martes, 5 de agosto de 2014

Para entrar en calor, les dejo este problemin

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $\left(x,y\right)$ que satisfacen:
$x^2-y!=2001$

8 comentarios:

  1. nos fijamos que si Y es mayor que 7 entonce y! es divisible por 7 entonces supongamos que y mayor igual a 7 entonces x al cuadrado es congruente a 2001 mod 7 pero 2001 es igual a 285(7) + 6 entonces x^2 es congruente a 6 mod 7 pero veamos que los residuos cuadraticos mod 7 son 1^2=1 2^2=4 3^2=2 4^2=1 5^2=4 6^2=1 por lo tanto eso no es posible entonces y=<6 entonces hagamos los casitos x^2= 2002, x^2= 2003 x^2= 2007 x^2=2025 x^2= 2121 x^2=2721 y el unico que cumple es es 2025= 45^2

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    1. Se ve bien. Sólo un pequeño detalle (que en este problema es obvio que no afecta, pero técnicamente te faltaría ponerlo)
      Dices: "veamos que los residuos cuadraticos mod 7 son 1^2=1 2^2=4 3^2=2 4^2=1 5^2=4 6^2=1"
      Que pasa con la congruencia x^2=0^2

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  2. se me paso escribirla si esta en la hoja:p pero pues si

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    1. Por que se te ocurrió modulo 7?
      y no 3 ó 5,
      o si los intentaste y nomas no sirvieron de nada?

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    2. si los intente pero no funcionaro

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  3. Ese problema ya lo habian hecho Alonso y Antonio hace 2 semanas

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  4. x^2 ≡ 0,1,2,4 (mod 7)
    2001 ≡ 6 (mod 7)
    => y! ≡ 1,2,3,5 (mod 7)
    Si y >= 7 => y! ≡ 0 (mod 7), ∴ y<7
    => y = 1,2,3,4,5,6
    => y! = 1,2,6,24,120,720
    Ya que x^2 = 2001 + y!
    => x^2 = 2002,2003,2007,2025,2121,2721
    Ya que solo 2025 es un cuadrado perfecto => x=45
    ∴ la unica pareja (x,y)que cumple la ecuacion es (45,4)

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