martes, 5 de agosto de 2014

Problema Del Día


Sean a, b enteros positivos, con a > 1 y b > 2. Demostrar que a^b+1 es mayor o igual a b(a+1) y cuándo se obtiene la igualdad

8 comentarios:

  1. ni entiendo si esta bien escrito osea como es el primer termino y como es el segundo? osea es a^(b+1) o a^b +1

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  2. me da flojera escribir aqui mi solucion, le tome foto a mi cuaderno, ahorita la mando a la conversacion

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  3. Para probar la desigualdad:
    https://www.dropbox.com/s/pcq7vpgs6uzh3yz/A.jpg
    https://www.dropbox.com/s/9qdqs4ar1wm807q/B.jpg
    Alguna sugerencia para lo de la igualdad?

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  4. Mañana pongo mi soloución. Use inducción y desigualdades fáciles

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    Respuestas
    1. Solución.
      Vamos a hacer una inducción en $b$. Como $b > 2$, entonces el caso base es $b=3$.
      Caso base: P.D. $a³+1 \geq 3(a+1)$
      $\leftrightarrow$
      $(a+1)(a² - a + 1) \geq 3(a + 1)$
      $\leftrightarrow$
      Como $a+1 > 0$
      $a² - a + 1 \geq 3$
      $\leftrightarrow$
      $a² - a \geq 2$
      $\leftrightarrow$
      $a(a - 1) \geq 2$
      Como $a >= 2$, si $a=2$ tenemos la igualdad y si $a>2$ tenemos desigualdad sin igualdad. Por lo tanto el caso base cumple y hay igualdad cuando $a = 2, b = 3$.
      Hipotesis de induccion. Supongamos que $a^{b} + 1 \geq b(a+1)$ .. $(\alpha)$. Entonces hay que demostrar que $a^{b+1} + 1 \geq (b+1)(a+1) = b(a+1) + (a+1)$.
      Para esto demostraremos que.
      $a^{b+1} – a^{b} \geq a+1$ .. $(\beta)$
      $\leftrightarrow$
      $a^{b}(a - 1) \geq a+1$
      $\leftrightarrow$
      $a^{b} \geq \frac{a+1}{a-1}$
      $\leftrightarrow$
      $a^{b} \geq 1 + \frac{2}{a-1}$.
      Sabemos que $\frac{2}{a-1}$ es a lo más 2 ya que $a>1$.
      Entonces
      $\frac{2}{a-1} + 1 \leq 3$. Y como
      $a^{b} \geq a^{3} \geq 2^{3} = 8 > 3 \geq \frac{2}{a-1} + 1$
      Entonces se cumple la desigualdad con $>$.
      Si sumamos las desigualdades $\alpha$ y $\beta$ tendremos:
      $a^{b+1} + 1 > (b+1)(a+1)$ que era lo que queríamos.
      Además como es desigualdad $>$ ya no existe ningún otro caso para la igualdad, por lo tanto el único caso es $a=2, b=3$. Q.E.D.

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