0 (mod 7), ∴ y<7
=> y = 1,2,3,4,5,6
=> y! = 1,2,6,24,120,720
Ya que x^2 = 2001 + y!
=> x^2 = 2002,2003,2007,2025,2121,2721
Ya que solo 2025 es un cuadrado perfecto => x=45
∴ la unica pareja (x,y)que cumple la ecuacion es (45,4)