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martes, 5 de agosto de 2014
Problema Del Día
Sean a, b enteros positivos, con a > 1 y b > 2. Demostrar que a^b+1 es mayor o igual a b(a+1) y cuándo se obtiene la igualdad
Para probar la desigualdad: https://www.dropbox.com/s/pcq7vpgs6uzh3yz/A.jpg https://www.dropbox.com/s/9qdqs4ar1wm807q/B.jpg Alguna sugerencia para lo de la igualdad?
Solución. Vamos a hacer una inducción en b. Como b>2, entonces el caso base es b=3. Caso base: P.D. a³+1≥3(a+1) ↔ (a+1)(a²−a+1)≥3(a+1) ↔ Como a+1>0 a²−a+1≥3 ↔ a²−a≥2 ↔ a(a−1)≥2 Como a>=2, si a=2 tenemos la igualdad y si a>2 tenemos desigualdad sin igualdad. Por lo tanto el caso base cumple y hay igualdad cuando a=2,b=3. Hipotesis de induccion. Supongamos que ab+1≥b(a+1) .. (α). Entonces hay que demostrar que ab+1+1≥(b+1)(a+1)=b(a+1)+(a+1). Para esto demostraremos que. ab+1–ab≥a+1 .. (β) ↔ ab(a−1)≥a+1 ↔ ab≥a+1a−1 ↔ ab≥1+2a−1. Sabemos que 2a−1 es a lo más 2 ya que a>1. Entonces 2a−1+1≤3. Y como ab≥a3≥23=8>3≥2a−1+1 Entonces se cumple la desigualdad con >. Si sumamos las desigualdades α y β tendremos: ab+1+1>(b+1)(a+1) que era lo que queríamos. Además como es desigualdad > ya no existe ningún otro caso para la igualdad, por lo tanto el único caso es a=2,b=3. Q.E.D.
ni entiendo si esta bien escrito osea como es el primer termino y como es el segundo? osea es a^(b+1) o a^b +1
ResponderBorrarno*
Borrares a^b+1
Borrararres
Borrarme da flojera escribir aqui mi solucion, le tome foto a mi cuaderno, ahorita la mando a la conversacion
ResponderBorrarPara probar la desigualdad:
ResponderBorrarhttps://www.dropbox.com/s/pcq7vpgs6uzh3yz/A.jpg
https://www.dropbox.com/s/9qdqs4ar1wm807q/B.jpg
Alguna sugerencia para lo de la igualdad?
Mañana pongo mi soloución. Use inducción y desigualdades fáciles
ResponderBorrarSolución.
BorrarVamos a hacer una inducción en b. Como b>2, entonces el caso base es b=3.
Caso base: P.D. a³+1≥3(a+1)
↔
(a+1)(a²−a+1)≥3(a+1)
↔
Como a+1>0
a²−a+1≥3
↔
a²−a≥2
↔
a(a−1)≥2
Como a>=2, si a=2 tenemos la igualdad y si a>2 tenemos desigualdad sin igualdad. Por lo tanto el caso base cumple y hay igualdad cuando a=2,b=3.
Hipotesis de induccion. Supongamos que ab+1≥b(a+1) .. (α). Entonces hay que demostrar que ab+1+1≥(b+1)(a+1)=b(a+1)+(a+1).
Para esto demostraremos que.
ab+1–ab≥a+1 .. (β)
↔
ab(a−1)≥a+1
↔
ab≥a+1a−1
↔
ab≥1+2a−1.
Sabemos que 2a−1 es a lo más 2 ya que a>1.
Entonces
2a−1+1≤3. Y como
ab≥a3≥23=8>3≥2a−1+1
Entonces se cumple la desigualdad con >.
Si sumamos las desigualdades α y β tendremos:
ab+1+1>(b+1)(a+1) que era lo que queríamos.
Además como es desigualdad > ya no existe ningún otro caso para la igualdad, por lo tanto el único caso es a=2,b=3. Q.E.D.